1、3基本不等式3.1基本不等式3.2基本不等式与最大(小)值基础过关练题组一对基本不等式的理解1.不等式x-2y+1x-2y2成立的条件为() A.x2y,当且仅当x-2y=1时取等号B.x2y,当且仅当x-2y=1时取等号C.x2y,当且仅当x-2y=1时取等号D.x0;ab0,b0;a0,b2a;x+1x2;a+bab2;x2+1x2+11.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.35.(2021山东潍坊一中高三上质检)下列不等式一定成立的是()A.lgx2+14lg x(x0)B.sin x+1sinx2(xk,kZ)C.x2+12|x|(xR)D.1x2+11(xR)题组二利用基本不等
2、式比较大小6.若0a1,0b1B.lg 9lg 11=1C.lg 9lg 110,b0,则a+b2,ab,a2+b22,2aba+b中最小的是()A.a+b2B.abC.a2+b22D.2aba+b9.已知abc,则(a-b)(b-c)与a-c2的大小关系是.10.已知函数f(x)=lg x,x(0,+),若x1,x2(0,+),判断12f(x1)+f(x2)与f x1+x22的大小并加以证明.题组三利用基本不等式求最值11.已知0x0,b0,则1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.515.已知a0,b0,x=1为f(x)=6x2-ax-b的零点,则ab的最大值为()A.3B
3、.23C.9D.36题组四利用基本不等式证明不等式16.已知a,b,c都是正数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)8abc.17.已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,求证:1x-11y-11z-18.题组五利用基本不等式解决实际问题18.制作一个面积为1 m2,形状为直角三角形的铁支架框,有下列四种长度的铁管供选择,较经济(够用且耗材最少)的选法是()A.4.6 mB.4.8 mC.5 mD.5.2 m19.(2021广东中山大学附中高一上期中)某公司租地建仓库,每月土地费用与仓库到车站距离成反比,而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比.若在距离车站10 km处建仓库,则土
4、地费用和运输费用分别为2万元和8万元,那么要使两项费用之和最小,仓库应建在离车站km处.20.某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需要面粉6吨,每吨面粉价格为1 800元,面粉的保管费为平均每天每6吨18元(从面粉进厂起开始收保管费,不足6吨按6吨算),购买面粉每次需要支付运费900元,设该厂每x(x0)天购买一次面粉.(注:该厂每次购买的面粉都能保证使用整数天)(1)计算每次购买面粉需支付的保管费;(2)试求x的值,使平均每天支付的总费用最少,并计算每天支付的最少总费用.能力提升练一、选择题1.()四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列,则() A.a+d2bcB.a+d20,b0,a+b=
5、2,则y=1a+4b的最小值是()A.72B.4C.92D.55.()若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()A.0,2B.-2,0C.-2,+)D.(-,-26.(2021浙江杭州学军中学高一上月考,)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是()A.245B.285C.5D.67.()函数y=x2+2x-1(x1)的最小值是()A.23+2B.23-2C.23D.28.()设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当zxy取得最小值时,x+2y-z的最大值为()A.0B.98C.2D.949.()设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0)(a0
6、,b0,O为坐标原点),若A,B,C三点共线,则2a+1b的最小值是()A.4B.92C.8D.9二、填空题10.()已知x-1,则函数y=(x+10)(x+2)x+1的最小值为.11.(2019山东菏泽高二期末,)已知x0,y0,且32x+6y=2,若4x+y7m-m2恒成立,则m的取值范围为.12.()规定符号“”表示一种运算,即ab=ab+a+b(a,b为正实数).若1k=3,则k的值为,此时函数f(x)=kxx的最小值为.13.()已知x0,y0,x+y+3=xy,且不等式(x+y)2-a(x+y)+10恒成立,则实数a的取值范围是.三、解答题14.()已知正数a、b、x、y,满足a+
7、b=10,ax+by=1,x+y的最小值为18,求a、b的值.15.()已知a,b,c为不全相等的正实数,且abc=1.求证:a+b+c0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润,则被调整出从事第三产业的员工的人数应控制在什么范围?(2)在(1)的条件下,若被调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,求a的取值范围.深度解析答案全解全析3基本不等式3.1基本不等式3.2基本不等式与最大(小)值基础过关练1.B因为不等式成立的前提条件是各项均为正数,所以x-2y0,即x2y,当且仅当(x
8、-2y)2=1,即x-2y=1时等号成立,故选B.2.C当ba,ab均为正数时,ba+ab2,故只需a,b同号即可,所以均可以.故选C.3.BA中x可能是负数,不成立;B中当且仅当3x2=12x2,即x4=16时取等号,成立;C中当3(x2+1)=12(x2+1)时,(x2+1)2=16,x无解,不成立;D中x2-1可能是负数,不成立.故选B.4.C对于,a2-2a+1=(a-1)20,a2+12a,故不正确;对于,当x0时,x+1x=x+1x2(当且仅当x=1时取“=”);当x0时,x+1x=-x-1x2(当且仅当x=-1时取“=”),故正确;对于,若a=b=-1,则a+bab=-20时,不
9、等式才成立,所以B不一定成立;对于C,显然不等式恒成立;对于D,因为x2+11,所以01x2+11,所以D不成立.故选C.6.D解法一:0a1,0b2ab,a+b2ab,aa2,bb2,a+ba2+b2,故选D.解法二:取a=12,b=13,则a2+b2=1336,2ab=63,2ab=13,a+b=56,显然56最大.故选D.7.Clg 9lg 11lg9+lg1122=lg99220,b0,21a+1baba+b2 a2+b22,2aba+b最小.9.答案(a-b)(b-c)a-c2解析观察题中两式的特点知(a-b)+(b-c)恰好是a-c.abc,a-b0,b-c0,(a-b)(b-c)
10、(a-b)+(b-c)2=a-c2,当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时取“=”.(a-b)(b-c)a-c2.10.解析12f(x1)+f(x2)fx1+x22.证明:12f(x1)+f(x2)=12(lg x1+lg x2)=12lg(x1x2)=lgx1x2,fx1+x22=lgx1+x22,x1,x2(0,+),x1x2x1+x22,当且仅当x1=x2时,等号成立.又f(x)=lg x在区间(0,+)上是增函数,lgx1x2lgx1+x22,即12f(x1)+f(x2)fx1+x22.11.B0x1,03-3x0,b0,且a+b=1,1=a+b2ab,ab14,当且仅当a=b=12
11、时,等号成立,ab有最大值14,故A错误;(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab,2ab1,(a+b)22,即a+b2,a+b有最大值2,故B错误;1a+1b=a+bab=1ab4,1a+1b有最小值4,故C正确;a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab12,a2+b2有最小值12,故D错误.故选C.14.Ca0,b0,1a+1b2ab,当且仅当a=b时取等号,1a+1b+2ab2ab+2ab4,当且仅当2ab=2ab,即ab=1时取等号,当且仅当a=b=1时,1a+1b+2ab取最小值4.15.C由题意得a+b=6,又a0,b0,a+b2ab,aba+b22=9,当且仅当a=b=3时,
12、等号成立.16.证明a,b,c都是正数,a+b2ab0,b+c2bc0,c+a2ac0,(a+b)(b+c)(c+a)2ab2bc2ac=8abc,即(a+b)(b+c)(c+a)8abc,当且仅当a=b=c时,等号成立.17.证明因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,所以1x-1=1-xx=y+zx2yzx,1y-1=1-yy=x+zy2xzy,1z-1=1-zz=x+yz2xyz,由,得1x-11y-11z-18.18.C设直角三角形支架框的一条直角边长为x(x0)m,则另一条直角边长为2x m,斜边长为x2+4x2 m,所以周长l=x+2x+x2+4x222+2,当且仅当x=
13、21.414时,等号成立,所以lmin2.828+2=4.828 m,故选C.19.答案5解析设仓库建在离车站x(x0)km处,土地费用为y1万元,运输费用为y2万元,总费用为y万元,y1=k1x(k10),运输费用y2=k2x(k20),把x=10,y1=2代入得k1=20,把x=10,y2=8代入得k2=45,故总费用y=20x+45x220x45x=8,当且仅当20x=45x,即x=5(负值舍去)时,等号成立.故仓库应建在离车站5 km处.20.解析(1)由题意知,每次购进6x吨面粉,则保管费为18x+18(x-1)+18=18x(x+1)2=9x(x+1)元.(2)设平均每天支付的总费
14、用是y元,则y=1x9x(x+1)+900+61 800=900x+9x+10 8092900x9x+10 809=10 989,当且仅当9x=900x,即x=10时取等号.所以该厂应每10天购买一次面粉,才能使平均每天支付的总费用最少,每天最少总费用是10 989元.能力提升练一、选择题1.A因为a,b,c,d成等差数列,所以a+d=b+c,又因为a,b,c,d0且不相等,所以b+c2bc,故a+d2bc.2.A由已知得x+3y=2,3x0,27y0,3x+27y+1=3x+33y+123x+3y+1=6+1=7,当且仅当3x=27y,即x=1,y=13时,等号成立.3.C依题意得2m-1+
15、n=0,即2m+n=1,又m,n均是正数,所以1=2m+n22mn,即mn18当且仅当m=14,n=12时取等号.故选C.4.Ca+b=2,a+b2=a2+b2=1,y=1a+4b=1a+4ba2+b2=52+2ab+b2a.a0,b0,2ab+b2a22abb2a=2,当且仅当2ab=b2a,且a+b=2,即a=23,b=43时取等号,y的最小值是52+2=92,故选C.5.D因为2x+2y22x+y,2x+2y=1,所以22x+y1,所以2x+y14=2-2,因为y=2x单调递增,所以x+y-2,当且仅当2x=2y,即x=y=-1时,等号成立,所以x+y(-,-2,故选D.6.C由已知可得
16、35x+15y=1,则3x+4y=35x+15y(3x+4y)=95+45+12y5x+3x5y135+125=5,当且仅当12y5x=3x5y,且x+3y=5xy,即x=1,y=12时,等号成立,所以3x+4y的最小值是5.7.Ax1,x-10,y=x2+2x-1=x2-2x+2x+2x-1=x2-2x+1+2(x-1)+3x-1=(x-1)2+2(x-1)+3x-1=(x-1)+3x-1+22(x-1)3x-1+2=23+2,当且仅当x-1=3x-1,即x=1+3(负值舍去)时取等号.故选A.8.C由题意知z=x2-3xy+4y2,所以zxy=x2-3xy+4y2xy=xy-3+4yx4-
17、3=1,当且仅当xy=4yx,即x=2y时取等号,所以zxymin=1,将x=2y,z=xy=2y2代入,得x+2y-z=2y+2y-2y2=y(4-2y)=12(2y)(4-2y)122y+4-2y22=2,当且仅当2y=4-2y,即y=1时取等号.故选C.9.D由题得,AB=OB-OA=(a-1,1),AC=OC-OA=(-b-1,2).A,B,C三点共线,ABAC,(a-1)2-1(-b-1)=0,2a+b=1,又a0,b0,2a+1b=2a+1b(2a+b)=5+2ba+2ab5+22ba2ab=9,当且仅当2ba=2ab,2a+b=1,即a=13,b=13时,等号成立.二、填空题10
18、.答案16解析由x-1,得x+10,则y=(x+1)+9(x+1)+1x+1=(x+1)2+10(x+1)+9x+1=(x+1)+9x+1+102(x+1)9x+1+10=6+10=16,当且仅当x+1=9x+1,即x=2或x=-4(舍去)时,等号成立,所以ymin=16.11.答案(-,3)(4,+)解析x0,y0,且32x+6y=2,4x+y=(4x+y)32x+6y12=1212+3y2x+24xy1212+23y2x24xy=12,当且仅当3y2x=24xy且32x+6y=2,即x=32,y=6时,等号成立,即4x+y有最小值12.4x+y7m-m2恒成立,127m-m2,解得m4,m
19、的取值范围为(-,3)(4,+).12.答案1;3解析依题意得1k=k+1+k=3,即k+k-2=0,解得k=1或k=-2(舍去),k=1,f(x)=kxx=x+x+1x=1+x+1x1+2=3,当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立.当x=1时, f(x)取得最小值3.13.答案-,376解析由(x+y)2-a(x+y)+10恒成立,得(x+y)2+1a(x+y),即a(x+y)+1x+y恒成立,只需a(x+y)+1x+ymin即可.由x+y+3=xy,得x+y+3=xyx+y22,即(x+y)2-4(x+y)-120,解得x+y6或x+y-2(舍去).设t=x+y,则t6,(x+y)+1x
20、+y=t+1t.设f(t)=t+1t,则当t6,+)时, f(t)单调递增,所以f(t)=t+1t的最小值为6+16=376,所以a376,即实数a的取值范围是-,376.三、解答题14.解析x+y=(x+y)1=(x+y)ax+by=a+b+ayx+bxya+b+2ab=(a+b)2,当且仅当ayx=bxy,即yx=ba时,等号成立,x+y的最小值为(a+b)2=18,即a+b+2ab=18.又a+b=10,ab=16.联立a+b=10,ab=16,解得a=2,b=8或a=8,b=2,a=2,b=8或a=8,b=2.15.证明因为a,b,c都是正实数,且abc=1,所以1a+1b21ab=2
21、c,1b+1c21bc=2a,1a+1c21ac=2b,以上三个不等式左右分别相加,得21a+1b+1c2(a+b+c),又因为a,b,c不全相等,所以不能取等号,所以21a+1b+1c2(a+b+c),即a+b+c0,所以0x500(xN+).(2)被调整出的员工创造的年总利润为10a-3x500x万元,剩余员工创造的年总利润为10(1 000-x)(1+0.2x%)万元,则10a-3x500x10(1 000-x)(1+0.2x%),所以ax-3500x21 000+2x-x-1500x2,所以axx2250+1 000+x,因为00,所以0a5,即a的取值范围为(0,5.方法技巧应用基本不等式解决实际问题的一般步骤:(1)理解题意,设未知数时,一般把要求最值的变量设为未知数;(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题,并确定函数的定义域;(3)在定义域内,求出函数的最值;(4)结合实际问题,写出正确答案.
