1、微专题4三角形中的范围(最值)问题真 题 感 悟(2018江苏卷)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC120，BD是ABC的平分线，交AC于点D，且BD1，则4ac的最小值为_解析因为ABC120，ABC的平分线交AC于点D，所以ABDCBD60.由三角形的面积公式可得acsin 120a1sin 60c1sin 60，化简得acac，又a0，c0，所以1，则4ac(4ac)5529，当且仅当c2a即a，c3时取等号，故4ac的最小值为9.答案9考 点 整 合1.设ABC的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C.解三角形的主要依据是：(1)角与角关系：ABC；(2)
2、边与边关系：abc，bca，cab，abc，bca，cab；(3)边与角关系：正弦定理、余弦定理.它们的变形形式有a2Rsin A，sin Asin BabAB等.2.三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点：(1)角的变换；(2)三角形边、角关系定理及面积公式、正弦定理、余弦定理.3.利用算术平均数与几何平均数定理求函数的最大值、最小值.(1)已知x，y是正数，如果积xy是定值P，那么当且仅当xy时，和xy有最小值2；(2)已知x，y是正数，如果和xy是定值S，那么当且仅当xy时，积xy有最大值S2.应用此结论求最值要注意三个条件：各项
3、或各因式均为正；和或积为定值；各项或各因式都能取相等的值.必要时要作适当的变形，以满足上述条件.4.利用基本不等式求解与其他知识点的综合题时，列出有关量的函数关系式或方程寻找和与积的结构形式，是用基本不等式求解或转化的关键.热点一三角形面积的最值问题【例1】 (2019苏北四市调研)已知a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边，且acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，求ABC面积的最大值.解(1)由acos Casin Cbc0及正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C0.因为BAC，所以sin Bsin(AC)sin Acos Ccos
4、Asin C，所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.易知sin C0，所以sin Acos A1，所以sin.又0A，A，所以A，所以A.(2)法一由(1)得BC，所以CB，由正弦定理得，所以bsin B，csin C.所以SABCbcsin Asin Bsin Csin sin Bsin Csin Bsinsin 2Bcos 2Bsin.易知2B，故当2B，即B时，SABC取得最大值，最大值为.法二由(1)知A，又a2，由余弦定理得22b2c22bccos ，即b2c2bc4，所以bc4b2c22bc，所以bc4，当且仅当bc2时，等号成立.所以SABCbcsin Abc
5、4，即当bc2时，SABC取得最大值，最大值为.探究提高求解三角形中的最值问题常用如下方法：(1)将要求的量转化为某一角的三角函数，借助于三角函数的值域求最值.(2)将要求的量转化为边的形式，借助于基本不等式求最值.【训练1】 已知点O是ABC的内心，BAC60，BC1，则BOC面积的最大值为_.解析因为O是ABC的内心，BAC60，所以BOC180120，由余弦定理可得BC2OC2OB22OCOBcos 120，即OC2OB21OCOB.又OC2OB22OCOB(当且仅当OCOB时，等号成立)，所以OCOB，所以SBOCOCOBsin 120(当且仅当OBOC时等号成立)，则BOC面积的最大
6、值为.答案热点二与边长相关的最值(范围)问题【例2】 在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若满足(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，且a，则b2c2的取值范围是_.解析因为(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，所以由正弦定理可得(ab)(ab)(cb)c，可化为b2c2a2bc，所以由余弦定理可得cos A.因为A，所以A，又因为a，所以由正弦定理可得2，即b2sin B，c2 sin，所以b2c2(2sin B)232sin2Bsin 2B42sin.由B，B知B，所以2B，所以sin，所以42sin(5，6，即b2c2(5，6.答案(
7、5，6探究提高解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求解.【训练2】 (2018北京卷)若ABC的面积为(a2c2b2)，且C为钝角，则B_；的取值范围是_.解析由余弦定理得cos B，a2c2b22accos B.又S(a2c2b2)，acsin B2accos B，tan B，又B(0，)，B.又C为钝角，CA，0A.由正弦定理得.0tan A，2，即2.的取值范围是(2，).答案(2，)热点三与角度相关的最值(范围)问题【例3】 (2019南京、盐城高三模拟)在ABC中，若sin C2cos Acos B，则cos2Ac
8、os2B的最大值为_.解析在ABC中，利用cos Ccos(AB)易证cos2Acos2Bcos2C2cos Acos Bcos C1，所以cos2Acos2B1sin Ccos C(sin 2Ccos 2C)sin，当sin1即C时取“”.故答案为.答案探究提高本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解能力与掌握水平，解题的关键是三角恒等变换.【训练3】 若ABC的内角满足sin Asin B2sin C，则cos C的最小值是_.解析sin Asin B2sin C，由正弦定理可得ab2c，即c，cos C，当且仅当3a22b2即时等号成立.cos C的最
9、小值为.答案【新题感悟】 (2019南京高三模拟)已知在ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若tan A2tan B，则的最大值为_.解析由tan A2tan B得，2，所以sin Acos B2sin Bcos A，即a2b，整理可得3b2c23a2，所以1，令cos ，sin ，则cos sin 2sin2，当时等号成立.答案2一、填空题1.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2b22c2，则cos C的最小值为_.解析cos C(当且仅当ab时“”成立).答案2.在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若a，A，则bc的最大值为_.解析a2b
10、2c22bccos A，3b2c22bccos ，即b2c2bc3，(bc)2b2c22bc33bc33(当且仅当bc时“”成立)，(bc)23即bc2.答案23.在ABC中，M是BC的中点，BM2，AMABAC，则ABC的面积的最大值为_.解析设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.在ABM中，由余弦定理得cos B，在ABC中，由余弦定理得cos B，所以，即b2c24bc8，所以cos BAC2，所以sin BAC，所以SABCbcsinBAC，所以当bc8时，SABC取得最大值2.答案24.(2019如皋高三联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，成等差数
11、列，则cos C的最小值为_.解析，成等差数列，即，可得，cos C，则，化简得2(a2b2)3c2，故cos C(当且仅当ab时等号成立).答案5.(2019盐城高三期末)已知ABC的周长为6，且BC，CA，AB的长成等比数列，则的取值范围是_.解析设BC，CA，AB所对应的边长分别为a，b，c，因为BC，CA，AB的长成等比数列，所以b(当且仅当ac时等号成立)，从而0b2，所以accos B(b3)227，又|ac|b，(ac)2b2，即(ac)24acb2，即b23b90，解得b2，故2.答案6.若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边长与最小边长之比为m，则实数m的取值范围是_.
12、解析依题意可设三内角为60，60，60.由该三角形为钝角三角形可得3060，由正弦定理得m1，由3060，得tan ，所以0tan ，所以，所以m12.答案(2，)7.(2019苏州期中)设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，C依次成等差数列且a2c2kb2，则实数k的取值范围是_.解析A，B，C依次成等差数列，2BAC，又ABC，B，a2c2b22accos Bac(当且仅当ac时等号成立)，b20，即b20，k2，又a2c2b22accos B0，且a2c2kb2，kb2b20，k1，1k2.答案(1，28.(2019苏北三市模拟)已知ABC三个内角A，B，C所对
13、的边分别为a，b，c，且C，c2，当取得最大值时，的值为_.解析由正弦定理得，所以b，bccos A 2cos Asincos A(sin 2Acos 2A)2sin2，所以当2A，即A时，取最大值，此时BAC，从而2，所以当取得最大值时，的值为2.答案2二、解答题9.(2019江苏三校联考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2c22b，且sin Acos C3cos Asin C.(1)求b的值；(2)若B，S为ABC的面积，求S8cos Acos C的取值范围.解(1)由正弦定理、余弦定理知sin Acos C3cos Asin C可等价变形为a3c，化简得a2c2.
14、因为a2c22b，所以2b，所以b4或b0(舍去).(2)由正弦定理得c，故Sbcsin A4sin Asin C8sin Asin C，所以S8cos Acos C8cos(AC)8cos8cos.在ABC中，由得A.所以2A，所以cos，所以S8cos Acos C(8，8).10.已知函数f(x)sin xcos xcos2x(0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)在ABC中，sin B，sin A，sin C成等比数列，求此时f(A)的值域.解(1)f(x)sin 2x(cos 2x1)sin，因为函数f(x)的最小正周期为T，所以.(2)由(1)知f(x)sin，易得f(A)sin
15、.因为sin B，sin A，sin C成等比数列，所以sin2Asin Bsin C，所以a2bc，所以cos A(当且仅当bc时取等号).因为0A，所以0A，所以3A，所以sin1，所以1sin，所以f(A)的值域为.11.(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin bsin A.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围.解(1)由题设及正弦定理得sin Asinsin Bsin A.因为sin A0，所以sinsin B.由ABC180，可得sincos，故cos2sincos.因为cos0，所以sin，又090，所以30，所以B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa.又由(1)知AC120，故由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.结合AC120，得30C90，所以a2，从而SABC.因此，ABC面积的取值范围是.