1、考点规范练57不等式选讲考点规范练A册第45页基础巩固1.已知函数f(x)=|x-1|+|x-a|.(1)若a=-1,解不等式f(x)3;(2)若xR,使得f(x)2成立,求实数a的取值范围.解:(1)若a=-1,f(x)3,即为|x-1|+|x+1|3,当x-1时,1-x-x-13,即有x-32;当-1x1时,1-x+x+1=23不成立;当x1时,x-1+x+1=2x3,解得x32.综上可得,f(x)3的解集为-,-3232,+;(2)xR,使得f(x)f(x)min,由函数f(x)=|x-1|+|x-a|x-1-x+a|=|a-1|,当(x-1)(x-a)0时,取得最小值|a-1|,则|a
2、-1|2,即-2a-12,解得-1a1的解集;(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,x-1,2x,-1x1的解集为xx12.(2)当x(0,1)时,|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|0,则|ax-1|1的解集为x0x2a,所以2a1,故0a2.综上,a的取值范围为(0,2.3.(2019广西桂林高三一模)已知函数f(x)=x-12+x+12,M是不等式f(x)2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,bM时,|a+b|1+ab|.答案:(1)解f(x)=-2x,x-12,
3、1,-12x12,2x,x12.当x-12时,由f(x)2得-1x-12;当-12x12时,f(x)2成立;当x12时,由f(x)2得12x1.所以f(x)2的解集M=x|-1x1.(2)证明由(1)知,当a,bM时,-1a1,-1b1.从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0,所以|a+b|0,y=f(x)的图象与x轴围成的封闭图形面积为S,求S的最小值.解:(1)因为|ax+1|+|ax-1|(ax+1)-(ax-1)|=2,等号当且仅当(ax+1)(ax-1)0时成立,所以f(x)的最小值为2-2a-4=-2a-2.依题意可得-2a-20,所
4、以a-1.(2)因为a0,f(x)=|ax+1|+|ax-1|-2a-4,f(x)=-2ax-2a-4,x-1a,-2a-2,-1ax1a,2ax-2a-4,x1a.所以y=f(x)的图象与x轴围成的封闭图形为等腰梯形ABCD,且顶点为A-1-2a,0,B1+2a,0,C1a,-2a-2,D-1a,-2a-2.从而S=21+3a(a+1)=2a+3a+8,因为a+3a23,等号当且仅当a=3时成立,所以当a=3时,S取得最小值43+8.能力提升6.已知函数f(x)=|x+1|-2|x|.(1)求不等式f(x)-6的解集;(2)若f(x)的图象与直线y=a围成的图形的面积不小于14,求实数a的取
5、值范围.解:(1)f(x)=|x+1|-2|x|=x-1,x0.则不等式f(x)-6等价于x0,1-x-6,解得x-5或x7.故不等式f(x)-6的解集为x|x-5或x7.(2)作出函数f(x)的图象,如图.若f(x)的图象与直线y=a围成的图形是三角形,则当a=-2时,ABC的面积为1243=6.f(x)的图象与直线y=a围成的图形的面积不小于14,该图形一定是四边形,即a-2.ABC的面积是6,梯形ABED的面积不小于8.AB=4,D(1+a,a),E(1-a,a),DE=-2a,12(4-2a)(-2-a)14-6=8,即a212.又a5;(2)若f(x)a|x+3|,求a的最小值.解:(1)当a=-2时,f(x)=1-3x,x1.由f(x)的单调性及f-43=f(2)=5,得f(x)5的解集为xx2.(2)由f(x)a|x+3|得a|x+1|x-1|+|x+3|.由|x-1|+|x+3|2|x+1|得|x+1|x-1|+|x+3|12,即a12(当且仅当x1或x-3时等号成立).故a的最小值为12.
