1、微专题32坐标系与参数方程真 题 感 悟(2019江苏卷)在极坐标系中，已知两点A，B，直线l的方程为sin3.(1)求A，B两点间的距离；(2)求点B到直线l的距离.解(1)设极点为O.在OAB中，A，B，由余弦定理，得AB.(2)因为直线l的方程为sin3，所以直线l过点，倾斜角为.又B，所以点B到直线l的距离为(3)sin2.考 点 整 合1.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则2.(1)直线的参数方程经过点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程
2、为(t为参数).设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量.(2)圆的参数方程圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(为参数，02).热点一参数方程与普通方程的互化【例1】 (2019南通、扬州、淮安等七市调研)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(为参数，r0)，若直线l被圆C截得的弦长为4，求r的值.解直线l的普通方程为4x3y150，圆C的普通方程为x2y2r2.因为圆心C(0，0)到直线l的距离d3，又直线l被圆C截得的弦长为4，所以r.探究提高参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消
3、去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围.【训练1】 (2017江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.解由消去t，得l的普通方程为x2y80，因为点P在曲线C上，所以设点P(2s2，2s).则点P到直线l的距离d，所以当s时，d有最小值，即点P到直线l的距离的最小值为.热点二极坐标方程与直角坐标方程的互化【例2】 在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C，半径R，求圆C的极坐标方程.解将圆心C化成直角坐标
4、为(1，)，又半径R，故圆C的直角坐标方程为(x1)2(y)25.再将C化成极坐标方程，得(cos 1)2(sin )25，化简得24cos10.此即为所求的圆C的极坐标方程.探究提高(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性.【训练2】 (2015江苏卷)已知圆C的极坐标方程为22sin40，求圆C的半径.解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为2240，化简，得22sin 2cos 40.则圆C的直角坐
5、标方程为x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆C的半径为.热点三直线参数方程的应用【例3】 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为2sin .(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，)，求PAPB.解法一(1)由2sin ，得22sin ，所以x2y22y0，即所求圆C的直角坐标方程为x2(y)25.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得5，即t23t40.由于(3)24420，故可设t1，t2是上述方程
6、的两实根，所以又直线l过点P(3，)，故由上式及t的几何意义得PAPB|t1|t2|t1t23.法二(1)同法一.(2)因为圆C的圆心为(0，)，半径r，直线l的普通方程为：yx3.由得x23x20.解得：或不妨设A(1，2)，B(2，1)，又点P的坐标为(3，).故PAPB3.探究提高过定点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则P1P2|t1t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1t2).【训练3】 (2014江苏卷)在平面直角坐标系
7、xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，求线段AB的长.解将直线l的参数方程代入抛物线方程y24x，得4，解得t10，t28.所以AB|t1t2|8.【新题感悟】 (2019苏北四市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t0)，其中0.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ，C3：2cos .(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求AB的最大值.解(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线C3的直角坐标方程为x2y22x0.联立解得或所以C2与C3
8、交点的直角坐标为(0，0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为(R，0)，其中0.因此A的极坐标为(2sin ，)，B的极坐标为(2cos ，).所以AB|2sin 2cos |4.因为0，所以，所以，当，即时，AB取得最大值，最大值为4.1.(2019徐州市高三期中)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是(是参数).若以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin.求直线l被曲线C截得的线段长.解由得两式平方后相加得(x1)2(y3)29.所以曲线C是以(1，3)为圆心，半径等于3的圆.直线l的直角坐标方程为xy20，圆心C
9、到l的距离是d，所以直线l被曲线C截得的线段长为22.2.(2019如皋市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4cos ，若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.解直线l：(t为参数)，消去参数t，可得直线l的普通方程为xya0.圆C：4cos ，即24cos ，x2y24x0，即(x2)2y24，所以圆C的直角坐标方程为(x2)2y24，圆心C(2，0)，半径r2.又直线l与圆C有公共点，所以2，解得2a6.所以实数a的取值范围是.3.(2018江苏卷)在极坐标系中，直线l的方程为sin2
10、，曲线C的方程为4cos ，求直线l被曲线C截得的弦长.解因为曲线C的极坐标方程为4cos ，所以曲线C是圆心为(2，0)，直径为4的圆.由直线l的极坐标方程sin2，知直线l过A(4，0)，倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点.设另一个交点为B，则OAB.连接OB.因为OA为直径，从而OBA，所以AB4cos 2.因此，直线l被曲线C截得的弦长为2.4.(2018全国卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率.解(1)曲线C的直角坐标方程为1.
11、当cos 0时，l的直角坐标方程为ytan x2tan ，当cos 0时，l的直角坐标方程为x1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1t20.又由得t1t2，故2cos sin 0，于是直线l的斜率ktan 2.5.(2019南京市高三模拟)过点P作倾斜角为的直线与曲线x22y21交于点M，N.(1)若点P恰为弦MN的中点，求直线的方程；(2)求PMPN的最小值及相应的的值.解设直线为(t为参数)，代入曲线方程并整理得(1sin2)t
12、2(cos )t0.设M，N分别对应t1，t2，则t1t2，t1t2.(1)若点P恰为弦MN的中点，则t1t20，又0，.此时，直线的方程为x.(2)PMPN|t1t2|，当sin21，即时，PMPN取最小值，为，此时.6.(2019苏北七市高三一模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是(t为参数).以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是sin.求：(1)直线l的直角坐标方程；(2)直线l被曲线C截得的线段长.解(1)直线l的极坐标方程可化为，即sin cos 2.又xcos ，ysin ，所以直线l的直角坐标方程为xy20.(2)曲线C：(t为参数)的普通方程为x2y.由，得x2x20，所以直线l与曲线C的交点为A(1，1)，B(2，4).所以直线l被曲线C截得的线段长为AB3.