1、黑龙江省双鸭山市2021学年高二下学期期末（理科）数学考试试题一、选择题。1.已知一个平面，那么对于空间内的任意一条直线,在平面内一定存在一条直线，使得与（ ）A. 平行B. 相交C. 异面D. 垂直【答案】D【解析】【详解】当直线与平面相交时,平面内的任意一条直线与直线的关系只有两种:异面,相交,此时就不可能平行了,故A错.当直线与平面平行时,平面内的任意一条直线与直线的关系只有两种:异面,平行,此时就不可能相交了,故B错.当直线在平面内时,平面内的任意一条直线与直线的关系只有两种:平行,相交,此时就不可能异面了,故C错.不管直线与平面的位置关系相交,平行,还是在平面内,都可以在平面内找到一
2、条直线与直线垂直,因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况,故D正确.故选D.2.已知不等式解集是，则( )A. B. 1C. D. 3【答案】A【解析】【分析】的两个解为-1和2.【详解】【点睛】函数零点、一元二次等式的解、函数与x轴的交点之间的相互转换。3.在等差数列中，若，则（ ）A. 8B. 16C. 20D. 28【答案】C【解析】因为为等差数列，则也成等差数列，所以。故选C。4.直线过点，且与以为端点的线段总有公共点，则直线斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出 ,判断当斜率不存在时是否满足题意，满足两数之外；不满足两数之间。【详解】，当斜率不存
3、在时满足题意，即【点睛】本题主要考查斜率公式的应用，属于基础题.5.如图，为正方体，下面结论错误的是（）A. 平面B. C. 平面D. 异面直线与所成的角为【答案】D【解析】【详解】在正方体中与平行，因此有与平面平行，A正确；在平面内的射影垂直于，因此有，B正确；与B同理有与垂直，从而平面，C正确；由知与所成角为45，D错故选D6. 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若acosA=bcosB，则ABC的形状为（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】试题分析：利用正弦定理由acosA=bcosB可得sinAcosA=
4、sinBcosB，再利用二倍角的正弦即可判断ABC的形状解：在ABC中，acosA=bcosB，由正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，2A=2B或2A=2B，A=B或A+B=，ABC的形状为等腰三角形或直角三角形故选：C考点：三角形的形状判断7.关于的不等式对一切实数都成立，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】特值,利用排除法求解即可.【详解】因为当时，满足题意，所以可排除选项B、C、A，故选D【点睛】不等式恒成立问题有两个思路：求最值，说明恒成立参变分离，再求最值。8.在空间四边形中，分别是的中点.若，且与所成的角为，则
5、四边形的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】连接EH，因为EH是ABD的中位线，所以EHBD，且EH=BD同理，FGBD，且FG=BD，所以EHFG，且EH=FG所以四边形EFGH为平行四边形因为AC=BD=a，AC与BD所成的角为60所以EF=EH所以四边形EFGH为菱形，EFG=60四边形EFGH的面积是2()2=a2故答案为a2，故选A.考点：本题主要是考查的知识点简单几何体和公理四，公理四：和同一条直线平行的直线平行，证明菱形常用方法是先证明它是平行四边形再证明邻边相等，以及面积公式属于基础题点评：解决该试题关键是先证明四边形EFGH为菱形，然后说明EFG=6
6、0，最后根据三角形的面积公式即可求出所求9.直线（，）过点(-1,-1),则的最小值为 ( )A. 9B. 1C. 4D. 10【答案】A【解析】【分析】将点的坐标代入直线方程：，再利用乘1法求最值【详解】将点的坐标代入直线方程：，当且仅当时取等号【点睛】已知和为定值，求倒数和的最小值，利用乘1法求最值。10.一个体积为的正三棱柱（底面为正三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱）的三视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为（ ）A. B. 3C. D. 12【答案】A【解析】【分析】根据侧视图的宽为 求出正三角形的边长为4，再根据体积求出正三棱柱的高，再求侧视图的面积。【详解】侧视图的宽即为俯视图的高
7、，即三角形的边长为4，又 侧视图的面积为：【点睛】理解：侧视图的宽即为俯视图的高，即可求解本题。11.若数列满足（，为常数）,则称数列为“调和数列”.已知数列为调和数列，且，则的最大值是（ ）A. 50B. 100C. 150D. 200【答案】B【解析】分析】根据调和数列定义知为等差数列，再由前20项的和为200知，最后根据基本不等式可求出的最大值。【详解】因为数列为调和数列，所以，即为等差数列又， 又大于0所以【点睛】本题考查了新定义“调和数列”的性质、等差数列的性质及其前n项公式、基本不等式的性质，属于难题。12.长方体中，已知，棱在平面内，则长方体在平面内的射影所构成的图形面积的取值范
8、围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题等价于求过BC直线的平面截长方体的面积的取值范围。【详解】长方体在平面内的射影所构成的图形面积的取值范围等价于，求过BC直线的平面截长方体的面积的取值范围。由图形知 , ，故选A.【点睛】将问题等价转换为可视的问题。二、填空题。13.已知正方体中,，分别为,的中点,那么异面直线与所成角的余弦值为_.【答案】【解析】【分析】异面直线所成角，一般平移到同一个平面求解。【详解】连接DF， 异面直线与所成角等于 【点睛】异面直线所成角，一般平移到同一个平面求解。不能平移时通常考虑建系，利用向量解决问题。14.设，为三条不同的直线，为两个不
9、同的平面，下列命题中正确的是_(1)若，则；(2)若，则；(3)若，则；(4)若，,则【答案】(1)【解析】【分析】利用线线平行的传递性、线面垂直的判定定理判定。【详解】(1) ， ，则，正确(2)若，则，错误(3)若，则不成立，错误(4)若，,则，错误【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理判定，考查了空间想象能力，属于中档题.15.设的内角，所对的边分别为，.已知，如果解此三角形有且只有两个解，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由余弦定理写出c与x的等式，再由有两个正解，解出x的取值范围【详解】根据余弦定理： 代入数据并整理有，有且仅有两个解，记为 则：【点睛】本题主要考查余弦定理以及
10、韦达定理，属于中档题。16.在三棱锥中，已知，则三棱锥内切球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】先计算出三棱锥的体积，利用等体积法求出三棱锥的内切球的半径，再求出内切球的表面积。【详解】取CD中点为E，并连接AE、BE在中，由等腰三角形的性质可得,同理则在中点A到边BE的距离即为点A到平面BCD的距离h,在中， 【点睛】本题综合考查了三棱锥的体积、三棱锥内切圆的求法、球的表面积，属于中档题.三、解答题17.已知直线经过两条直线:和:的交点，直线:；(1)若，求的直线方程；(2)若，求的直线方程【答案】(1) ； (2) 【解析】【分析】(1)先求出与的交点，再利用两直线平行斜率相等求直线l(
11、2)利用两直线垂直斜率乘积等于-1求直线l【详解】（1）由，得，与的交点为.设与直线平行的直线为，则，.所求直线方程为.（2）设与直线垂直的直线为，则，解得。所求直线方程为.【点睛】两直线平行斜率相等，两直线垂直斜率乘积等于-1。18.已知数列是等差数列，且，。(1)求数列的通项公式；(2)若等比数列满足，求数列的前项和.【答案】(1) ； (2) 【解析】【分析】（1）将、用和表示，联立方程组，解出和，再写出数列的通项公式；（2）根据第一问写出，求出公比q，写出【详解】（1）设等差数列的公差，因为，所以解得，所以。（2）设等比数列的公比为，因为，所以，即。所以的前项和公式为。【点睛】本题考查
12、等差数列与等比数列的基础公式应用，属于简单题。19.在中，角，对应的边分别为，且有.(1)求的值(2)若的面积，求的值【答案】(1) ；(2) 【解析】【分析】（1）利用 ,将等式中的变量全部化为A,再化简等式。（2）根据已知条件求出c的值，再利用余弦定理求出比值，角化边得出答案【详解】（1）由已知条件得：，所以，解得，角。（2），由余弦定理得：，故。【点睛】本题主要考查利用正弦定理进行角化边的运算。20.如图已知平面，点，分别为，的中点.(1)求证：/平面;(2)求直线与平面所成角的大小.【答案】(1)见证明；(2) 【解析】【分析】（1）要证线面平行即证线线平行，本题连接A1B, （2）取
13、中点,连接证明平面，再求出，得到。【详解】（1）如图，连接，在中，因为和分别是和中点，所以。又因为平面，所以平面；取中点和中点，连接，。因为和分别为和，所以，故且，所以，且。又因为平面，所以平面，从而为直线与平面所成的角。在中，可得，所以。因为，所以，所以，又由，有。在中，可得；在中，因此。所以直线与平面所成角为。【点睛】求线面角一般有两个方法：几何法做出线上一点到平面的高，求出高；或利用等体积法求高向量法。21.已知数列为单调递增数列，其前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列，其前项和为，若成立，求的最小值.【答案】（1）；（2）10【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关
14、系得项之间递推关系，再根据等差数列定义及其通项公式得数列的通项公式；（2）先根据裂项相消法求，再解不等式得，即得的最小值.试题解析：（1）由知：，两式相减得: ，即，又数列为单调递增数列，又当时，即，解得或 (舍），符合，是以1为首项，以2为公差的等差数列，.（2），又 ，即，解得，又，所以的最小值为10.点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.22.如图,在四棱锥中,丄平面,，.(
15、1)证明丄;(2)求二面角的正弦值;(3)设为棱上的点,满足异面直线与所成的角为,求的长.【答案】(1)见证明；(2) ；(3) 【解析】【分析】（1）要证异面直线垂直，即证线面垂直，本题需证平面（2）作于点，连接。 为二面角的平面角，在中解出即可。（3）过点作的平行线与线段相交，交点为，连接，；计算出AF、BF，再在中利用的余弦公式，解出EF,即可求出AE的长【详解】（1）证明：由平面，可得，又由，故平面。又平面，所以。（2）如图，作于点，连接。由，可得平面。因此，从而为二面角的平面角。在中，由此得由（1）知，故在中，因此所以二面角的正弦值为。（3）因为，故过点作的平行线必与线段相交，设交点为，连接，；或其补角为异面直线与所成的角；由于，故；在中，；在中，由，可得：；由余弦定理，可得，解得：，设；在中，；在中，；在中，；解得；【点睛】本题主要考查线线垂直、二面角的平面角、异面直线所成角的。属于中档题。
