1、第二编讲专题专题一 函数与导数第1讲函数的图象与性质考情研析1.对函数图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决有关函数性质的问题2.求函数零点所在的区间、零点的个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选填的形式出现.核心知识回顾1.函数的单调性单调性的定义的等价形式：设x1，x2a，b(x1x2)，那么(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在a，b上是减函数2函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(x)
2、f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(x)f(x)成立，则f(x)为偶函数)(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若f(xT)f(x)(T0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期3关于函数的周期性、对称性的结论(1)函数的周期性若函数f(x)满足f(xa)f(xa)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期设f(x)是R上的偶函数，且图象关于直线xa(a0)对称，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期设f(x)是R上的奇函数，且图象关于直线xa(a0)对称，则f(x)是周期函数，4a是它的一个周期(2)函数图象的对称性若
3、函数yf(x)满足f(ax)f(ax)，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于直线xa对称若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称若函数yf(x)满足f(ax)f(bx)，则函数f(x)的图象关于直线x对称4函数与方程(1)零点定义：x0为函数f(x)的零点f(x0)0(x0,0)为f(x)的图象与x轴的交点(2)确定函数零点的三种常用方法解方程判定法：解方程f(x)0.零点定理法：根据连续函数yf(x)满足f(a)f(b)0，判定函数在区间(a，b)内存在零点数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解.热点考
4、向探究考向1 函数的性质例1(1)定义在R上的函数f(x)在区间(，2)上是增函数，且函数f(x2)的图象关于直线x0对称，则()Af(1)f(3)f(1)Bf(1)f(1)f(3)Cf(3)f(1)f(1)Df(0)f(3)f(1)答案C解析f(x2)的图象关于y轴对称，yf(x)的图象关于直线x2对称，f(2x)f(2x)，f(3)f(1)，而函数f(x)在区间(，2)上是增函数，f(1)f(0)f(1)f(3)(2)(2019鞍山一中高三三模)奇函数f(x) 的定义域为R，若f(x1)为偶函数，且f(1)1，则f(2018)f(2019)()A2B1C0D1答案B解析由题意，奇函数f(x
5、)的定义域为R，若f(x1)为偶函数，则f(x1)f(x1)，即f(x2)f(x)，则f(x4)f(x2)f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数，f(2018)f(50442)f(2)f(0)0，f(2019)f(50451)f(1)1，则f(2018)f(2019)011，故选B.(3)(2019永州市高三摸底考试)已知函数f(x)exex2x(xR)，则不等式f(1x)f(1x2)0的解集是()A1,2B2,1C(，12，)D(，21，)答案A解析因为函数f(x)exex2x(xR)，所以f(x)exex2xf(x)，因此函数f(x)为奇函数，所以f(1x)f(1x2)0化为f(1x)f
6、(x21)，又f(x)exex20在R上恒成立，因此函数f(x)exex2x在R上为增函数，所以1xx21，即x2x20，解得1x2.故选A.(1)函数奇偶性的判断主要是根据定义，涉及奇偶性与单调性相结合的问题应明确奇、偶函数的单调性特征，将所研究的问题转化为同一个单调区间，涉及偶函数的单调性应注意f(x)f(x)f(|x|)的应用(2)含参数奇、偶函数问题，应根据奇偶函数的定义列出关于参数的方程，而对原点处有定义的奇函数，可直接用f(0)0列式求参数1(2019永州市高三第三次模拟)已知f(x)满足xR，f(x2)f(x)，且x1,3)时，f(x)log2x1，则f(2019)的值为()A1
7、B0C1D2答案C解析因为f(x)满足xR，f(x2)f(x)，所以函数f(x)的最小正周期为2，又x1,3)时，f(x)log2x1，因此f(2019)f(1)log2111.故选C.2奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且x0,2时，f(x)2xx2，则f(2018)f(2019)f(2020)的值为_答案1解析函数f(x)是奇函数，则f(0)0，由f(x)2xx2，x0,2知f(1)1，f(2)0，又f(x2)f(x)，所以f(x)f(x2)f(x4)f(x4)，所以f(x)的周期为4，所以f(2018)f(2019)f(2020)f(2)f(3)f(0)f(3)f(1)f(1)1.3
8、已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x24x.那么，不等式f(x2)5的解集是_答案(7,3)解析f(x)是偶函数，f(x)f(|x|)又x0时，f(x)x24x，不等式f(x2)5f(|x2|)5|x2|24|x2|5(|x2|5)(|x2|1)0|x2|50|x2|55x257xb，cd.若f(x)2019(xa)(xb)的零点为c，d，则下列不等式正确的是()AacdbBadcbCcdabDcabd答案A解析由题意，设g(x)(xa)(xb)，则f(x)2019g(x)，所以g(x)0的两个根是a，b，由题意知，f(x)0的两根c，d，也就是g(x)2019的两根，画出g
9、(x)(开口向上)以及直线y2019的大致图象，则两函数图象的交点的横坐标就是c，d，g(x)与x轴的交点的横坐标就是a，b，又ab，cd，则c，d在a，b内，由图得，acdb，故选A.(2)函数ylg xx在(0，)上的零点个数为()A1B2C3D4答案C解析画出函数ylg x与yx的图象，如图，易知两函数图象在(0，)上有3个交点，即函数ylg xsinx在(0，)上有3个零点，故选C.(3)(2019天津九校联考)已知函数f(x)且函数yf(x)2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()A4，)B8，)C4,0D(0，)答案A解析方程f(x)2x0f(x)2xf(x)a2xa，所以
10、函数yf(x)2x恰有三个不同的零点等价于yf(x)a与y2xa有三个不同的交点记g(x)f(x)a画出函数简图如下，画出函数y2x如图中过原点的虚线l，平移l要保证图象有三个交点，向上最多平移到l位置，向下平移一直会有三个交点，所以a4，即a4，故选A.判断函数零点的方法(1)解方程法，即解方程f(x)0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点(2)图象法，画出函数f(x)的图象，图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数(3)数形结合法，即把函数等价转化为两个函数，通过判断两个函数图象交点的个数得出函数零点的个数(4)利用零点存在性定理判断1(2019广西桂林市高三综合能力检测)下列函
11、数中是奇函数且有零点的是()Af(x)x|x|Bf(x)x1xCf(x)tanxDf(x)sin答案C解析因为f(x)x|x|，所以f(x)x|x|，而f(x)x|x|，所以不是奇函数，排除A；因为f(x)x1x，所以f(x)x1xf(x)，所以函数f(x) 是奇函数，但令f(x)0，可知方程无解，即f(x) 没有零点，排除B；因为f(x)sincosx，所以f(x)cosxf(x)，即f(x)为偶函数，排除D；因为f(x)tanx，所以f(x)tanxf(x)，所以f(x)是奇函数，又由正切函数的图象和反比例函数的图象易知，y与ytanx必然有交点，因此函数f(x)tanx必有零点故选C.2
12、(2019马鞍山市一模)若函数f(x)ln (x1)ax(a0)恰有一个零点，则实数a的值为()A.B2CDe答案A解析函数f(x)的定义域为(1，)，若函数f(x)ln (x1)ax(a0)恰有一个零点，等价为f(x)ln (x1)ax0恰有一个根，即ln (x1)ax恰有一个根，即函数yln (x1)和yax的图象恰有一个交点，即当a0时，yax是函数yln (x1)的切线设g(x)ln (x1)，切点为(m，n)，则ln (m1)n，因为g(x)0，切线斜率kg(m)a，则切线方程为yn(xm)，因为切线过原点，所以mln (m1)0，即ln (m1)0，所以m2，此时a1，故选A.3已
13、知函数f(x)|x|(a0)没有零点，则实数a的取值范围是_答案(0,1)(2，)解析函数f(x)|x|(a0)没有零点，即方程|x|0没有实根，转化为函数y与函数y|x|的图象没有交点，画出图象如图所示，找到两个临界位置，易得实数a的取值范围是(0,1)(2，)真题押题真题模拟1(2019温州高三检测)函数f(x)exx2的零点所在的区间是()A(0，)B(，1)C(1,2)D(2,3)答案B解析f(x)ex0，f(x)在R上单调递增，又f0，f(1)e0，函数f(x)的零点在区间(，1)上2(2019新疆维吾尔族自治区第二次检测)已知函数f(x)，g(x)2cosx，当x(3,2)时，方程
14、f(x)g(x)的所有实根之和为()A2B1C0D2答案A解析作出函数f(x)，g(x)的大致图象如图所示由反比例函数及三角函数的性质可知，函数f(x)，g(x)的图象都关于点P对称，所以它们图象的交点关于点P对称由图可知，x1x41，x2x31，所有实根之和为x1x2x3x42.故选A.3(2019全国卷)函数f(x)在，的图象大致为()答案D解析f(x)f(x)，f(x)为奇函数，排除A.又f1，f()0，排除B，C.故选D.4(2019上海市交大附中高三一模)已知定义域为R的函数f(x)则此函数图象上关于原点对称的点有()A7对B8对C9对D以上都不对答案B解析当x0时，f(x)，此时关
15、于原点对称的点为，此点不在函数f(x)上当x0)，若函数图象上存在关于原点对称的点，则问题转化为求当x0时，f(x)3与yx(x0)的交点个数作出函数f(x)在x0时的图象如图，由图象，知函数y3，x2k2,2k，kN*的图象分别关于x1，x3，x5，x7，x9对称，且函数的最大值为f(2k1)3，当yx3时，得x，即x7，故当x0时，f(x)3与yx(x0)的交点个数有8个，即函数图象上关于原点对称的点有8对，故选B.金版押题5函数f(x)x2ln |x|的大致图象是()答案A解析解法一：f(x)x2ln |x|，f(x)(x)2ln |x|f(x)f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，排除
16、B，C.当x(0，)时，函数f(x)x2ln x，则f(x)2x0，即函数f(x)在(0，)上是增函数，故选A.解法二：f(x)x2ln |x|，f(x)(x)2ln |x|f(x)f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，C.又当x无限接近于0时，x20，ln |x|.因此排除D，故选A.6设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的xR，都有f(2x)f(2x)，且当x2,0时，f(x)x1，若关于x的方程f(x)loga(x2)0(a1)在区间(2,6内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是()A(，)B(，2)C(，2D(，2答案B解析因为f(x)为偶函数，故f(2x)f(x2)，所以
17、f(x2)f(x2)，故f(x)是周期函数且周期为4，因x2,0时，f(x)x1，故f(x)在(2,6上的图象如图所示，因为f(x)loga(x2)0在区间(2,6内恰有三个不同实根，所以f(x)的图象与yloga(x2)的图象有3个不同的交点，故即解得4a2，故选B.配套作业一、选择题1(2019新疆乌鲁木齐高三第二次质量检测)图象关于原点对称且在定义域内单调递增的函数是()Af(x)cosx1Bf(x)x22Cf(x)Df(x)x3答案D解析根据题意，函数的图象关于原点对称，则该函数为奇函数，据此分析选项对于A，f(x)cosx1为偶函数，不符合题意；对于B，f(x)x22为偶函数，不符合
18、题意；对于C，f(x)是奇函数，但在其定义域内不是单调函数，不符合题意；对于D，f(x)x3是奇函数即其图象关于原点对称且在定义域内单调递增，符合题意故选D.2(2019永州市高三第三次模拟)已知函数f(x)3x2sinx，若af(3)，bf(2)，cf(log27)，则a，b，c的大小关系为()AabcBacbCcabDbca答案B解析由题意得，f(x)3x2sinxf(x)，可知f(x)为R上的奇函数bf(2)f(2)f(x)32cosx.又1cosx1，可得532cosx1，即f(x)313,2log24log27log283，可知2log273，f(3)f(log27)f(2)，即ac
19、0，排除A，D，故选B.8若ab1,0c1，则()AacbcBabcbacCalogbcblogacDlogaclogbc答案C解析考虑幂函数yxc，因为c0，所以yxc为增函数，又ab1，所以acbc，A错误abcbac()c，又y()x是减函数，所以B错误由对数函数的性质可知D错误，选C.9已知函数f(x)x2，则yf(x)的图象大致为()答案B解析函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，因为f(x)(x)2x2f(x)，所以该函数为偶函数，故可排除A，当x时，函数f(x)，故可排除C，D，故选B.10(2019江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学高三联考)已知定义在R上的奇函
20、数f(x)满足x0时，f(x)xln xln ，则函数g(x)f(x)sinx(e为自然对数的底数)的零点个数是()A1B2C3D5答案C解析当x0时，f(x)，故函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，在x处有最小值为f1，此时gfsin110.根据f(x)的单调性和|sinx|1可知，当x0时，x是g(x)的唯一零点由于f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)0，故g(0)f(0)sin00，所以x0是函数g(x)的零点由于f(x)和sinx都是奇函数，故ff1，sin1，且根据奇函数图象的对称性可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减，当x时，f(x)在(，0)上取得最大值，故x是g(x
21、)在区间(，0)上的唯一零点综上所述，g(x)的零点个数是3，故选C.11已知f(x)则方程ff(x)3的根的个数是()A6B5C4D3答案B解析令f(x)t，则方程ff(x)3即为f(t)3，解得te3或e3，作出函数f(x)的图象，由图象可知方程f(x)e3有3个解，f(x)e3有2个解，则方程ff(x)3有5个实根，故选B.12(2019武邑中学高三上学期第二次调研)函数f(x)若方程f(x)xa有且只有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为()A(，0)B0,1)C(，1)D0，)答案C解析函数f(x)的图象如图所示，作出直线l：yax，向左平移直线l观察可得函数yf(x)的图象与函数
22、yxa的图象有两个交点，即方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根，即有a1，故选C.二、填空题13已知定义在R上的偶函数f(x)在0，)上单调递增，且f(1)0，则不等式f(x2)0的解集是_答案x|x3或x1解析因为偶函数f(x)在0，)上为增函数，f(1)0，所以不等式f(x2)0等价为f(|x2|)f(1)，即|x2|1，解得x3或x1，故不等式的解集为x|x3或x114(2019张家口模拟)已知f(x)且函数yf(x)ax恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是_答案，解析当x0时，f(x)(x1)2，把函数f(x)在1,0)上的图象向右平移一个单位，即得函数yf(x)在0,1)上的图象，继续右移可得函数f(x)在0，)上的图象如果函数yf(x)ax恰有3个不同的零点，即函数yf(x)，yax的图象有三个不同的公共点，实数a应满足a，或a，即a.
