1、一、选择题1.(2015全国卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A. B.C. D.解析如图，由题意知，该几何体是正方体ABCDA1B1C1D1被过三点A、B1、D1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥AA1B1D1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为.选D.答案D2.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是()A.90 cm2B.129 cm2C.132 cm2D.138 cm2解析该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为6 cm，4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长
2、分别为3 cm，4 cm，5 cm，所以表面积S(2462343633)138(cm2)，故选D.答案D3.(2016皖南八校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B.C.2 D.2解析这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V1221，选A.答案A4.(2015全国卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为1620，则r()A.1 B.2C.4 D.8解析由题意知，设几何体由一个半圆柱和一个半球拼接而成，2r2r2r2r2r24r24r25r21620，r2.答案B5.三棱锥SABC的所有顶点
3、都在球O的表面上，SA平面ABC，ABBC，又SAABBC1，则球O的表面积为()A. B.C.3 D.12解析如图，因为ABBC，所以AC是ABC所在截面圆的直径，又因为SA平面ABC，所以SAC所在的截面圆是球的大圆，所以SC是球的一条直径.由题设SAABBC1，由勾股定理可求得：AC，SC，所以球的半径R，所以球的表面积为43.答案C二、填空题6.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.解析由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为1，圆锥的高为1，圆柱的高为2，所以该几何体的体积V2121122(m3).答案7.(2016四川卷)已知某三棱
4、锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是_.解析由三视图可大致画出三棱锥的直观图如图，由正、俯视图可知，ABC为等腰三角形，且AC2，AC边上的高为1，SABC21.由侧视图可知：三棱锥的高h1，VSABCSABCh.答案8.(2016成都诊断)在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥PA1MN的体积是_.解析由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，VPA1MNVA1PMN，又AA1平面PMN，VA1
5、PMNVAPMN，VAPMN1，故VPA1MN.答案三、解答题9.(2015全国卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.解(1)交线围成的正方形EHGF.如图：(2)如图，作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EB112，EMAA18.因为四边形EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，AH10，HB6.故S四边形A1EHA(410)856，S四边形
6、EB1BH(126)872.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为(也正确).10.(2015全国卷)如图，四边形ABCD为菱形，G是AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积.(1)证明因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBE.因为BEBDB，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)解设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在Rt AEC中，可
7、得EGx.由BE平面ABCD，BG平面ABCD知BEBG，故EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积VEACDACGDBEx3.故x2.从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为32.11.(2016岳阳4月模拟)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BC，A1BBB1.(1)求证：A1CCC1；(2)若AB2，AC，BC，问AA1为何值时，三棱柱ABCA1B1C1体积最大，并求此最大值.(1)证明由AA1BC知BB1BC，又BB1A1B，且BCA1BB，故BB1平面BCA1，又A1C平面BCA1，即BB1A1
8、C，又BB1CC1，所以A1CCC1.(2)解法一设AA1x，在RtA1BB1中，A1B.同理，A1C.在A1BC中，cos BA1C，sin BA1C，所以SA1BCA1BA1Csin BA1C.从而三棱柱ABCA1B1C1的体积VS直lSA1BCAA1，因x，故当x，即AA1时，体积V取到最大值.法二如图，过A1作BC的垂线，垂足为D，连接AD.由AA1BC，A1DBC，AA1A1DA1，故BC平面AA1D，BCAD，又BAC90，所以SABCADBCABAC，所以AD.设AA1x，在RtAA1D中，A1D，SA1BCA1DBC.从而三棱柱ABCA1B1C1的体积VS直lSA1BCAA1.因x，故当x，即AA1时，体积V取到最大值.