1、微专题2函数yAsin(x)的求值问题真 题 感 悟(2018江苏卷)已知函数ysin(2x)的图象关于直线x对称，则的值是_.解析由函数ysin(2x)的图象关于直线x对称，得sin1，因为，所以，则，.答案考 点 整 合1.yAsin(x)的有关概念yAsin(x) (A0，0)，xR振幅周期频率相位初相ATfx2.用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A03.函数ysin x的图象经变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的步骤热点一求yAsin(x)中的A，【例1】 (2019南京高三模拟)将函数y5sin 的图象向左平
2、移个单位长度，所得函数图象关于直线x对称，则_.解析将函数y5sin的图象向左平移个单位长度，可得y5sin的图象，根据所得函数图象关于直线x对称，可得22k，kZ，求得，kZ.又0，故令k1，可得.答案探究提高本题考查的是三角函数图象的平移问题，首先要保证平移前后三角函数同名，不是同名的通过诱导公式化为同名；其次，在平移中符合“左加右减”的原则，在写解析式时保证要提取x的系数，针对x本身进行“加减”.【训练1】 (2019苏州自主学习)将函数ysin(2x)(0)的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到函数yf(x)的图象，若函数yf(x)的图象过原点，则的值是_.解析由题意，f(x)sin，进
3、而f(0)sin0，故k，kZ，又因为0，所以.答案热点二求yAsin(x)的函数值【例2】 (2019苏、锡、常、镇调研)函数f(x)Asin (x)(A，为常数，A0，0，0)的图象如图所示，则f的值为_.解析根据图象可知，A2，所以周期T，2.又函数图象过点，所以2，所以，则f(x)2sin，因此f2sin1.答案1探究提高已知图象求函数yAsin(A0，0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.【训练2】 函数f(x)Asin(x
4、)(A，是常数，A0，0)的部分图象如图所示，则f(0)_.解析因为由图象可知振幅A，所以周期T，解得2.将代入f(x)sin(2x)，解得一个符合的，从而ysin，f(0).答案热点三yAsin(x)最值的求解【例3】 (2019泰州模拟)已知函数f(x)cossin2xcos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)设函数g(x)f(x)2f(x)，求g(x)的值域.解(1)f(x)cos 2xsin 2xcos 2xsin.则f(x)的最小正周期为.由2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数yf(x)图象的对称轴方程为x(kZ).(2)g(x)f(x)2f(x)si
5、n2sin.又sin1，1，故当sin时，g(x)取得最小值，当sin1时，g(x)取得最大值2，所以g(x)的值域为.探究提高求三角函数最值的两条思路：(1)将问题化为yAsin(x)B的形式，结合三角函数的性质或图象求解；(2)将问题化为关于sin x或cos x的二次函数的形式，借助二次函数的性质或图象求解.【训练3】 (2018北京卷)已知函数f(x)sin2xsin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值.解(1)f(x)cos 2xsin 2xsin.所以f(x)的最小正周期为T.(2)由(1)知f(x)sin.由题意知xm，所
6、以2x2m.要使f(x)在上的最大值为，即sin在上的最大值为1，则2m，即m.所以m的最小值为.【新题感悟】 (2019苏北四市高三模拟)将函数f(x)sin(0)的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于直线x对称，则的最小值为_.解析将函数f(x)sin(0)的图象向左平移个单位长度后，可得函数ysin的图象，再根据所得图象关于直线x对称，可得k，kZ，又0，当k0时，取得最小值为.答案一、填空题1.函数y3sin的最小正周期为_.解析利用函数yAsin(x)的周期公式求解.函数y3sin的最小正周期为T.答案2.(2019南通调研)在平面直角坐标系xOy中，将函数ysin的图象向右平移个
7、单位长度.若平移后得到的图象经过坐标原点，则的值为_.解析函数ysin的图象向右平移个单位长度得到函数ysin的图象，由平移后的图象经过原点，得sin0，2k，kZ，kZ，又0，.答案3.(2019常州月考)已知函数y3cos(2x)的图象关于点中心对称，则|的最小值为_.解析函数y3cos(2x)的图象关于点中心对称，2k，kZ，k，kZ，则|的最小值为.答案4.(2019南京师大附中期中)函数f(x)Asin(x)的图象如图所示，则f_.解析由函数f(x)的图象可知A2，T2，故2，f(x)2sin(2x).图象过点，2sin2，sin1，又，f(x)2sin，f2sin2sin1.答案1
8、5.(2018全国卷改编)已知函数f(x)2cos2xsin2x2，则f(x)的最大值为_.解析易知f(x)2cos2xsin2x23cos2x131cos 2x，当xk(kZ)时，f(x)取得最大值，最大值为4.答案46.已知函数ycos x与ysin(2x)(00).若f(x)f对任意的实数x都成立，则的最小值为_.解析由于对任意的实数x都有f(x)f成立，故当x时，函数f(x)有最大值，故fcos1，2k(kZ)，8k(kZ)，又0，min.答案二、解答题9.(2019南京、扬州、泰州、淮安调研)已知函数f(x)Asin(A0，0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点.(1)求函数
9、f(x)的解析式；(2)若角满足f()f1，(0，)，求角的值.解(1)由条件知周期T2，即2，所以1，所以f(x)Asin.因为f(x)的图象经过点，所以Asin，所以A1，所以f(x)sin.(2)由f()f1，得sinsin1，即sincos1，所以2sin1，即sin .因为(0，)，所以或.10.(2019连云港调研)已知函数f(x)2sin(x)的部分图象如图所示，直线x，x是其相邻的两条对称轴.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f，且，求cos 的值.解(1)设f(x)的周期为T，则，所以T.又T，所以2，所以f(x)2sin(2x).因为点在函数图象上，所以2sin2，即s
10、in1.因为，即，所以，所以，所以f(x)2sin.(2)由f，得sin.因为，所以，所以cos.所以cos coscoscos sinsin .11.(2019南通调考)已知函数f(x)4sin3xcos x2sin xcos xcos 4x.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.解f(x)2sin xcos xcos 4xsin 2xcos 2xcos 4xsin 4xcos 4xsin.(1)函数f(x)的最小正周期T.令2k4x2k，kZ，得x，kZ.所以f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)因为0x，所以4x.此时sin1，所以sin，即f(x).所以f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，.