1、学习目标：利用导数相关知识解决不等式相关问题；学习重点：利用导数证明相关不等式学习难点：根据问题的特点，适当构造相应函数。学习过程：一、 预习导航，要点指津（约3分钟）引例1.证明：当x0,1时，xsin xx；证明：记F(x)sin xx，则F(x)cos x.当x时，F(x)0，F(x)在上是增函数；当x时，F(x)0，F(x)在上是减函数又F(0)0，F(1)0，所以当x0,1时，F(x)0，即sin xx.来源:记H(x)sin xx，则当x(0,1)时，H(x)cos x10，所以，H(x)在0,1上是减函数，则H(x)H(0)0，即sin xx. 综上，xsin xx，x0,1引例
2、2.若的定义域为，恒成立，则解集为（ ） A B C D 二、自主探索，独立思考（约10分钟） 例1. 已知函数，求证：当时，恒有分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数，从其导数入手即可证明。解： 当时，即在上为增函数，当时，即在上为减函数，故函数的单调递增区间为，单调递减区间于是函数在上的最大值为，因此，当时，即 （右面得证），现证左面，令， 当 ，即在上为减函数，在上为增函数，故函数在上的最小值为，当时，即 ，综上可知，当 例2.已知函数 求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方；分析：函数的图象在函数的图象的下方问题，即，只需证明在区间上，恒有成立，设，考虑到
3、 要证不等式转化变为：当时，这只要证明： 在区间是增函数即可。解：设，即，则= 当时，= 从而在上为增函数， 当时 ，即，故在区间上，函数的图象在函数的图象的下方。例3.设f(x)ex1.(1)当x1时，证明：f(x)； (2)当aln 21且x0时，证明：f(x)x22ax.证明(1)当x1时，f(x)，即ex12x1，故结论成立当且仅当ex2x，即ex2x0.令g(x)ex2x，则g(x)ex2.令g(x)0，即ex20，解得xln 2.当x(1，ln 2)时，g(x)ex20，故函数g(x)在(1，ln 2上单调递减；当x(ln 2，)时，g(x)ex20，故函数g(x)在ln 2，)上
4、单调递增所以g(x)在(1，)上的最小值为g(ln 2)eln 22ln 22(1ln 2)0，所以在(1，)上有g(x)g(ln 2)0，即ex2x.故当x(1，)时，有f(x).(2)f(x)x22ax，即ex1x22ax，也就是exx22ax10.令g(x)exx22ax1，则g(x)ex2x2a.令h(x)ex2x2a，则h(x)ex2.由(1)，可知当x(，ln 2)时，h(x)0，函数h(x)单调递减；当x(ln 2，)时，h(x)0，函数h(x)单调递增所以h(x)的最小值为h(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a.因为aln 21，所以h(ln 2)22ln 22
5、(ln 21)0，即h(x)h(ln 2)0.所以g(x)h(x)0，即g(x)在R上为增函数故g(x)在(0，)上为增函数，所以g(x)g(0)而g(0)0，所以g(x)exx22ax10，即当aln 21且x0时，f(x)x22ax.三、小组合作探究，议疑解惑（约5分钟）各学习小组将上面自主探索的结论、解题方法、知识技巧进行讨论，交流，议疑解惑。四、展示你的收获（约8分钟）由各学习小组派出代表利用多媒体或演板或口头叙述等形式展示个人或小组合作探究的结论、解题方法、知识技巧。（即学习成果）五、重、难、疑点评析（约5分钟）由教师归纳总结点评六、达标检测（约8分钟）1、已知函数的导函数图象如图所
6、示，若为锐角三角形，则一定成立的是( D )ABCD2若函数在上的导函数为,且不等式恒成立,又常数满足,则下列不等式一定成立的是_.;.【答案】 3.函数的定义域是,对任意,则不等式的解集为(A)A、 B、 C、 D、 解析:构造函数g(x)=exf(x)-ex,因为g(x)=exf(x)+exf(x)-ex =exf(x)+f(x)-exex-ex=0, 所以g(x)=exf(x)-ex为R上的增函数.又因为g(0)=e0f(0)-e0=1,所以原不等式转化为g(x)g(0),解得x0. 故选A. 4已知，且现给出如下结论： ； 其中正确结论的序号是（ ） A B C D【答案】C【解析】，
7、令，解得或，当时，；当时，；当时，时，有极大值，当时，有极小值，函数有三个零点，且，又，即，5、已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+2ax，g(x)= 3a2lnx+b，其中a0.设两曲线y=f(x)，y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同.（1）用a表示b，并求b的最大值；（2）求证：f(x) g(x) (x0).本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力解：（）设与在公共点处的切线相同 ，由题意，即由得：，或（舍去）即有令，则于是当，即时，；当，即时，故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为（）设，则故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的
8、最小值是故当时，有，即当时，七、课后练习1、已知定义在上的可导函数的导函数为,满足,且为偶函数,则不等式的解集为_.【答案】 2、设函数在R上的导函数为，且，下面的不等式在R上恒成立的是（ ）A B C D【答案】A【解析】由已知，首先令得，排除B，D令，则，当时，有，所以函数单调递增，所以当时， ，从而当时，有，所以函数单调递减，所以当时， ，从而综上故选A【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力3、 已知函数(其中e为自然对数的底数,且e2.718)若,则实数的取值范围是.来源:学科网【答案】 4、已知定义在R上的可导函数对任意
9、都有,且当时,有,现设,则实数的大小关系是_.【答案】ab (2)证明设F(x)x23x2ln xx33x，则F(x)3x2x.当x(1，)时，F(x)0，F(x)在1，)上是减函数，且F(1)0，故当x1，)时，F(x)0，x23x2ln xx33x.在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x33x图象的下方5、已知()若在上为增函数，求实数a的取值范围；()当常数时，设，求在上的最大值和最小值.解：()在上为增函数，对恒成立. 令，则对恒成立，解得，实数的取值范围是. ()当时，记，则对恒成立，在上是减函数，即，当时，在上是减函数，得在上为减函数.当时，取得最大值；当时，取得最小值.6、设，曲线与直线在(0，0)点相切。 ()求的值。 ()证明：当时，。
