1、福建省莆田六中、四中2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1.的值是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由于=.故选A2.一个钟表的分针长为 ，经过分钟，分针扫过图形的面积是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分析题意可知分针扫过图形是扇形，要求这个扇形面积需要得到扇形的圆心角和半径，再代入扇形的面积公式计算即可。【详解】经过35分钟，分针走了7个大格，每个大格则分钟走过的度数为钟表的分针长为10分针扫过图形的面积是 故选【点睛】本题主要考查了求扇形面积，结合公式需要求出扇形的圆心角和半径，较
2、为基础3.已知,则的值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据辅助角公式即可。【详解】由辅助角公式得所以，选C.【点睛】本题主要考查了辅助角公式的应用： ，属于基础题。4.如图，在中，若，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 又， 故选B.5.已知平面向量，在下列命题中：存在唯一的实数，使得；为单位向量，且，则；与共线，与共线，则与共线；若且，则.正确命题的序号是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别根据向量的平行、模、数量积即可解决。【详解】当为零向量时不满足，错；当为零向量时错，对于：两个向量相乘，等于模相乘再乘以夹角的余弦值，与有
3、可能夹角不一样或者的模不一样，两个向量相等要保证方向、模都相同才可以，因此选择D【点睛】本题主要考查了向量的共线，零向量。属于基础题。6.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示，它是由个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是，小正方形的面积是，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意即可算出每个直角三角形的面积，再根据勾股定理和面积关系即可算出三角形的两条直角边。从而算出【详解】由题意得直角三角形的面积,设三角形的边长分别为，则有，所以，所以，选C.【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式以及直角三角形中，正弦
4、、余弦的计算，属于基础题。7.使函数是偶函数，且在上是减函数的的一个值是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据辅助角公式化简，再根据奇偶性及在在上是减函数为减函数即可算出的范围。【详解】由题意得：因为是偶函数，所以，又因为在的减区间为，,在上是减函数，所以当时满足,选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质：奇偶性质、单调性以及辅助角公式。型为奇函数，为偶函数。其中辅助角公式为。属于中等题。8.设，则有( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，利用辅助角公式得，对于，根据同角三角函数的基本关系和二倍角公式对进行处理，即可得到；对于，利用二倍角公式
5、对变形处理可以得到，再根据正弦函数的单调性即可比较大小.【详解】由题意得 因为正弦函数在上为增函数，所以,选A.【点睛】本题是一道关于三角函数值大小比较的题目，解答本题的关键是掌握三角函数公式；二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数的基本关系等。属于中等题。9.已知是圆的一条弦，则( )A. B. C. D. 与圆的半径有关【答案】C【解析】【分析】由数量积的几何意义，利用外心的几何特征计算即可得解.【详解】是圆的一条弦,易知在方向上的投影恰好为，所以=|=2.故选C.【点睛】本题考查了数量积的运算，利用定义求解要确定模长及夹角，属于基础题.10.如图，在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴
6、，终边与单位圆的交点为，将绕坐标原点逆时针旋转至，过点作轴的垂线，垂足为记线段的长为，则函数的图象大致是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，所以选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复(2)由实际情景探究函数图象关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题11.如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为 （
7、 ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。详解：连接AD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设=所以当时，上式取最大值 ，选A.点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。12.函数，若方程恰有三个不同的解，记为，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由方程恰有三个不同的解，作出的图象，确定，的取值范围，得到的对称性，利用数形结合进行求解即可【详
8、解】设作出函数的图象如图：由则当时, ,即函数的一条对称轴为，要使方程恰有三个不同的解，则,此时,关于对称，则 当，即，则则的取值范围是，选D.【点睛】本题主要考查了方程与函数，数学结合是解决本题的关键，数学结合也是数学中比较重要的一种思想方法。二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.已知向量，则_.【答案】【解析】【分析】根据向量平行交叉相乘相减等于0即可。【详解】因为两个向量平行，所以【点睛】本题主要考查了向量的平行，即，若则，属于基础题。14.已知，则_【答案】【解析】【分析】首先利用诱导公式化简，分子、分母同时除以，即可得。【详解】由题意得，分子、分母同时除以得【点睛
9、】本题主要考查了诱导公式：需要理解“奇变偶不变，符号看象限”以及同角三角函数的基本关系。15.的化简结果是_.【答案】【解析】原式，因为，所以，且，所以原式16.在中，为上的一点，且，是的中点，过点的直线，是直线上的动点， ，则_.【答案】【解析】【分析】用表示出,由对应相等即可得出。【详解】因为，所以解得得。【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的三角形法则，平面上任意不共线的一组向量可以作为一组基底。三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.）17.已知向量与不共线，且，.（1）若与的夹角为，求；（2）若向量与互相垂直，求的值.【答案】（1
10、）（2）【解析】【分析】（1）根据平面向量的数量积即可解决。（2）根据两个向量垂直，数量积为0即可解决。【详解】解：（1） （2）由题意可得：，即，.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积，及两个向量垂直时数量积为0的情况，属于基础题。18.已知函数（1）求函数的最大值以及取得最大值时的集合；（2）若函数的递减区间.【答案】（1）当时，最大值为（2）【解析】【分析】（1）化简根据正弦函数的最值即可解决，（2）根据（1）的化简结果，根据正弦函数的单调性即可解决。【详解】解：(1) 因为，所以所以的最大值为 ，此时（2）由（1）得得即减区间为【点睛】本题主要考查了正弦函数的最值与单调性，属于基础题
11、。19.求下列各式的值：（1）求的值；（2）已知，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简即可。（2）利用配凑把打开即可。【详解】解：（1）原式（2），又，【点睛】本题主要考查了二倍角公式，两角和与差的正切的应用。辅助角公式。20.已知，函数.(1)求在区间上的最大值和最小值；(2)若函数在区间上是单调递增函数，求正数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的数量积化简即可得，再根据，求出的范围结合图像即可解决。（2）根据（1）求出，再根据正弦函数的单调性求出的单调区间即可。【详解】解：（1）因为所以，所以，所以 （2）解法一：
12、令得 因为函数在上是单调递增函数，所以存在，使得， 所以有 因为，所以所以，又因为，得所以 从而有所以，所以 解法二：由，得因为所以 所以解得 又所以【点睛】本题主要考查了正弦函数在给定区间是的最值以及根据根据函数的单调性求参数。属于中等题，解决本题的关键是记住正弦函数的单调性、最值等。21.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（三条边，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口是的中点，分别落在线段上，已知米，米，记.(1)试将污水净化管道的总长度（即的周长）表示为的函数，并求出定义域；(2)问取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的
13、总长度.【答案】（1），； （2）或时，L取得最大值为米.【解析】【分析】（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明的范围（2）设sin+cos=t，根据函数 L= 在，上是单调减函数，可求得L的最大值所以当时，即或时，L取得最大值为米【详解】由题意可得，由于，所以，即，设，则，由于，由于在上是单调减函数，当时，即或时，L取得最大值为米【点睛】三角函数值域得不同求法：1.利用和的值域直接求2.把所有的三角函数式变换成 的形式求值域3.通过换元，转化成其他类型函数求值域22.如图是函数的部分图象.（1）求函数的表达式；
14、（2）若函数满足方程，求在内的所有实数根之和；（3）把函数的图象的周期扩大为原来的两倍，然后向右平移个单位，再把纵坐标伸长为原来的两倍，最后向上平移一个单位得到函数的图象若对任意的，方程在区间上至多有一个解，求正数的取值范围【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）【解析】【分析】（1）根据图像先确定A,再确定，代入一个特殊点再确定。（2）根据（1）结果结合图像即可解决。（3）根据（1）的结果以及三角函数的变换求出即可解决。【详解】解：（）由图可知：，即，又由图可知：是五点作图法中的第三点，即 （）因为的周期为，在内恰有个周期.当时，方程在内有个实根，设为，结合图像知 ，故所有实数根之和为 ； 当时，方程在内有个实根为，故所有实数根之和为 ； 当时，方程在内有个实根，设为，结合图像知 ，故所有实数根之和为 ； 综上：当时，方程所有实数根之和为 ；当时，方程所有实数根之和为 ； （），函数的图象如图所示：则当图象伸长为原来的倍以上时符合题意，所以【点睛】本题主要考查了正弦函数的变换，根据图像确定函数，方程与函数。在解决方程问题时往往转化成两个函数图像交点的问题解决。本题属于中等题。