1、第五节椭圆 考点一椭圆的定义和标准方程 例1(1)(2013广东高考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1(2)(2014岳阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为_自主解答(1)由右焦点为F(1,0)，可知c1，因为离心率为，即，故a2，由a2b2c2，知b2a2c23，因此椭圆C的方程为1.(2)由ABF2的周长为4a16，得a4，又知离心率为，即，ca2，所以a216，b2a2c21688，所以椭圆
2、C的方程为1.答案(1)D(2)1【互动探究】在本例(2)中若将条件“焦点在x轴上”去掉，结果如何？解：由例1(2)知：当焦点在x轴上时，椭圆的方程为1；当焦点在y轴上时，椭圆的方程为1.综上可知C的方程为1或1.【方法规律】用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程1(ab0)，1(ab0)或mx2ny21(m0，n0)；(3)找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量
3、”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2ny21(m0，n0).1已知ABC的顶点B，C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是()A2 B 6 C4 D12解析：选C根据椭圆定义，ABC的周长等于椭圆长轴长的2倍，即4.2(2012山东高考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选D椭圆的离心率为，a2b.椭圆的方程为x24y24b2.双曲线x2y21的渐近线方程为xy0，渐近线xy0与
4、椭圆x24y24b2在第一象限的交点为，由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为bb4，b25，a24b220.椭圆C的方程为1.考点二椭圆的几何性质及应用 例2(1)已知点F1，F2分别是椭圆x22y22的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|的最小值是()A0 B1 C2 D2 (2)(2013辽宁高考)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF，则C的离心率e_.自主解答(1)设P(x0，y0)，则(1x0，y0)，(1x0，y0)，(2x0，2y0)，|22.点P在椭圆上，0y1，当y1
5、时，|取最小值为2. (2)如图，设右焦点为F1，|BF|x，则cosABF.解得x8，故AFB90.由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|8，且FAF190，FAF1是直角三角形，|F1F2|10，故2a8614，2c10，e.答案：(1)C(2)【方法规律】1利用椭圆几何性质的注意点及技巧(1)注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系(2)利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系2求椭圆的离
6、心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2b2c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围如图，F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF260.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知AF1B的面积为40，求a，b的值解：(1)由题意可知，AF1F2为等边三角形，a2c，所以e.(2)法一：a24c2，b23c2，直线AB的方程为y(xc)将其代入椭圆方程3x24y212c2，得B.又A(0，c)，所以|AB| c.由SAF1B|AF1|AB|sin F1ABaca240
7、，解得a10，c5，则b275，即b5.法二：设|AB|t.因为|AF2|a，所以|BF2|ta.由椭圆定义|BF1|BF2|2a，可知|BF1|3at.再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60，可得ta.由SAF1B|AF1|AB|sinF1ABaaa240，解得a10，则c5，b5.高频考点考点三 直线与椭圆的综合问题1直线与椭圆的综合问题，是近年来高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度较高，多为中档题2高考对直线与椭圆的综合问题的考查主要有以下几个命题角度：(1)已知某条件，求直线的方程；(2)求三角形(或其他几何图形)的面积；(3)判断几何图形的形状；(4)弦长问题；
8、(5)中点弦或弦的中点问题例3(2013浙江高考)如图，点P(0，1)是椭圆C1：1(ab0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2y24的直径l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程自主解答(1)由题意得所以椭圆C1的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为ykx1.又圆C2：x2y24，故点O到直线l1的距离d，所以|AB|22 .又l2l1，故直线l2的方程为xkyk0.设AB
9、D的面积为S，当k0时，则D(0,1)，A(，1)，B(，1)，此时，|AB|2，|PD|2，所以S|AB|PD|222.当k0时，由消去y，整理得(4k2)x28kx0，故x0.所以|PD|.则S|AB|PD|，所以S，当且仅当k时取等号而当k0时，S2b0)，由题意知点A(c,2)在椭圆上，则1.从而e21.由e，得b28，从而a216.故该椭圆的标准方程为1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0,0)又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2(xx0)2y2x22x0xx8(x2x0)2x8(x4,4)设P(x1，y1)，由题意知，点P是椭圆上到点Q的距离最小的点，因此，上式当xx1时
10、取最小值，又因x1(4,4)，所以上式当x2x0时取最小值，从而x12x0，且|QP|28x.由对称性知P(x1，y1)，故|PP|2y1|，所以S|2y1|x1x0|2 |x0| 当x0时，PPQ的面积S取到最大值2.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(，0)，半径|QP|，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x)2y26，(x)2y26.课堂归纳通法领悟1个规律椭圆焦点位置与x2，y2系数之间的关系给出椭圆方程1时，椭圆的焦点在x轴上ab0；椭圆的焦点在y轴上0ab.1种思想数形结合思想在椭圆几何性质中的运用求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图
11、形当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系2种方法求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程3种技巧与椭圆性质、方程相关的三种技巧(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为ac，最小距离为ac.(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2a2c2就可求得e(0e1)(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：中心是否在原点；对称轴是否为坐标轴.
