1、客 观 题 的 解 法专 题 八1“”填空题是将一个数学真命题，写成缺少某语句的不完整形式，要求学生在指定的空位上，将缺少的语句填写清楚、准确它是一个不完整的陈述句形式，填写的可以是一个词语、数字、符号、数学语句等同时，填空题又是不要求写出计算或推理过程，只需将结论直接写出的求解题 填空题是一种传统的题型，也是高考试卷中又一常见题型它的主要作用是考查考生的基础知识，基本技巧以及分析填问空题概述题、解决问题的能力2.填空题和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等由于填空题缺少选择肢的信息
2、，故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上但填空题既不用说明理由，又无须书写过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题填空题大多能在课本中找到原型和背景，故可以填空化题的特点归为我们熟知的题目或基本题型填空题不需过程，不设中间分，更易失分，因而在解答过程中应力求准确无误填空题题小，跨度大，覆盖面广，形式灵活，可以有目的、和谐地结合一些问题，突出训练学生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力和基本运算能力，突出以图助算、列表分析、精算与估算相结合等计算能力要想又快又准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究一此解题策略，尽量避开常规解法3根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成
3、两种类型：要求学生填写数值、数集或数量关系如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等由于填空题和选择题相比，缺少选择肢的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现要求填写的是具有某种性质的对一是定量型，二象或者填写给定填空的数学是定性型对象的某题的类型，种性质，6如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等三是开放型，要求根据条件探索可能出现的不同结论，可根据结论与部分条件寻求结论成立的不同的可能的充分条件，或根据条件与结论的不确定性，要求重新组合新的命等，这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现4 解答填空题时，由于不
4、反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格，考试说明中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”为此在解填空题时要做到：快运算要快，力戒小题大作；稳变形要稳，不可操之过急；全答案要全，力避残缺不齐；活解题要活，不要生搬硬套；细审题要细解答填空题的原，不能粗则心大意考点1 直接推演法直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的一种解题方法，称为直接法它是解填空题的最基本、最常用的方法使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法22111_abcabcabc例1已知正数，满足：，则的最小值为：1111
5、2222abcabc对所求式通过同时乘 以后，再乘以，然后再将 替换为，并展开重新组合，再利用均值定理分析：求最值考点1 直接推演法1111 111()221 111()221 222()()()222232 2.abcabcabcabcbbcabcaaaccbb ac ab caba ccb解析：22222222111132 2.baabcaacbccbacacbabcbabc当且仅当时，等号成立，即，得，所以的最小值为()nn此类试题可归纳为已知关于 个正数的和 可能各项有不同的系数，而求这个具有倒数关系的和的最值，解答通常是对所求式同时乘一个常数和此常数的倒数，通过整体代换，然后利用均值
6、不【思维启迪】等式求解87cos ABCabcABCABCabC在中，是角，的对边，成等差数列，且，则变试题：2.3874 3sin.731cos7coscossin sincos c1os4 33117272113.1414 ABCBACABCBAabABsinAsinAACABABAB由角，成等差数列，可知又由，可得由正弦定理，得，即又由 可知 ，则 为锐角或钝角，即，所以解析：或()当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值 或特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊
7、方程，特殊模型等 进行处理，从而得出探求的结论这样可大大地简化推理、论证的过程考点2 特值代入法16 *1122051611()1200_.nnnnnad ndaaaxxxxxxN若数列满足，为常数，则称数列为调和数列已知数列为调和数列，且，则例2：*111()nnnnnad ndaaaxCN对于满足，为常数，则称数列为调和数列，可知常数列也是调和数分列，析：因此可令求解考点2 特值代入法 *1125201620.11()11.20010Nnnnnnnnad ndaaaxCxCxxxxxx因为满足，为常数，则称数列为调和数列，所以可令，即由，得，于是解析：在数列问题中，常常会遇到数列的类型不明
8、确，即对于任何满足条件的数列经过合理的推理演算都可得到相同的结论，这时我们可考虑利用满足条件的特殊数列参与运算，可大大的优【思维启迪】化解题过程22200()_.CxyRM xyCPROONPMNPONQOM OQ过圆：内一定点，作一动直线交圆 于两点、，过坐标原点 作直线于点，过点 的切线交直线于点，则变试题：222|.R.t|RRMNOM OQOMOMPQOPPQOPQOPOMOQ如图所示，当点与点 重合时，又因为为切线，所以，于是在中，由射影定理，得，解析：故填考点3 构造法构造法是数学解题中富有创造性的思维方法，它要求我们改变思维方向，换一角度去思考，通过分析具体命题，构造一些图形、模
9、型、方程、函数等，使命题中原来隐晦不清的关系和性质，在新的构造中清楚地展现出来，从而简捷地解决原命题1231231000_ABCDAB ACAC ADAB ADSSSABCACDABDSSS设、是半径为 的球面上的四个不同点，且满足，用，分别表示、的面积，则的最大值是例3：考点3 构造法()ABACAD根据已知条件可知，两两垂直，由此可联想长方体的性质同一顶点发出的三条棱两两垂直，于是可构造长方体，利用球的内接长方体的对角线长与球的直径关分析：系求解222123222222222411(+)2222.2212ABACADABACADABaACbADcabcSSSabbccaabbcacabc由
10、条件知，两两垂直，因此构造以，为棱的一个长方体，易知其所有的顶点均在球面上设，则，解析：一般地，如果一个三棱锥同一个顶点所在的三条棱互相垂直，那么就可考虑通过补形，补为一个长方体来解决在立体几何中，割补法是将复杂的立体几何问题转化为简单、熟悉的立体几何问题来解决的常用的【思维启迪】方法之一 2011201120122012_yf xxfxf xafbfabR若函数在 上可导，且满足不等式恒成立，且，则，变大小关系是试题：002011201220112.01120122012RF xxf xFxxfxf xxfxf xabxfxf xFxF xFFff令，则由，得，则，所以在 上为递增函数所以，
11、所以，解析：即 考点4 数形结合法对于一些含有几何背景数学命题的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果数形结合，能使抽象的数学问题转化成直观的图形，使抽象思维和形象思维结合起来这种思想是近年来高考的热点之一，也是解答数学填空题的一种重要策略 111_(43)0124RRRRyf xx xy yf xxf xxaxf xaf xfxxf xfx设函数由方程确定，下列结论正确的是请将你认为正确的序号都填上 是 上的单调递减函数；对于任意，恒成立；对于任意，关于 的方程都有解；存在反函数，且例：对于任意
12、，恒成立考点4 数形结合法xy根据绝对值的意义同时考虑，的符号将方程转化为几个不同的方程，然后作出它们的图象，进而根据图象对四个命题分析：进行判断 222222 (0,0)1 (0,0)(0,0)1 34201 234 xyxyxyxyyxxyf xyxf xxf xx原函数可化为，其图象如图所示，由图易知均正确对于，同样由图易知的图象全部在直线的上方，即解析：故，即 恒成立填本题解答在去掉方程绝对值可能会分类不准确出现错误；在作函数的图象时每一段之间的衔接可能处理不当而【出思维启迪】现错误.241|02_xxaxAAxxa如果不等式的解集为，且，那么实数 的取值范围是变试题：21241|02
13、1 1)22yxxyaxAxxaaa令，作两函数图象因为解集，由图象可知，所以，即解析：，的范围是考点5 等价转化法等价转化就是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法通过不断的变化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题，从而得到正确的结果2232103240194_ abababaab设实数、满足，则的最大值是例5：22229432()abxaybxyxy由于所求式具有平方关系，可联想距离公式，令，将所求问题转化为求的最大值，当然不等式组也作相应的等价转化，进而再将问题转化分析：求新的平面区域内的点，到原点的距离的最大值考点5 等价转化
14、法2222323210324011033,4525.94 xaybababaxyxxyab令，则原不等式组等价于，作出此不等式组约束下的平面区域，由图易知平面区域内的直线与直线的交点到原点的距离最大，即的最大值为，即的最大值解析：为本题通过换元将所求问题转化为易于利用距离公式求解的最大值问题，但在转化过程中一定要注意等价性，特别是不要忘记了对不等式【思维启迪】组的转化2cossin00_xxxaxa已知关于 的方程，若 时方程有解，则 的取值变范围是试题：2222cossinsinsin115(sin)01501(sin)1224sin124 axxxxxxxax由题知，由，得，则，即为 的解
15、析：取值范围考点6 特殊问题一般化一般化与特殊化是人类认识事物的两个重要方面，也是解题的两种基本策略，它们相辅相成，是辩证的统一在多数场合，特殊问题简单、直观，容易认识，容易把握但在有些场合，特殊问题的个别特性可能会掩盖事物的本质属性，给解题带来困难，而直接求解相应的一般性问题，反而来得简便、明快、奇巧 22222(1)(2)(2)(4)(3)(6)13(1)(3)(5)(4)(8)(5)(10)()(7)(9)A.15 B.30C.75D.60f xfpqfpf qffffffffffffffff已知函数满足：，则的值为 例6：考点6 特殊问题一般化 *2310()ffff nnN若根据已知
16、条件可分别求，其运算量大，且过程较繁事实上，由于题中出现的是抽象函数，因此考虑分析：利用赋值法来处理，可首先通过赋值确定的表达式，再根据所求确定解题方向 *2222122222111333()(2)333.6(21)3(1)(2)(2)(4)1,2,3,4,5(1)(3)30.(3)(6)(4)(8)(5)(10)(5)(7)(9)6 5Nnnnnpnqnf nf n ff nf nfnfnf nfnffffnfffffffffff令，则，则为首项为，公比为 等比数列，所以则，于是令解，得析：赋值法是在高中数学中主要应用于抽象函数与二项式定理等中，解题时须将已知条件与所求问题结合起来分析，找到
17、赋值的突破口，恰当的赋值能达到快速【思维启迪】解答的目的112 11 23 22 31_2010 20112011 2010+.+的值变：是试题221111111111111n nnnnnn nnnnnnnn nnnnn 因为解析：，1112 1 1 23 22 32010 20112011 20101111()()12231111()()34201020112011 1.2112011110+.+考点7 应用结论“”除课本中的定义、定理和公式外，在平时的训练中，常常会遇到同一类数学问题，根据解答过程所用知识和方法会归纳总结出实用的结论这些由高中数学知识通过应用、纵横向联系 派生 出来的常用的
18、小结论，那么常常会简化解题过程，并快捷解决问题，特别在填空题中的作用很大 22log 21 _.nf xxxaa 若函数是奇函数，则例7：0000f xf xxf xxfR因为函数的定义域为，则函数在处有意义，则可利用结论：“若奇函数在处有定分析义，则”：来解答考点7 应用结论 22000log 0021021120111.Rnf xf xf xxf xafaaa根据函数的解析式知函数的定义域为，则函数在处有意义，又为奇函数，所以，所以，得，即，析所：或以解此结论通常用于根据函数的奇偶性而求含有的参数问题，解答快【思维启迪】速、简单56sin40sin35sin0_GABCA GAB GBC
19、GCB设 是的重心，且，则 的大小试题为变：056sin40sin35sin056sin40sin35sinsinsinsin111564035sinsinsin5785781cos620.GGAGBGCA GAB GBC GCABCABCABCakbkckBB由于重心 满足等式，对于已知等式，所以，同时由正弦定理，故，可取，于是由余弦定理求得，所以解析：shch22sinsin coscos sinshsh chch sh.xxxxxeeeexxyxyxyxyxyxy在技术工程上，常用到双曲线正弦函数和双曲线余弦函数，而双曲线正弦函数和双曲线余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有类似的性质
20、，比如关于正、余弦函数有成立而关于双曲线正、余弦函数满足请运用类比的思想，写出关于双曲线正弦、双曲线余弦的一个新备选例题：关系式.shsinchcosshsh chch shchch chsh shsh22shchxxxxxyxyxyxyxyxyxxx类比，类比，本题是一个开放性填空，答案不唯一，有如下情形：，解析：等()()填空题是介于选择题与解答题之间的一种题型，它既有选择题的小、活、广，又有解答题推理及精密运算，考查全面的特点能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键，因此，在解题过程中可选用选择题、解答题的有效方法灵活解题，以达到正确、合理、迅速的目的数学填空题，
21、绝大多数是计算型 尤其是推理计算型 和概念 性质 判断型的试题，解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断因此在平时的备考训练时要注意以下几点：123解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求由于高考中填空题处在选择题和解答题中间，往往学生在做完选择题后解答填空题时会有一些浮躁的心理，为了争取有更多的时间做解答题，急于得到答案，会大大降低填空题的解题正确率和速度，所以平时要做相应的心理训练高考的填空题最容易出现一些所谓“”的 创新题，所以应该作专题复习和限时专题训练1
22、 1 2349 3456725 456789 10491.(2011)观察陕西卷下列等式：照 .n此规律，第 个等式应为21 .1 1 1 12349 2 3345 nn把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数，加数的个数是；等式右边都是完全平方数，行数 等号左边的项数 解析：226725 3 5456789 1049 4 712112113221.nnnnnnnnn 所以，即2()(01.(20).11ab baxxcax baxxcabcbax商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价，最高销售限价 以及常数 来确定实际销售价格，这里，被称为乐观系数经验表明，最佳乐观系数 恰好使得是和的等比中项，据此可得，最佳乐观系数 的值等于福建卷 22222()()015115.2.201 cabcbacabcbacabacabacax bacax baxbabax babababaxxxxx因为是和的等比中项，所以，所以，又因为，所以，代入 ，得，由于 ，即，所以，解得由 ，知解析：
