1、第三章3. 3.2一、选择题(每小题5分，共20分)1函数f(x)x3x22x取极小值时，x的值是()A2B2，1C1D3解析：f(x)x2x2(x2)(x1)在x1的附近左侧f(x)0，x1时取极小值答案：C2函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图，则f(x)是()A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点解析：设f(x)与x轴的4个交点从左至右依次为x1，x2，x3，x4，当x0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f(x)0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A
2、2B3C6D9解析：函数的导数为f(x) 12x22ax2b，由函数f(x)在x1处有极值，可知函数f(x)在x1处的导数值为零，即122a2b0，所以ab6，由题意知a，b都是正实数，所以，ab229，当且仅当ab3时取到等号答案：D4若函数yx33axa在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是()A1a2B1a4C2a4或a0时，y3x23a0x，不难分析当12即1a4时，函数yx33axa在(1,2)内有极小值答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5若函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取得极值10，则a_，b_.解析：f(x)3x22axb，依题意得即解得或但由于当a3，b3
3、时，f(x)3x26x30，故f(x)在R上单调递增，不可能在x1处取得极值，不合题意，舍去；而当时，经检验知，符合题意，故a，b的值分别为4，11.答案：4116如果函数yf(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：函数yf(x)在区间内单调递增；函数yf(x)在区间内单调递减；函数yf(x)在区间(4,5)内单调递增；当x2时，函数yf(x)有极小值；当x时，函数yf(x)有极大值则上述判断中不正确的是_(填序号)解析：从图象知，当x(3，2)时f(x)0，所以函数f(x)在内不单调，同理，函数f(x)在内也不单调，故均不正确；当x(4,5)时f(x)0，所以函数yf(x)在区间(4,5
4、)内单调递增，故正确；由于f(2)0，并且在x2的左、右两侧的附近分别有f(x)0与f(x)0，所以x不是函数的极值点，即均不正确答案：三、解答题(每小题10分，共20分)7求下列函数的极值：(1)f(x)x312x6；(2)f(x)x4x3x2x.解析：(1)f(x)3x212，令f(x)0，可得，x12，x22.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如表所示：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)极小值极大值由表可知，当x2时，f(x)有极小值则f(x)极小值f(2)10；当x2时，f(x)有极大值，则f(x)极大值f(2)22.(2)f(x)x3x2x1x2(x1)(x1
5、)(x21)(x1)(x1)(x1)2，令f(x)0可以得，x11，x21.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如表所示x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极小值由表可知，yf(x)在x1时，f(1)0，但yf(x)在x1左右两侧的导数都为负，故x1不是极值点x1为函数的极小值点，则yf(x)的极小值是f(x)极小值f(1)1.8设函数f(x)ax3bx2cxd的图象与y轴交点为P，且曲线在P点处的切线方程为12xy40.若函数在x2处取得极值0，试确定函数的解析式解析：f(x)3ax22bxc，P点坐标为(0，d)，又曲线在点P处切线方程为12xy40，当x0时，yd，即
6、d4，f(0)c，又切线斜率k12，c12.又函数在x2处取得极值0，解得函数解析式为f(x)2x39x212x4. 9(10分)函数f(x)ax36ax23bxb，其图象在x2处的切线方程为3xy110.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数yf(x)的图象与yf(x)5xm的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围解析：(1)由题意得f(x)3ax212ax3b，f(2)3且f(2)5，即解得a1，b3，f(x)x36x29x3.(2)由f(x)x36x29x3，可得f(x)3x212x9，f(x)5xm(3x212x9)5xmx2x3m，则由题意可得x36x29x3x2x3m有三个不相等的实根，即g(x)x37x28xm的图象与x轴有三个不同的交点，g(x)3x214x8(3x2)(x4)，令g(x)0得x或x4.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如表：x4(4，)g(x)00g(x)m16m则函数g(x)的极大值为gm，极小值为g(4)16m.由yf(x)的图象与yf(x)5xm的图象有三个不同交点，得解得16m.