1、江西省宜春市奉新县第一中学2019-2020学年高二数学下学期第一次月考试题 文（含解析）（考试时间：120分钟总分：150分）第卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.已知点的极坐标为那么它的直角坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用，即可得出直角标准【详解】解：点的极坐标为，可得它的直角坐标，即故选：A【点睛】本题考查了极坐标化为直角坐标，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2.命题“，”的否定是（ ）A. 不存在，B. 存在，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】
2、的否定为.【详解】根据特称命题的否定是全称命题可知，的否定为：，.故选：C.【点睛】本题考查特称命题的否定，要注意两个方面的变化：一是量词符号，二是命题的结论，本题是一道容易题.3.双曲线的一条渐近线的方程为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将双曲线方程化为标准形式，即可得到渐近线方程.【详解】由双曲线，得，所以渐近线的方程为，即.故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题.4.下列命题是真命题的是（ ）A. “若,则”的逆命题B. “若，则”的否定C. “若都是偶数，则是偶数”的否命题D. “若函数都是R上的奇函数，则是R上的奇函数”的逆否命题【
3、答案】D【解析】【分析】根据命题的定义，写出已知中命题的四种命题或否定命题，再逐一判断真假即可得到答案.【详解】对于A：“若,则”的逆命题为：“若，则”为假命题，故A错误；对于B：“若，则”的否定为：“若，则”为假命题，故B错误；对于C：“若都是偶数，则是偶数”的否命题为：“若不都是偶数，则不是偶数”为假命题，故C错误；对于D：“若函数都是上的奇函数，则是上的奇函数”的逆否命题为：“若是上的奇函数，则函数都是上的奇函数”为真命题，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查的知识点是四种命题，命题的否定，熟练掌握四种命题的定义是解答的关键，属于基础题.5.已知椭圆与双曲线的焦点相同，且椭圆上任意一点到
4、两焦点的距离之和为，那么椭圆的离心率等于( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：因为双曲线的焦点在x轴上,所以设椭圆的方程为,因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为,所以根据椭圆的定义可得,则,选B考点：椭圆定义 离心率6.已知函数与的图象如图所示，则不等式组的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由与的关系判断出哪支是的图象，哪支是的图象即可.【详解】结合图象，若实线是的图象，虚线是的图象，则在上，则在单调递增，不满足题意，故实线那支为的图象，虚线那支为的图象，故不等式组的解集为.故选：A.【点睛】本题考查与图象之间的联系，考查学生逻辑推理能力，是一
5、道基础题.7.已知函数f（x）x23x，g（x）mx+1，对任意x11，3，存在x21，3，使得g（x1）f（x2），则实数m的取值范围为（ ）A. ，1B. 1，+）C. （，1D. ）【答案】A【解析】【分析】对任意，存在,使得等价于的值域是 值域的子集，在区间上的值域为,只需讨论取值,求得的值域,即可求得.【详解】由题意在区间上的值域为,当时，的值域为，所以，无解;当时,显然不成立；当时，的值域为,所以,解得,综上.故选:.【点睛】本题考查双变量一个任意,一个存在的问题，转化为值域包含的问题,主要是求两个函数的值域，再转化为两个集合的子集问题即得解,难度一般.8. 函数f(x)的定义域为
6、R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )A. 无极大值点，有四个极小值点B. 有三个极大值点，两个极小值点C. 有两个极大值点，两个极小值点D. 有四个极大值点，无极小值点【答案】C【解析】试题分析：所给图象是导函数图象，只需要找出与轴交点，才能找出原函数的单调区间，从而找出极值点；由本题图中可见与有四个交点，其中两个极大值，两极小值.考点：函数的极值.9.若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得函数的导数，对分成两种情况，根据函数的单调区间以及零点存在性定理列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】.当时，若，则，
7、此时函数在区间上单调递增，不可能有两个零点；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，因为，若函数在区间内有两个零点，有，得.故选B.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.10.欲制作一个容积为的圆柱形蓄水罐（无盖），为能使所用的材料最省，它的底面半径应为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先将表面积表示为半径的函数，再利用导数求极值点即可得解.【详解】解：设圆柱的底面半径为，高为，表面积为，则由题意有，所以.则水罐的表面积.令，得.检验得，当时表面积取得最小值，即所用的材料最省.故选：C.【点睛】本题考查导数应用，重点考
8、查了运算能力，属中档题.11.如果函数f(x)x3x满足：对于任意的x1，x20,2，都有|f(x1)f(x2)|a2恒成立，则a的取值范围是()A ，B. ，C. (，)D. (，)【答案】D【解析】f(x)x21，当0x1时，f(x)0，f(x)单调递减；当1x0，f(x)单调递增.f(x)x3x在x1时取到极小值，也是x0,2上的最小值，f(x)极小值f(1)f(x)最小值，又f(0)0，f(2)，在x0,2上，f(x)最大值f(2)，对于任意的x1，x20,2，都有|f(x1)f(x2)|a2恒成立，只需a2|f(x)最大值f(x)最小值|()即可，a或a.故选D.点睛：本题主要考查的
9、是利用导数研究函数的单调性、不等式的恒成立和分类讨论思想的应用，属于难题利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：确定函数的定义域；对求导；令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得 的范围就是递减区间；根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.12.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）为f（x）的导函数，且满足当x0时，有xf（x）f（x）0，则不等式f（x）xf（1）0的解集为（ ）A. （1，0）（1，+）B. （，0）（0，1）C. （，1）（1，+）D. （1，0）（0，1）【答案】A【解析】【分析】构造函数,则,所以在单调递减,由
10、是奇函数,可得是偶函数,所以在上单调递增,进一步分析出偶函数的单调性在对称区间内单调性相反。故建立不等式组，解不等式组求得结果.【详解】设,则,所以在单调递减,又是奇函数，所以是偶函数，所以在上单调递增，当时, 等价于，即,所以，当时，等价于,即，所以.故选:.【点睛】本题主要考查函数单调性和导数之间关系,构造新函数,根据函数的奇偶性和单调性判断新函数的性质是解决本题的关键,难度较难.第卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）13.已知在上连续可导，为其导函数，且，则在处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】求导得斜率，利用点斜式求解直线方程【详解】由题意，
11、 ，所以，因此，所以，易知切线为故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，考查切线方程求法，是基础题14.函数的单调减区间是_【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，令，解出即可【详解】解：，令，解得的单调减区间为故答案为：【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题15.抛物线的一条弦被平分，那么这条弦所在的直线方程是_.【答案】【解析】【分析】设弦的两个端点的坐标，用点差法，即：代入抛物线方程后作差，代入点坐标得到弦所在的直线的斜率，由点斜式求出直线的方程.【详解】设弦的两个端点为，分别代入抛物线方程，得： -得：，即，又因为被点平分，所以，则，即弦所在的直线的斜率.所以这条线所
12、在的直线方程为：，即.故答案为：.【点睛】本题考查抛物线的弦的方程，涉及到弦的中点问题，一般用点差法求出直线斜率，还考查直线的点斜式方程.16.已知函数，若关于x的方程有3个不同的实数解，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】通过求导，画出函数的图象，由二次函数对称性得，求得即可求解【详解】当 ， 画出函数的图象如图，设，由二次函数对称性得，二次函数的最低点处，.故答案为：【点睛】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查利用导数求函数的最值，考查数形结合的解题思想方法，是中档题三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程.）17.已知实数，满足，实数，满足.（1）若时为
13、真，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围【答案】(1).(2).【解析】试题分析：（1）且真，则都是真命题，解这两个不等式后取交集即可得到实数的取值范围.（2）是的必要不充分条件，则的范围是的范围的子集，由此得到的取值范围.试题解析：（1）由，得.当时，即为真命题时，.由得，所以真时，.若为真，则所以实数的取值范围是.（2）设，是的充分不必要条件，所以，从而.所以实数的取值范围是.18.在极坐标系中，极点为0，已知曲线与曲线交于不同的两点.求：(1)的值；(2)过点且与直线平行的直线的极坐标方程【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）把曲线C1和曲线C
14、2方程化为直角坐标方程，它们分别表示一个圆和一条直线利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离为d的值，再利用弦长公式求得弦长|AB|的值（2）用待定系数法求得直线l的方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求得l的极坐标方程试题解析：（1），又，可得,，圆心(0,0)到直线的距离为（2）曲线的斜率为1，过点且与曲线平行的直线的直角坐标方程为，直线的极坐标为，即19.已知椭圆的右焦点，且点在椭圆上（1）求椭圆的标准方程；（2）过点且斜率为1的直线与椭圆相交于、两点，求的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意可得a，c的值，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（2）
15、过点F且斜率为1的直线方程设为yx，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，再由点到直线的距离公式可得O到MN的距离d，运用三角形的面积公式，计算可得所求值【详解】（1）由题意，椭圆焦点且过点，得，又，所以椭圆方程为（2）由题意得，直线的方程为，设，联立直线与椭圆方程，得，得，则，又，所以设原点到直线的距离为，所以的面积【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，也考查点到直线的距离公式和三角形的面积求法，属于中档题20.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）判断函数零点的个数，并说明理由.【答案】（1）函数在区间，上单调递增；函数在区间上单
16、调递减. （2）一个，理由见解析【解析】【分析】（1），列表得到在区间上的正负符号即可得到的单调性；（2）计算，由（1）的结论及零点存在定理即可得到答案.【详解】（1）解：由题意得， 令，得， 与在区间上的情况如下:+0_0+增减增函数在区间，上单调递增;函数在区间上单调递减. （2）根据第一问，由函数单调性可知当时，有极大值；当时，有极小值；在区间单调递增，在区间上单调递减，可知在上，恒有；当时， ，(举例不唯一)上单调递增，由零点存在定理可知， 有且只有一个实数，使得.所以函数有且只有一个零点【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及零点个数的问题，涉及到零点存在性定理的应用，是一道基础
17、题.21.已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上顶点，的面积为（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于不同两点，已知，求实数取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角形的面积，结合离心率，求出，即可得到椭圆方程（2）由，消去整理得：，设，利用韦达定理，又设中点的坐标为，求出的坐标，通过，说明垂直推出，然后求解的取值范围【详解】（1）解：由题意，又，解得，椭圆的方程为（2）由，消去整理得，设，则，由，又设中点的坐标为，即，即，解得的取值范围【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及中点坐标公式，考查转化思想，属于中档题22.
18、函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围【答案】(1)见解析；(2) 或【解析】【分析】（1）先求得函数的导函数和定义域，对分成等种情况，分类讨论函数的单调性.（2）将分离常数化为，构造函数，利用导数求得的单调性和最值，由此求得的取值范围.【详解】（1）， （i）当时，令,得，令,得，函数在上单调递增，上单调递减； （ii）当时，令，得, 令,得，令,得，函数在和上单调递增，上单调递减； （iii）当时，函数f(x)在上单调递增； （iv）当时，令,得，令,得函数在和上单调递增，上单调递减； 综上所述：当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为（2）当时，由，得，又，所以，要使方程在区间上有唯一实数解，只需有唯一实数解， 令，由得；得，在区间上是增函数，在区间上是减函数.，故或【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
