1、第六节空间向量的运算及空间位置关系【考纲下载】1了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置2会推导空间两点间的距离公式3了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示4掌握空间向量的线性运算及其坐标表示5掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直1空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量(2)相等向量：方向相同且模相等的向量(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量(4)共面向量：平行于同一个平面的向量2空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向
2、量a，b(b0)，ab存在唯一一个R，使ab.(2)共面向量定理：若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a，b共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z使得pxaybzc.3两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.4空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(
3、b0)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夹角a，b(a0，b0)cosa，b1空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成几部分？坐标轴上的点的坐标有什么特点？提示：空间直角坐标系中的坐标平面将空间分成8部分坐标轴上点的坐标的特点是另外两个坐标均为零2对于实数a，b，若ab0，则一定有a0或b0，而对于向量a，b，若ab0，则一定有a0或b0吗？提示：不一定因为当a0且b0时，若ab，也有ab0.3对于非零向量b，由abbcac，这一运算是否成立？提示：不成立根据向量数量积的几何意义，abbc说明a在b方向上的投影与c在b方向上的投影相等，而不是ac
4、.1(教材习题改编)下列命题：若A、B、C、D是空间任意四点，则有0；|a|b|ab|是a、b共线的充要条件；若a、b共线，则a与b所在直线平行；对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若xyz (其中x、y、zR)，则P、A、B、C四点共面其中不正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4解析：选B正确；对于，|a|b|ab|是a、b共线的充分不必要条件；对于，a与b所在的直线可能是同一条直线，故错2已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若xy，则x，y的值分别为()Ax1，y1 Bx1，yCx，y Dx，y1解析：选C易求，故xy.3已知a(1,0,2)，b(6
5、,21,2)，若ab，则与的值可以是()A2， B，C3,2 D2,2解析：选A经验证可知，当2，时，a(3,0,2)，b(6,0,4)，即b2a，故ab.4(教材习题改编)已知a(3,2,5)，b(1，1)若ab，则_.解析：ab，(3)125(1)0，4.答案：45. 如图所示，正方体的棱长为1，M是所在棱上的中点，N是所在棱上的四分之一分点(靠近y轴)，则M、N之间的距离为_解析：由条件知，M，N，故| | .答案： 方法博览(五)巧用基向量求解立体几何问题典例(2012浙江高考)已知矩形ABCD，AB1，BC，将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A存在某个位置
6、，使得直线AC与直线BD垂直B存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直解题指导本题是研究直线AC与BD、AB与CD、AD与BC是否垂直的问题，故可利用向量证明、是否为0.解析如图所示，在图(1)中，易知AECF，BEEFFD.在图(2)中，设a，b，c，则a，bb， c90，a，c，则abc，3b，故3b210，故AC与BD不垂直，A不正确；ab，bc，所以acb2cos.当cos ，即时，0，故B正确；a2b，2bc，所以ac4b2cos (cos 2)，故无论为何值，0，故C不正确答案B点评1.用向量法解决立体几何问题的关键是找到基底，且该基底既能反映条件的特征，也能方便地与结论联系；例如本题中，翻折过程中二面角ABDC大小在变化，即在变化，因此可以、为基向量，同时也便于运算2注意将平面图形分析到位，并将已知条件转化到立体图形中去空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，则OA与BC所成角的余弦值等于_解析：由题意知 ()84cos 4586cos 601624.cos，0.OA与BC所成角的余弦值为.答案：