1、星期四(函数与导数问题)2017年_月_日已知函数f(x)kexx2(其中kR，e是自然对数的底数.(1)若k0，试判断函数f(x)在区间(0，)上的单调性；(2)若k2，当x(0，)时，试比较f(x)与2的大小；(3)若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1x2)，求k的取值范围，并证明0f(x1)1.解(1)由f(x)kex2x可知，当k0时，由于x(0，)，f(x)kex2x0，故函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数.(2)当k2时，f(x)2exx2，则f(x)2ex2x，令h(x)2ex2x，h(x)2ex2，由于x(0，)，故h(x)2ex20，于是h(x)2ex2x在(0
2、，)为增函数，所以h(x)2ex2xh(0)20，即f(x)2ex2x0在(0，)恒成立，从而f(x)2exx2在(0，)为增函数，故f(x)2exx2f(0)2.(3)函数f(x)有两个极值点x1，x2，则x1，x2是f(x)kex2x0的两个根，即方程k有两个根，设(x)，则(x)，当x0时，(x)0，函数(x)单调递增且(x)0；当0x1时，(x)0，函数(x)单调递增且(x)0；当x1时，(x)0，函数(x)单调递减且(x)0.要使k有两个根，只需0k(1)，如图所示，故实数k的取值范围是(0，).又由上可知函数f(x)的两个极值点x1，x2满足0x11x2，由f(x1)kex12x10，得k.f(x1)kex1xex1xx2x1(x11)21，由于x1(0，1)，故0(x11)211，所以0f(x1)1.
