1、4.2.2 求数列的通项及前 n 项和必备知识精要梳理1.由递推关系式求数列的通项公式(1)形如 an+1=an+f(n),利用累加法求通项.(2)形如 an+1=anf(n),利用累乘法求通项.(3)形如 an+1=pan+q,等式两边同时加-1转化为等比数列求通项.2.数列求和的常用方法(1)公式法:利用等差数列、等比数列的求和公式.(2)错位相减法:适合求数列anbn的前 n 项和 Sn,其中an,bn一个是等差数列,另一个是等比数列.(3)裂项相消法:将数列的通项分成两个式子的代数和,通过累加抵消中间若干项的方法.(4)拆项分组法:先把数列的每一项拆成两项(或多项),再重新组合成两个(
2、或多个)简单的数列,最后分别求和.(5)并项求和法:把数列的两项(或多项)组合在一起,重新构成一个数列再求和,适用于正负相间排列的数列求和.(6)常用裂项结论1(+)=1(1-1+);1(2-1)(2+1)=12(12-1-12+1);1(+1)(+2)=12 1(+1)-1(+1)(+2);1+=1(+).关键能力学案突破 热点一 求通项及错位相减法求和【例 1】(2020 山东潍坊一模,18)在b2n=2bn+1,a2=b1+b2,b1,b2,b4 成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件,补充在下面的问题中,并求解.已知数列an中 a1=1,an+1=3an,公差不等于 0 的等差数
3、列bn满足 ,求数列的前 n 项和 Sn.解题心得若已知数列为等差或等比数列,求其通项是利用等差、等比数列通项公式,或通过变形转换成等差、等比数列求通项;如果数列an与数列bn分别是等差数列和等比数列,那么数列anbn的前 n 项和采用错位相减法来求.【对点训练 1】(2020 全国,理 17)设an是公比不为 1 的等比数列,a1 为 a2,a3 的等差中项.(1)求an的公比;(2)若 a1=1,求数列nan的前 n 项和.热点二 求通项及裂项相消法求和【例 2】(2020 山东潍坊二模,18)已知数列an为正项等比数列,a1=1,数列bn满足b2=3,a1b1+a2b2+a3b3+anb
4、n=3+(2n-3)2n.(1)求 an;(2)求1+1的前 n 项和 Tn.解题心得 1.若条件等式中含有 an,Sn 的关系式,或已知条件中含有数列通项的较为复杂的关系式,条件转化的常用方法是由已知关系式再推出一个关系式相减.2.把数列的通项拆成两项之差,求和时中间的项能够抵消,从而求得其和.注意抵消后所剩余的项一般前后对称.【对点训练 2】(2020 浙江,20)已知数列an,bn,cn满足a1=b1=c1=1,cn=an+1-an,cn+1=+2cn,nN*.(1)若bn为等比数列,公比 q0,且 b1+b2=6b3,求 q 的值及数列an的通项公式;(2)若bn为等差数列,公差 d0
5、,证明:c1+c2+cn0,求数列an的通项公式;(3)对于给定的,是否存在三个不同的数列an为“3”数列,且 an0?若存在,求 的取值范围;若不存在,说明理由.解题心得解决数列中的存在性问题的一般方法是假设推理法.即先假设所探求对象存在或结论成立,以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设不成立,即不存在.若推不出矛盾,即得到存在的结果.【对点训练 4】(2020 天津河西区校级联考,17)设各项均为正数的等比数列an(nN*)中,a1+a3=10,a3+a5=40.设 bn=log2an.(1)求数列bn的通项公式;(2)若 c1=1,cn+1=cn+,求证:cn10对
6、任意正整数 n 均成立?若存在,求出k 的最大值;若不存在,说明理由.核心素养微专题(五)求解数列与多模块知识综合题【例 1】(2020 江西九江一模,理 12)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 An,Bn 是圆 x2+y2=n2上两个动点,且满足 =-22(nN*),设 An,Bn 到直线 x+3y+n(n+1)=0 的距离之和的最大值为 an,若数列1的前 n 项和 Snm 恒成立,则实数 m 的取值范围是()A.(34,+)B.34,+)C.(32,+)D.32,+)核心素养分析本题是数学多模块知识的综合题,对核心素养要求较高.先用“数学抽象”将 =-22 转化为AnOBn=120;其
7、次运用“直观想象”将两点到直线的距离之和转化为一点到直线的距离;再运用“逻辑推理”将距离的最大值转化为圆心到直线的距离与圆的半径之和;最后运用“数列运算”求出数列的和及得出结果.【跟踪训练 1】已知函数 f(x)=sin(-1)2,1 3,2(-2),3 100,若函数 f(x)的极大值点从小到大依次记为 a1,a2,an,并记相应的极大值为 b1,b2,bn,则=1(ai+bi)的值为()A.250+2 449B.250+2 549C.249+2 449D.249+2 549【例 2】(多选)已知数列an中,a1=1,an+1-1=(1+1)an,nN*.若对于任意的 t1,2,不等式 0,
8、得 bn+10,因此 c1+c2+c3+cn0,所以 Sn+1Sn0,则+1-1=33+1-1.令+1=bn,则 bn-1=33 2-1,即(bn-1)2=13(2-1)(bn1).解得 bn=2,即+1=2,也即+1=4,所以数列Sn是公比为 4的等比数列.因为 S1=a1=1,所以 Sn=4n-1.则 an=1(=1),3 4-2(2).(3)设各项非负的数列an(nN*)为“3”数列,则+113 13=+113,即Sn+13 Sn3=+1-3.因为 an0,而 a1=1,所以 Sn+1Sn0,则+13-1=Sn+1Sn-13.令+13=cn,则 cn-1=3-13(cn1),即(cn-1
9、)3=3(cn3-1)(cn1).(*)若 0 或=1,则(*)只有一解为 cn=1,即符合条件的数列an只有一个.(此数列为 1,0,0,0,)若 1,则(*)化为(cn-1)(cn2+3+23-1 cn+1)=0,因为 cn1,所以cn2+3+23-1 cn+10,则(*)只有一解为 cn=1,即符合条件的数列an只有一个.(此数列为 1,0,0,0,)若 01,则cn2+3+23-1 cn+1=0 的两根分别在(0,1)与(1,+)内,则方程(*)有两个大于或等于 1 的解:其中一个为 1,另一个大于 1(记此解为 t).所以 Sn+1=Sn 或 Sn+1=t3Sn.由于数列Sn从任何一
10、项求其后一项均有两种不同结果,所以这样的数列Sn有无数多个,则对应的an有无数多个.综上所述,能存在三个各项非负的数列an为“3”数列,的取值范围是(0,1).对点训练 4(1)解设各项均为正数的等比数列an的公比为 q,则 a1+a1q2=10,a1q2+a1q4=40,解得 a1=2,q=2,即有 an=2n,bn=log22n=n.(2)证明 c1=1,cn+1=cn+=cn+2,cn+1-cn=2,则 cn=c1+(c2-c1)+(c3-c2)+(cn-cn-1)=1+12+222+-12-1,即有12cn=12+122+223+-12,两式相减可得12cn=1+122+123+12-
11、1-12=1+14(1-12-2)1-12-12=32 12(n+1),即有 cn=3-12-1(n+1)10对任意正整数n均成立,令 Sn=1+1+1+2+1+=1+1+1+2+12,Sn+1=1+2+1+3+12+12+1+12+2,即有 Sn+1-Sn=12+1+12+2 1+1=12+1 12+2=1(2+1)(2+2)0,即为Sn+1Sn,Sn是递增数列,S1 最小,且 S1=12,则有 10 12,解得 k5,故存在正整数 k,且 k的最大值为 4.核心素养微专题(五)【例 1】B 解析由 =-22,得 nncosAnOBn=-22,cosAnOBn=-12,即AnOBn=120,
12、设线段 AnBn 的中点为 Cn,则 OCn=2,Cn 在圆 x2+y2=24 上,An,Bn 到直线 x+3y+n(n+1)=0 的距离之和等于点 Cn到该直线的距离的两倍.点 Cn 到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和,而圆 x2+y2=24 的圆心(0,0)到直线 x+3y+n(n+1)=0 的距离为 d=|(+1)|1+3=(+1)2,an=2(+1)2+2=n2+2n,1=12+2=121 1+2.Sn=11+12+13+1=121-13+(12-14)+13 15+1 1+2=121+12 1+1 1+2 34,m 34,故选 B.跟踪训练 1C 解析当 1x3 时,
13、f(x)=2cos(-2),显然当 x=2 时,f(x)=0,x=2 为 f(x)的第一个极大值点.又当 3x100 时,f(x)=2f(x-2),x=4,x=6,x=8,均为其极大值点.函数不能在端点处取得极值,an=2n,1n49,nN*,对应极大值 bn=2n-1,1n49,nN*.=149(ai+bi)=(2+98)492+1(1-249)1-2=249+2449,故选 C.【例 2】AB 解析由题意得 an+1-1=+1 an,+1+1 =1(+1)=1 1+1,则-1-1=1-1 1,-1-1-2-2=1-2 1-1,22 11=1-12,上述式子累加可得-a1=1-1,=2-12
14、,-2t2-(a+1)t+a2-a+22 对于任意的 t1,2恒成立,整理得2t-(a-1)(t+a)0 对于任意的 t1,2恒成立,对 A,由 a=-4,得出 t1,2不等式(2t+5)(t-4)0 恒成立,故 A 正确;对 B,由 a=-2,得出 t1,2不等式(2t+3)(t-2)0 恒成立,故 B 正确;对 C,由 a=0,得出 t1,2不等式(2t+1)t0 不恒成立,故 C 错误;对 D,由 a=2,得出 t1,2不等式(2t-1)(t+2)0 不恒成立,故 D 错误,故选 AB.跟踪训练 220191010 解析根据题意,x表示不超过 x 的最大整数,即x=0,0,1),1,1,2),2,2,3),-1,-1,),则有 xx=0,0,1),1,2),2,2,3),(-1),-1,).则xx在各区间中的元素个数是 1,1,2,3,n-1,故an=1+1+2+3+(n-1)=1+(-1)2,所以 1-1=2(-1),则=22020 1ai-1=1a2-1+1a3-1+1a2020-1=212+223+220202019=2 1-12+12 13+12019 12020=2 1-12020=20191010.