1、北师大万宁附中2020-2021学年下学期期中考试(高二)数学试题第I卷（选择题）一、单选题（共8题，每题5分，共40分）1已知集合，则（ ）ABCD2已知，复数，在复平面内对应的点重合，则（ ）A，B，C，D，3九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A14斛 B22斛 C36斛 D66斛4若，则（ ）A B5 C
2、 D5为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（ ）A B C D6单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和例如，现已知可以表示成4个单分数的和，记，其中，是以101为首项的等差数列，则的值为（ ）A505B404C303D20272020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶一个有害垃圾桶一个厨余垃圾桶一个其它
3、垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（ ）A种B种C种D种8定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ）ABCD二、多选题（共4题，每题5分，共20分）9已知(x1)n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则（ ）An7 B所有项的系数和为0C偶数项的系数和为64 D展开式的中间项为35x3和35x410随机变量的分布列为：其中，下列说法正确的是（ ）012A B C随的增大而减小 D有最大值11某计算机程序每运行一次都随机出现一
4、个五位二进制数（例如10100）其中A的各位数中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时（ ）AX服从二项分布BCX的期望DX的方差12函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）A 在上函数为增函数B 在上函数为增函数C 在上函数有极大值D 是函数在区间上的极小值点第II卷（非选择题）三、填空题（共4题，每题5分，共20分）13两个家庭的4个大人与2个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园为安全起见，首尾一定要排2个爸爸，另外，2个小孩一定要排在一起，则这6人入园顺序的排法种数为_14设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数
5、学期望值为，则口袋中白球的个数为_.15对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量_次（若，则）16已知函数，函数图象上任意一点的切线的斜率恒成立，则的取值范围是_.四、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17(本小题10分)在中，_.（1）求；（2）若，求.从 ， ， 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分)18（本小题12分）已知等差数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和19（本小题1
6、2分）如图，在圆柱中，四边形是其轴截面，为圆的直径，且.（1）求证：；（2）若，求二面角平面角的余弦值.20（本小题12分）自“新冠肺炎”爆发以来，中国科研团队一直在积极地研发“新冠疫苗”，在科研人员不懈努力下，我国公民率先在2020年年末开始可以使用安全的新冠疫苗，使我国的“防疫”工作获得更大的主动权，研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为实验对象，进行了一些实验（1）实验一：选取10只健康白兔，编号1至10号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中，实验结果发现，除2号、3号和7号白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染，现从这10只白兔中随机抽取4只进行研究，
7、将仍被感染的白兔只数记作，求的分布列和数学期望（2）科研人员在另一个实验中发现，疫苗可多次连续注射，白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响，相互独立，试问，若将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗能否保证有效率达到96%，如若可以请说明理由，若不可以，请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求21（本小题12分）已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，且由椭圆上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为2()求椭圆C的方程；()已知P(0，2)，过点Q(1，2)作直线l交椭圆C于A、B两点(异于P)，直线PA、PB的斜率分别为k1
8、、k2试问k1+k2 是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由22（本小题12分）已知函数f(x)x+alnx+1（1）求函数f(x)的单调区间和极值；（2）若f(x)在1，e上的最小值为a+1，求实数a的值参考答案一、 选择题123456789101112BABABACCABCABDABCAC二、 填空题13. 24 14. 3 14. 32 16.三、 解答题17解：（1）因为，.1分所以.2分因为，所以.3分即.4分因为，.5分（2）若选 则在中，由余弦定理，.7分得，.8分解得或(舍去)，所以.10分若选 ，则，.7分由正弦定理，得，解得，.9分所以.10分若选 ，由余弦定理
9、得.7分，解得或(舍去).9分所以.10分18解：（1）设等差数列的公差为，.1分因为，且所以，.3分解得，.4分所以数列的通项公式.6分（2） ，.8分所以，.9分所以.10分.12分19解：（1）证明：连接，在圆柱中中，平面，又平面，又，.2分平面，又平面，.3分，又在中，为的中点，.4分.5分（2）连接且与该圆柱的底面垂直，以点为坐标原点，、分别为、轴正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，则，.6分，.7分设面的法向量是，由，得，取，得，.9分设面的法向量是，由，得，取，得，.10分由图可知，二面角为锐角，.11分二面角的余弦值为.12分20解：（1）因为可取，所以.2分所以，.3分，
10、.4分所以的分布列如下：；.6分（2）因为实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率为，所以注射一次疫苗的有效率为，.7分又因为每次注射的疫苗对白兔是否有效相互独立，所以一只白兔注射两次疫苗的有效率为：，所以无法保证，.9分设每支疫苗有效率至少达到才能满足要求，则，解得.11分所以每支疫苗的有效率至少要达到才能满足以上要求.12分21 解:()由题意得，.2分解得a28，b24，.3分所以椭圆C的方程为1.4分()k1+k2为定值4，证明如下：()当直线l斜率不存在时，l方程为x1，由方程组 易得，于是k1，k2，所以k1+k24为定值.7分()当直线l斜率存在时，设l方程为y(2)kx(1)，即y
11、kx+k2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组，消去y，得(1+2k2)x2+4k(k2)x+2k28k0，.8分由韦达定理得(*).10分k1+k22k+(k4)，将(*)式代入上式得k1+k24为定值.12分22解：（1）函数f(x)的定义域为.1分当时，0恒成立，f(x)在上单调递增，无极值；.2分当a0时，令0，解得xa，令0，解得xa，.3分所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，.4分此时f(x)有极小值，无极大值；.5分（2），x1，e，由0得xa，.6分若a1，则xa0，即在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上为增函数，.7分f(x)minf（1）a+1，即2a+1，则a1，符合条件.8分若ae，则xa0，即0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上为减函数，f(x)minf(e)a+1，即ea1a+1，则a，不符合条件.10分若ea1，当1xa时，0，f(x)在(1，a)上为减函数；当ax0，f(x)在(a，e)上为增函数，f(x)minf(a)a+1，即a+aln(a)1a+1，则a0或a1，均不符合条件.12分综上所述，a1第 13 页 共 14 页 第 14 页 共 14 页