1、微专题10函数与导数、数列、不等式在解决实际问题中的应用真 题 感 悟 (2015江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5 km和40 km，点N到l1，l2的距离分别为20 km和2.5 km，以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y(其中a，b为常数)模型.(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于点P，点P的横坐标为t.请
2、写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.解(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5).将其分别代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20)，则点P的坐标为.设在点P处的切线l分别交x，y轴于点A，B，因为y，则直线l的方程为y(xt)，由此得A，B，故f(t)，t5，20.设g(t)t2(t5，20)，则g(t)2t.令g(t)0，解得t10.当t(5，10)时，g(t)0，g(t)单调递增.所以当t10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，g(t)min300，此时f(t)min15.答：当t10时，公路l的
3、长度最短，最短长度为15 km.考 点 整 合1.常见函数模型(1)一次函数模型：f(x)axb(a0)；(2)反比例函数模型：f(x)b(k0)；(3)二次函数模型：f(x)ax2bxc(a0)；(4)指数函数模型：f(x)baxc(b0，a0且a1)；(5)对数函数模型：f(x)blogaxc(b0，a0且a1)；(6)幂函数模型：f(x)axnb(a0).2.利用导数研究函数的单调性、极值与最值在解决生活中的优化问题时应用广泛，但要注意结合实际意义(比如定义域问题)作答.3.(1)等差数列的通项及前n项和：ana1(n1)d；Snna1d.(2)等比数列的通项及前n项和ana1qn1；S
4、n(q1).4.(1)基本不等式：(a0，b0)等号成立条件：当且仅当ab时取等号.(2)重要变形：ab2；ab.热点一函数与导数在实际问题中的应用【例1】 (2019南京调研)某工厂有100名工人接受了生产1 000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置.现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置.设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为t1小时 ，其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时.设f(x)t1t2.(1)求f(x)的解析式，并写出其定义域；(2)当x等于多少时，f(x)取得最小值？解(1)因为
5、t1，t2，所以f(x)t1t2，定义域为x|1x99，xN*.(2)法一(导数)f(x)(x|1x99，xN*)，f(x)，令f(x)0得，x75(x150舍去)，当x(0，75)时，f(x)0；当x(75，100)时，f(x)0，故当x75时，f(x)取得最小值.法二(基本不等式)f(x)1 00010x(100x)10.因为1x99，xN*，所以0，0，所以26，当且仅当，即当x75时取等号.故当x75时，f(x)取得最小值.探究提高利用函数与导数解决生活中的实际问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)(
6、尤其注意定义域).(2)求导：求函数的导数f(x)，解方程f(x)0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.(4)结论：回归实际问题作答.【训练1】 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y48x8 000，已知此生产线年产量最大为210吨.(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解(1)每吨平均成本为万元，则482 4832，当且仅当，即
7、x200时取等号.年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元.(2)设年获得总利润为R(x)万元，则R(x)40xy40x48x8 00088x8 000(x220)21 680(0x210).R(x)在0，210上是增函数，x210时，R(x)有最大值，为(210220)21 6801 660.年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元.热点二数列中的实际应用问题【例2】 商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行(以下简称建行)贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2012年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷
8、款(年利率5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元，其余部分全部在年底还建行贷款.(1)若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可还清建行全部贷款；(2)若公寓管理处要在2020年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准多少元(精确到元).(参考数据：lg 1.734 30.239 1，lg 1.050.021 2，1.0581.477 4)解依题意，公寓2012年底建成，2013年开始使用.(1) 设公寓投入使用后n年可偿还清全部贷款，则公寓每年收费总额为1 000800(元)800 000(元)80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元.依题意有621(15%
9、)(15%)2(15%)n1500(15%)n1，化简得62(1.05n1)251.05n1.所以1.05n1.734 3.两边取对数整理得n11.28，所以取n12(年).所以到2024年底可全部还清贷款.(2)设每生每年的最低收费标准为x元，因为到2020年底公寓共使用了8年，依题意有1(15%)(15%)2(15%)7500(15%)9，化简得(0.1x18)5001.059，所以x101010(1881.2)992(元).故每生每年的最低收费标准为992元.探究提高在经济活动中，诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年(月)份有关的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数
10、列模型来解决.在解应用题时，是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关；二是看是否符合一定的规律，可先从特殊的情形入手，再寻找一般的规律.【训练2】 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，试写出它们的表达式；(2)问：至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？解(1)第1年投入800万元，第2年投入800万元，第n年投入
11、800万元，所以n年内的总投入an8008008004 000；第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400万元，第n年旅游业收入为400万元，所以n年内的总收入bn4004004001 600.an4 000，bn1 600.(2)设经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，所以bnan0，即1 6004 0000，化简得5270，即25时，不等式ax25850(x2600)x有解，等价于x25时，ax有解.x210(当且仅当x30时，等号成立)，a10.2.答：当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原总收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30
12、元.探究提高不等式在实际问题中应用广泛，常借助于函数模型求解最值，进而探求实际问题的解；在利用不等式研究实际问题模型中的数量关系时，常常运用基本不等式、二次函数等工具探求最值，有时也涉及导数的应用，问题最终还原为实际问题的解.【训练3】 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成10%)，售出商品数量就增加x成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围.解(1)由题意得y10010040(10x)(254x).因为售价不能低
13、于成本价，所以100800.即0x2，所以yf(x)40(10x)(254x)，定义域为0，2.(2)由题意得40(10x)(254x)10 260，化简得8x230x130，解得x.又x0，2，所以x的取值范围是.【新题感悟】 (2019北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.当x10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；在促销活动中，为保证李明
14、每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_.解析顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为6080140(元)，超过了120元可以优惠，所以当x10时，顾客需要支付14010130(元).由题意知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大.而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为(120x)元，所以(120x)80%1200.7，所以x15，即x的最大值为15.答案13015一、填空题1.某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分
15、加倍收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为_m3.解析设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，由题意得y则10m(x10)2m16m，解得x13.答案132.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，给出该股民关于这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)：略有盈利；略有亏损；没有盈利也没有亏损.其中说法正确的为_(填序号).解析设该股民购这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(110%)na1.1n元，经历n次跌停后的价格为a1.1n(110%)na1.1n0.9na(1.10.9)
16、n0.99naa，故该股民这支股票略有亏损.答案3.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差_元.解析设A种方式对应的函数解析式为sk1t20，B种方式对应的函数解析式为sk2t，当t100时，100k120100k2，k2k1，t150时，150k2150k1201502010.答案104.(2019南京模拟)用长度为24的材料围一矩形场地，并用该材料在中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_.解析设隔墙的长为x(0x6)，矩形面
17、积为y，则yx2x(6x)2(x3)218，当x3时，面积y最大.答案35.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是_年(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30).解析设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(112%)x200，解得xlog1.123.80，因资金需超过200万，则x取4，即2 019年.答案2 0196.某汽车运输公司购买了一批豪华大巴投入客运，据市场分析，每辆客车营运
18、的总利润y(万元)与营运年数x(xN*)满足yx212x25，则每辆客车营运_年使其营运年平均利润最大.解析年平均利润为f(x)x122122，xN*，当且仅当x5时取等号.所以每辆客车营运5年，营运年平均利润最大，最大值为2万元.答案57.某人为了购买商品房，从2012年起，每年1月1日到银行存入a元一年期定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款及利息均自动转为新一年定期存款，到2021年1月1日(当日不存只取)将所有的存款及利息全部取回(不计利息税)，则可取人民币_元.解析由题知，到2021年1月1日可取回钱总数为a(1p)9a(1p)8a(1p).答案8.(2019徐州模拟)
19、如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为_.解析由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1 023个正方形，则有122n11 023，所以n10，所以最小正方形的边长为.答案二、解答题9.(2018苏北四市调研)某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x(单位：元，x0)时，销售量q(x)(单位：百台)与x的关系满足：若x不超过20，则q(x)；若x大于或等于180，则
20、销售量为零；当20x180时，q(x)ab(a，b为实常数).(1)求函数q(x)的表达式；(2)当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值.解(1)由题意，得得故q(x)(2)设总利润f(x)xq(x)，由(1)得f(x)当0x20时，f(x)126 000，又f(x)在(0，20上单调递增，所以当x20时，f(x)有最大值120 000.当20x180时，f(x)9 000x300x，f(x)9 000450，令f(x)0，得x80.当20x0，f(x)单调递增，当80x180时，f(x)0，f(x)单调递减，所以当x80时，f(x)有最大值240 000.当x180时，f
21、(x)0.综上，当x80元时，总利润取得最大值240 000元.10.下图()是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图()所示的数学模型.索塔AB，CD与桥面AC均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60 m，桥面AC上一点P到索塔AB，CD距离之比为214，且P对两塔顶的视角为135.(1)求两索塔之间桥面AC的长度；(2)研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比(比例系数为正数a)，且与该处到索塔的距离的平方成反比(比例系数为正数b).问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值.解
22、(1)设AP21t，CP4t，t0，记APB，CPD，则45，tan ，tan ，由tan()tan 451，化简得7t2125t3000，解得t20或t(舍去)，所以ACAPPC2520500.答：两索塔之间的距离AC为500米.(2)设桥面AC上一点M，AMx，点M处的承重强度之和为L(x).则L(x)60，且x(0，500)，即L(x)60ab，x(0，500)，记l(x)，x(0，500)，则l(x)，令l(x)0，解得x250，当x(0，250)时，l(x)0，l(x)单调递减；当x(250，500)时，l(x)0，l(x)单调递增，所以当x250时，l(x)取到最小值，L(x)也取
23、到最小值.答：两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为.11.(2019南通调研)如图，某机械厂要将长6 m，宽2 m的长方形铁皮ABCD进行裁剪.已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处(点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P)，再沿直线PE裁剪.(1)当EFP时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；(2)若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由.解(1)当EFP时，由条件得EFDFEPEFP.所以FPE.所以FNBC，四边形MNPE为矩形.所以四边形MNPE的面积SPNMN122(m2).(2)设BEt，3t6，则ME6t.因为EFPEFDFEP，所以PEPF，即tBP.所以BP，NP3PF3PE3(tBP)3t.由得(*)所以四边形MNPE面积为S(NPME)MN 2 662，当且仅当(t3)，即t33时取“”.此时，(*)成立.答：当点E距点Bm时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为(62)m2.
