1、专题41 概率统计与函数、不等式的综合一、题型选讲题型一 、概率与函数的交汇例1、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）设，随机变量的分布列是：01则当在内增大时（ ）A增大B减小C先增大后减小D先减小后增大【答案】A【解析】根据随机变量的分布列，则由于函数的图象为关于的开口方向向下的抛物线，且，函数的对称轴为，故增大.例2、【2018年高考全国卷理数】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且
2、各件产品是否为不合格品相互独立（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案】（1）；（2）（i），（ii）应该对余下的产品作检验【解析】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为因此令，得，当时，；当时，所以的最大值点为（2）由（1）知，（i
3、）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，即所以（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元由于，故应该对余下的产品作检验例3、（2020届山东省日照市高三上期末联考）某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产万件的该种产品所需要的总成本（万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在，（单位：）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.产品的品质情况和相应的价格（元/件）与年产量之间的函数关系如下表所示.产品品质立品尺寸的范围价格与产量的函数关系式优中差以频率作为概率解决如下问题：（1）求实数的值
4、；（2）当产量确定时，设不同品质的产品价格为随机变量，求随机变量的分布列；（3）估计当年产量为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.【答案】（1）；（2）见解析（3）年产量时，该公司年利润取得最大值，最大利润为138万.【解析】（1）由题意得，解得；（2）当产品品质为优时频率为，此时价格为；当产品品质为中时频率为，此时价格为；当产品品质为差时频率为，此时价格为；以频率作为概率，可得随机变量的分布列为：0.50.20.3（3）设公司年利润为，则整理得，显然当时，时，当年产量时，取得最大值.估计当年产量时，该公司年利润取得最大值，最大利润为138万.例4、（广东省2021届高三上学期综合能力测试
5、）随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载用户每日健步的步数某市大型企业为了了解其员工每日健步走的情况，从正常上班的员工中随机抽取了2000人，统计了他们手机计步软件上同一天健步的步数（单位：千步，假设每天健步的步数均在3千步至21千步之间）将样本数据分成3，5），5，7），7，9），9，11)，11，13)，13，15)，15，17)，17，19)，19，21九组，绘制成如图所示的频率分布直方图，并用样本的频率分布估计总体的频率分布(1)求图中a的值；(2)设该企业正常上班的员工健步步数（单位：千步）近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数（各区间数据用中点值近似计算
6、），取，若该企业恰有10万人正常上班的员工，试估计这些员工中日健步步数Z位于区间4.88,15.8范围内的人数；(3)现从该企业员工中随机抽取20人，其中有k名员工的日健步步数在13千步至15千步内的概率为，其中，当最大时，求k的值，参考数据：若随机变量服从正态分布，则，.【解析】(1)由，解得，(2，则100000.8186 = 8186（人），所以日健步步数Z位于区间4.88,15.8范围内的人数约为8186人(3)设从该企业员工中随机抽取20人日健步步数在13千步至15千步内的员工有X人，则，其中有k名员工的概率为，其中. 记，当时，则；当时，则.所以当时，最大，题型二、概率与数列的交汇
7、例5、【2019年高考全国卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X
8、（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，其中，假设，(i)证明：为等比数列；(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性【答案】（1）分布列见解析；（2）(i)证明见解析，(ii)，解释见解析【解析】X的所有可能取值为，所以的分布列为（2）（i）由（1）得因此，故，即又因为，所以为公比为4，首项为的等比数列（ii）由（i）可得由于，故，所以表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理例6
9、、（华南师大附中2021届高三综合测试）足球运动被誉为“世界第一运动”深受青少年的喜爱(I)为推广足球运动，某学校成立了足球社团，由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取；若没踢进，则继续踢，直到踢进为止，但是每人最多踢点球3次下表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率，为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，他在测试中所踢的点球次数记为，求的分布列及数学期望；点球数 20 30 30 25 20 25 进球数 1017 201613 14 (II)社团中的甲、乙、丙三名
10、成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到，记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为Pn，即P1 =1(i)求P2，P3（直接写出结果即可）；(ii)证明：数列为等比数列，并判断第19次还是第20次触球者是甲的概率大【解析】：(I)这150个点球中的进球频率为，则该同学踢一次点球命中的概率p= 0.6，由题意，可能取1，2，3，则P（=1）= 0.6，P（=2）= 0.40.6=0.24，P（=3）= 0.40.4=0.16，的分布列为： 1 2 3 p 0.6 0.24
11、 0.16即E（）=l0.6+20.24+30.16=1.56(II)(i)由题意P2=0，P3=(ii)第n次触球者是甲的概率记为Pn，则当n2时，第n-1次触球者是甲的概率为Pn-1，第n-1次触球者不是甲的概率为1- Pn-1，则，从而，又是以为首项，公比为的等比数列则，故第19次触球者是甲的概率大二、达标训练1、（2020浙江温州中学高三3月月考）随机变量的可能值有1，2，3，且，则的最大值为（ ）ABCD1【答案】D【解析】随机变量的可能值有1，2，3，且，可得：，由，可得所以，当时，的最大值为1故选：D2、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）随机变量的分布列如下：-101
12、其中，成等差数列，则的最大值为（ ）ABCD【答案】A【解析】因为，成等差数列，.则的最大值为3、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）已知随机变量满足P (=0) =x，P(=1) =1-x，若则（ ）AE()随着x的增大而增大，D ()随着x的增大而增大BE()随着x的增大而减小，D()随着x的增大而增大CE()随着x的增大而减小，D()随着x的增大而减小DE()随着x的增大而增大，D()随着x的增大而减小【答案】B【解析】依题意，在区间上是减函数.，注意到函数的开口向下，对称轴为，所以在区间上是增函数，也即在区间上是增函数.故选：B4、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）2017年
13、11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0.项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资
14、额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p和.（1）若投资项目一，记为盈利的天坑院的个数，求（用p表示）；（2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为百万元，求（用p表示）；（3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由.【答案】（1） （2） （3）见解析【解析】（1）解：由题意则盈利的天坑院数的均值.（2）若投资项目二，则的分布列为2-1.2盈利的均值.（3）若盈利，则每个天坑院盈利（百万元），所以投资建设20个天坑院，盈利的均值为（百万元）.当时，解得.故选择项目一.当时，解得.此时选择项一.当时，解得.此时选择项二.5
15、、（2020届山东省潍坊市高三上期中）如图，直角坐标系中，圆的方程为，为圆上三个定点，某同学从点开始，用掷骰子的方法移动棋子规定：每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动设掷骰子次时，棋子移动到，处的概率分别为，例如：掷骰子一次时，棋子移动到，处的概率分别为，（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到，处的概率；（2）掷骰子次时，若以轴非负半轴为始边，以射线，为终边的角的余弦值记为随机变量，求的分布列和数学期望；（3）记，其中证明：数列是等比数列
16、，并求.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）证明详见解析，.【解析】（1），综上，棋子位置掷骰子次数23（2）随机变量的可能数值为1，.综合（1）得，故随机变量的分布列为.（3）易知，因此，而当时，又，即.因此，故即数列是以为首项，公比为的等比数列.所以，又故.6、某超市计划按月订购一种酸奶，每天的进货量相同，进货成本为每瓶4元，售价为每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200
17、瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1） 求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2） 设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？【解析】 （1） 由题意知，X可能取值为200，300，500，P（X200）0.2，P（X300）0.4，P（X500）0.4，所以X的分布列为X200300500P0.20.40.4（2） 由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，因此只需考虑200n500.当300n500时，若最高气温不低于25，则Y6n4n2n；若最高气温位于区间20，25），则Y63002（n300）4n1 2002n；若最高气温低于20，则Y62002（n200）4n8002n，所以E（Y）2n0.4（1 2002n）0.4（8002n）0.26400.4n.当200n1，P(n)P(n1)