1、3解三角形的实际应用举例基础过关练题组一测量距离问题1.如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A同侧的河岸边选定一点C,测出A、C间的距离为50 m,ACB=45,CAB=105,则A,B两点间的距离为() A.503 mB.502 mC.252 mD.2522 m2.(2020河北邢台高一下期中)轮船甲和轮船乙在上午11时同时离开海港C,两船航行方向的夹角为135,两船的航行速度分别为25千米/时、202千米/时,则当天下午1时两船之间的距离为()A.1095千米B.1097千米C.100千米D.10101千米3.如图,某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发,沿北偏东6
2、0方向进行海面巡逻,当航行半小时到达B处时,发现北偏西45方向有一艘船C,若船C位于A的北偏东30方向上,则缉私艇所在的B处与船C的距离是()A.5(6+2)kmB.5(6-2)kmC.10(6-2)kmD.10(6+2)km4.(2019广东东莞高二期末)如图所示,为了测量A,B两处岛屿间的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15,北偏东45方向,再往正东方向行驶20千米至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60方向,则A,B两处岛屿间的距离为()A.206千米B.106千米C.10(1+3)千米D.20千米5.如图,某河段的两岸可视为平行的,为了测量该河段的宽度,在河岸
3、的一边选取两点A,B,观察对岸的点C,测得CAB=75,CBA=45,且AB=100 m,则该河段的宽度为m.6.湖中有一小岛C,沿湖有一条南北方向的公路,在这条公路上的一辆汽车行驶到A处时,测得小岛在南偏西15方向,汽车向南行驶1 km后到达B处,又测得小岛在南偏西75方向,求小岛到公路的距离.题组二测量高度问题7.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,从地面上C,D两点望山顶A,测得它们的仰角分别为45和30,已知CD=200米,点C位于BD上,则山高AB等于()A.1002米B.50(3+1)米C.100(3+1)米D.200米8.(2021河南郑州高三段考)“欲穷千里目,更上一层楼”出
4、自唐朝诗人王之涣的登鹳雀楼,鹳雀楼位于今山西省永济市,该楼共三层,前对中条山,下临黄河,传说常有鹳雀在此停留,故有此名.下面是复建的鹳雀楼的示意图,某位游客(身高忽略不计)从地面D点看楼顶点A的仰角为30,沿直线前进79米到达E点,此时看点C的仰角为45,若BC=2AC,则楼高AB约为(结果保留整数)(深度解析)A.65米B.74米 C.83米D.92米9.如图所示,在山底A处测得山顶B的仰角CAB=45,沿倾斜角为30的山坡向山顶走1 000 m到达S点,若测得山顶仰角DSB=75,则山高BC为()A.5002 mB.200 mC.1 0002 mD.1 000 m10.如图,无人机在离地面
5、高200 m的A处,观测到山顶M处的仰角为15、山脚C处的俯角为45,已知MCN=60,则山的高度MN为()A.300 mB.3003 mC.2003 mD.275 m题组三测量角度问题11.有一拦水坝的横断面是等腰梯形,它的上底长为6 m,下底长为10 m,高为23 m,那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别为()A.33,60B.3,60C.3,30D.33,3012.(2020天津静海第一中学高一下调研)若点A在点C的北偏东60方向上,点B在点C的南偏东30方向上,且AC=BC,则点A在点B的()A.北偏东15方向上B.北偏西15方向上C.北偏东10方向上D.北偏西10方向上13.如图所示,两
6、座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的视角CAD=()A.30 B.45C.60 D.7514.甲船在A处发现乙船在其北偏东60方向上的B处,乙船正在以a km/h的速度向北行驶.已知甲船的速度是3a km/h,则甲船应沿着哪个方向前进,才能最快与乙船相遇?能力提升练一、选择题1.(2019宁夏银川一中高三月考,)某船开始看见灯塔在南偏东30方向,后来船沿南偏东60的方向航行15 km后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是() A.5 kmB.52 kmC.53 kmD.10 km2.(2019陕西西安一中高二
7、月考,)一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120角的方向航行,已知水流速度为2 km/h,则经过3 h该船的实际航程为()A.23 kmB.3 kmC.6 kmD.63 km3.()某同学家住8楼,距地面高约20 m,在该楼前的建筑工地上有一座塔吊,该同学在家测得塔吊顶的仰角为60,塔吊底的俯角为45,那么该塔吊的高度是()A.201+33mB.20(1+3)mC.10(2+6)mD.20(2+6)m4.(2020福建莆田一中高一下期末,)如图所示,隔河可以看到对岸两目标A,B,但不能到达,现在岸边取相距4 km的C,D两点,测得ACB=75,BCD=45,ADC=30,ADB=45(
8、A,B,C,D在同一平面内),则两目标A,B之间的距离为()A.853 kmB.4153 kmC.2153 kmD.25 km二、填空题5.()一艘海警船从港口A出发,以每小时40千米的速度沿南偏东40方向直线航行,30分钟后达到B处,这时候接到从C处发出的求救信号,已知C在B的北偏东65,港口A的南偏东70处,那么B,C两点的距离是千米.6.(2020广东佛山一中高一下期中,)某校在百年校庆活动上要举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度为15的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30,测得第一排和最后一排的距离为86米(如图所示),旗杆底部与第一排在同一个水
9、平面上,则旗杆的高度为米.三、解答题7.()如图,有一段河流,河的一侧是圆心为O,半径为103米的扇形区域OCD,河的另一侧是一段笔直的河岸l,岸边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离),且OB的连线恰好与河岸l垂直,设OB与CD的交点为E.经测量,扇形区域和河岸处于同一水平面,在点C,点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45,30和60.(1)求烟囱AB的高度;(2)如果要在C、E间修一条直路,求CE的长.8.()如图1,在路边竖直安装路灯,路宽为OD,灯柱OB长为h米,灯杆AB长为1米,且灯杆与灯柱成120角,路灯采用圆锥形灯罩,其轴截面的顶角为2,灯罩轴线AC与灯杆AB垂直.(1)设灯罩轴线
10、与路面的交点为C,若OC=53米,求灯柱OB的长;(2)设h=10米,若灯罩截面的两条母线所在直线中的一条恰好经过点O,另一条与地面的交点为E,如图2,求cos 的值及该路灯照在路面上的宽度OE的长.答案全解全析3解三角形的实际应用举例基础过关练1.B在ABC中,ACB=45,CAB=105,B=30.由正弦定理,得ABsinACB=ACsinB,AB=ACsinACBsinB=502212=502(m).2.B设轮船甲、乙在下午1时所处的位置分别为A和B,由题可知CA=50千米,CB=402千米,ACB=135,则AB2=CA2+CB2-2CACBcosACB=502+(402)2-2504
11、02-22=9 700,故AB=1097千米.3.C由题意,得BAC=60-30=30,ABC=30+45=75,ACB=180-75-30=75,AC=AB=4012=20(km).由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2ACABcosBAC=202+202-22020cos 30=800-4003=400(2-3),BC=400(2-3)=200(3-1)2=102(3-1)=10(6-2)km.4.B由题意可知CD=20千米,ADC=105,BDC=45,BCD=90,ACD=30,CAD=45,ADB=60.在ACD中,由正弦定理得ADsin30=20sin45,AD=102千米.在R
12、tBCD中,BDC=45,BCD=90,BD=2CD=202(千米).在ABD中,由余弦定理得AB=200+800-2102202cos60=106(千米).故选B.5.答案50(3+3)3解析CAB=75,CBA=45,ACB=180-CAB-CBA=60.由正弦定理得ABsinACB=BCsinCAB,BC=ABsin75sin60.如图,过点B作BD垂直于河岸,垂足为D,则BD的长就是该河段的宽度.在RtBDC中,BCD=CBA=45,sinBCD=BDBC,BD=BCsin 45=ABsin75sin60 sin 45=1006+243222=50(3+3)3(m),即该河段的宽度为5
13、0(3+3)3 m.6.解析如图,CAB=15,CBA=180-75=105,ACB=180-105-15=60,AB=1 km.由正弦定理得BCsinCAB=ABsinACB,所以BC=sin15sin60=6-223(km).设C到直线AB的距离为d,则d=BCsin 75=6-2236+24=36(km),即小岛到公路的距离是36 km.7.C设AB=h米,在RtACB中,ACB=45,所以BC=AB=h米.在RtABD中,D=30,所以BD=3h米.又BD-BC=CD,即3h-h=200,解得h=2003-1=100(3+1).8.答案B信息提取ADB=30,CEB=45,DE=79米
14、;BC=2AC;求AB的长.数学建模以测量楼高为背景,构建解三角形模型,借助图形求出相应的边与角,再利用解直角三角形知识求解.设AC的高度为x米,在直角三角形中分别用x表示出BE,BD,由DE=79米可列出关于x的方程,求出x即得楼高.解析设AC的高度为x米,则由已知可得AB=3x米,BC=BE=2x米,则在RtABD中,BD=ABtanADB=33x米,所以DE=BD-BE=33x-2x=79(米),解得x=7933-2,所以楼高AB=37933-274(米).方法技巧在解三角形问题中,要重视方程思想的运用.将某边或某角设为未知数,利用正弦、余弦定理将其他的边或角用未知数表示,寻找等量关系列
15、方程,通过解方程求出相应的边或角,这是解三角形问题中常用的解题策略.9.D由题图可知,BSA=360-75-150=135,又SAB=45-30=15,ABS=30.在ABS中,ASsin30=ABsin135,AB=ASsin135sin30=1 0002212=1 0002(m),BC=ABsinBAC=1 0002sin 45=1 000(m).10.AADBC,ACB=DAC=45,AC=2AB=2002 m,又MCA=180-60-45=75,MAC=15+45=60,AMC=45,在AMC中,MCsinMAC=ACsinAMC,MC=2002sin60sin45=2003(m),M
16、N=MCsinMCN=2003sin 60=300(m).11.B如图所示,横断面是等腰梯形ABCD,AB=10 m,CD=6 m,高DE=23 m,AE=AB-CD2=2(m),tanDAE=DEAE=232=3,DAE=60.12.A由题意,作图如下:则CBE=30,ABC=45,所以ABE=15,故点A在点B的北偏东15方向上.13.B依题意可得AD=202+602=2010(m),AC=(50-20)2+602=305(m),又CD=50 m,所以在ACD中,由余弦定理的推论得cosCAD=AC2+AD2-CD22ACAD=(305)2+(2010)2-50223052010=6 00
17、06 0002=22,又0CAD180,所以CAD=45,所以从顶端A看建筑物CD的视角CAD为45.14.解析如图所示,设经过t h两船在C点相遇.在ABC中,BC=at km,AC=3at km,B=180-60=120.由BCsinCAB=ACsinB,得sinCAB=BCsinBAC=atsin1203at=12.0CAB60,CAB=30,DAC=60-30=30,即甲船应沿北偏东30的方向前进,才能最快与乙船相遇.能力提升练一、选择题1.C如图所示,在ABC中,AC=15 km,BAC=60-30=30,BCA=90-60=30,所以AB=BC.在ABC中,由余弦定理的推论得cos
18、BCA=BC2+AC2-AB22BCAC,即32=1522BC15,则BC=、53 km,即这时船与灯塔的距离是53 km.2.C如图,设水流速度与船速度的合速度为v,在OAB中,A=60,OA=2 km,AB=4 km,由余弦定理得OB2=OA2+AB2-2OAABcos 60=22+42-22412=12,OB=23 km,v=23 km/h,即船的实际速度为23 km/h,则经过3 h该船的实际航程为233=6(km).3.B如图所示,ADE=60,BDE=45,DEAB,BE=CD=20.在BDE中,DE=BE=20,在AED中,AE=DEtanADE=203,则AB=AE+EB=20
19、(3+1).故所求塔吊的高度为20(3+1)m.4.B由已知,得CAD=30,ACD=120,由正弦定理,得CDsinCAD=ADsinACD,所以AD=CDsinACDsinCAD=4sin120sin30=43(km),在BCD中,CBD=60,由正弦定理,得CDsinCBD=BDsinBCD,所以BD=CDsinBCDsinCBD=4sin45sin60=463(km),在ABD中,由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB=803,所以AB=4153 km.所以A与B之间的距离为4153 km.二、填空题5.答案102解析如图所示,由已知可得BAC=70-40=30,
20、ABC=40+65=105,所以ACB=45,AB=400.5=20(千米),所以BC=ABsin45sin 30=102(千米).6.答案24解析如图,由题意得BC=86米,ABC=180-60-15=105,ACB=30+15=45,所以BAC=180-105-45=30,由正弦定理得ABsinACB=BCsinBAC=86sin30=166,所以AB=166sinACB=16622=163(米),在RtABD中,AD=ABsin 60=16332=24(米).故旗杆的高度为24米.三、解答题7.解析(1)设AB的高度为h米,在RtCAB中,因为ACB=45,所以CB=h米.在RtOAB中
21、,因为AOB=30,所以OB=3h米.在RtABE中,因为AEB=60,所以EB=33h米.由题意得OB-EB=OE,所以3h-33h=103,解得h=15,即烟囱AB的高度为15米.(2)在OBC中,cosCOB=OC2+OB2-BC22OCOB=300+2253-2252103153=56,所以在OCE中,CE2=OC2+OE2-2OCOEcosCOE=300+300-60056=100,所以CE=10米,即CE的长为10米.8.解析(1)如图,过点A作OD的垂线,垂足为H,过点B作AH的垂线,垂足为F.因为AB=1米,OBA=120,ABAC,所以ABF=120-90=30,ACO=60
22、,所以AF=ABsin 30=12米,BF=ABcos 30=32米,又OC=53米,OH=BF=32米,所以HC=OC-OH=932米.因为AH=HCtanACO=HCtan 60=3HC,所以12+h=3932,解得h=13,故灯柱OB的长为13米.(2)在ABO中,由余弦定理得OA2=AB2+OB2-2ABOBcos 120=111,所以OA=111米,在ABO中,由正弦定理得BOsinBAO=OAsinB,即10sinBAO=111sin120,解得sinBAO=537,所以cos =sinBAO=537=53737,故sin =1-cos2=2337,所以sin 2=2sin cos =20337,所以sinAEO=sin(ACO-CAE)=sin(60-)=32537-122337=33237.在AOE中,由正弦定理得OEsin2=OAsinAEO,故OE=OAsinAEOsin 2=4033米.