1、江西省宜春昌黎实验学校2019-2020学年高二数学6月月考试题 理（含解析）一、选择题：1.方程的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用组合数性质，若，则或，注意验证即可.【详解】解：因为，所以，或，或经验证或都符合题意.故选：D【点睛】考查组合数方程的解法，注意验证即可；基础题.2.设离散型随机变量的概率分布列如下，则下列各式中成立的是（ ）-10123P0.100.100.200.40A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据分布列的性质，求得，再结合随机变量的取值，即可求解相应的概率，得到答案.【详解】由题意，根据分布列的性质，可得，解得，可得，
2、所以A正确；，所以B不正确；，所以C不正确.，所以D不正确；故选：A。【点睛】本题主要考查了离散型分布列的性质，以及概率的计算，其中解答中熟记离散型随机变量的分布列的性质，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.3.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设的内容应为（ ）A. 假设至少有一个钝角B. 假设至少有两个钝角C. 假设没有一个钝角D. 假设没有一个钝角或至少有两个钝角【答案】B【解析】【分析】根据反设的思想，直接得出结果.【详解】用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设的内容应为“假设至少有两个钝角”.故选：B.【点睛】本题主要考查反证法的应用，熟
3、记反证法的概念即可，属于基础题型.4.用数学归纳法证明不等式时，第一步应验证不等式（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据数学归纳法的第一步，检验第一项成立，即可得解.【详解】用数学归纳法证明不等式，第一步检验第一项成立，即当时成立即可，故选：A.【点睛】本题考查了数学归纳法证明第一步的检验，属于基础题.5.若（为虚数单位），则复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】可化为，设，根据复数的模可得，由复数相等的条件可求、，进而由几何意义可得答案.【详解】解：可化为，设，则，解得，对应点为，位于第四象限.故选：D.
4、【点睛】本题考查复数代数形式和复数的几何意义，以及复数的周期、复数的模和相等复数，属于基础题6.若，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用微积分基本定理计算定积分，分别求出，的值，再进行比较大小.【详解】解：，所以.故选：A.【点睛】本题考查定积分的计算，利用微积分基本定理进行求解，解题的关键是求出被积函数的原函数7.用数字0、1、2、3能组成多少个没有重复数字的四位偶数（ ）A. 6B. 10C. 12D. 24【答案】B【解析】【分析】由题可知，末位上的数字只能是0和2，再分类讨论末位上的数为0和2两种情况，最后根据分类加法计数原理，便可求出结果.【详
5、解】解：当末位上的数为0时，前三位数任意排列，有个，当末位上的数为2时，首位只能从1，3中选，再排中间两位数，共有：个，根据分类加法计数原理，得出没有重复数字的四位偶数共有：6+4=10个.故选：B.【点睛】本题考查数字排列问题和排列数的计算以及分类加法计数原理，注意考虑特殊元素0，考查分类讨论思想和计算能力.8.若是正奇数，则被9除的余数为（ ）A. 2B. 5C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】根据二项式定理化简，再根据题意对化简的式子进行变形得到，再次展开进行求解即可.【详解】解：由题可知：原式=，因为为正奇数，所以上式可化简为：所以该式除以9，余数为：7.故选：C.【点睛】本题考
6、查运用二项式定理解决余数问题，考查代数式的恒等变形能力，考查了数学运算能力.9.“过原点的直线交双曲线于，两点，点为双曲线上异于，的动点，若直线，的斜率均存在，则它们之积是定值”类比双曲线的性质，可得出椭圆的一个正确结论：过原点的直线交椭圆于，两点，点为椭圆上异于，的动点，若直线，的斜率均存在，则它们之积是定值（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用椭圆与双曲线方程形式上的类似，结合椭圆方程化简即可得到的值.【详解】“过原点的直线交双曲线于，两点，点为双曲线上异于，的动点，若直线，的斜率均存在，则它们之积是定值”，类比双曲线的性质，可得出椭圆的一个正确结论：过原点的直线交椭
7、圆：于，两点，若直线，的斜率均存在，则，证明如下：设，则，且，设，则，所以又，代入可得：故选：B【点睛】类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一 致性; (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).10.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】甲共得6条，乙共得6条，共有6636(对)，其中垂直的有10对，.本题选择C选项.11.已知是定义在上的奇函数，且时，则函数（为自然对数的底数）的零点个数是（ ）A.
8、 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】当时,函数求导可得,则函数在上单调递增,在上单调递减,当时函数有极大值为 ,根据奇函数的对称性,作出其函数图像如图,由函数图像可知与有两个不同交点,则 有两个零点.故本题选.点睛:本题主要考查函数的奇偶性,单调性,指数函数的图像与性质,及数形结合的数学思想方法.函数的零点问题,方程解的个数问题一般转化为两个常见的函数图像的交点个数问题来解决.要能熟练掌握几种基本函数图像,如二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数,幂函数等.掌握平移变换,伸缩变换,对称变换,翻折变换,周期变换等常用的方法技巧来快速处理图像.能利用函数的相关性质作出函数的草图.12.
9、函数的定义域为,，对任意，都有则不等式的解集为（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】A【解析】依题意，构造函数，其中，函数为减函数，故的解集为.点睛：本题主要考查本题考查函数导数与不等式，构造函数法.是一个常见的题型，题目给定一个含有导数的条件，这样我们就可以构造函数，它的导数恰好包含这个已知条件，由此可以求出的单调性，即函数为减函数，根据单调性可求得解集.二、填空题13.若复数，（为虚数单位，）是纯虚数，则_.【答案】-1【解析】【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.【详解】解：复数是纯虚数，解得：.故答案为：.【点睛】本题考查复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题.14.
10、若随机变量，则=_【答案】【解析】根据正态密度曲线的对称性可得这个概率值是.15.若数列满足：，则称数列为“正弦数列”，现将这五个数排成一个“正弦数列”，所有排列种数记为，则二项式的展开式中含项的系数为_【答案】【解析】【分析】分别列出首位是2、3、4，5时的情况，即可得到a的值为16先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的含x2项的系数【详解】由题意，偶数项要比相邻的奇数项大，当首位是1时，13254，14253，14352，15243，15342，共计5个；首位是2时，23154，24153，24351，25143，25341，共计5个；当首位是3
11、时，34152，34251，35142，35241，共计4个；当首位是4时，45231，45132，共计2个，故共有5+5+4+216种，即a16二项式（）6（）6的 的展开式的通项公式为 Tr+1（16）rx3r，令3r2，求得r1，故展开式中含x2项的系数为6（16）96，故答案为96【点睛】本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确列举是关键考查了二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题16.给出下列四个命题，为实数的充要条件是：，互为共轭复数将5封信投入3个邮筒，不同的投法有种投递方法；函数在处取得极大值；对于任意，都是偶数其中真命题的序号是_（
12、写出所有真命题的序号）【答案】【解析】【分析】利用共轭复数、充要条件的知识判断命题是否正确.利用分步乘法计数原理判断命题是否正确.利用导数研究的极值点，由此判断命题是否正确.根据二项式展开式的二项式系数和判断命题是否正确.【详解】当时，为实数，但不是共轭复数，所以为实数的充要条件不是：，互为共轭复数.所以错误.将5封信投入3个邮筒，不同投法有种投递方法.所以错误.，所以，所以递减，在上递增，所以在处取得极大值. 所以正确.由于，对任意，为偶数，所以正确.故答案为：【点睛】本小题主要考查共轭复数、充要条件，考查分步乘法计数原理，考查利用导数求极值点，考查二项式展开式的二项式系数和，属于中档题.三
13、解答题17.已知求：（1）；（2）；（3）【答案】（1）-2；（2）-1094；（3）1093.【解析】【分析】分别令、和，求得，（1）由-，进而求得；（2）由，进而求得；（3）由+，进而求得.【详解】由题意，令，可得 令，可得 令，可得 （1）由-，可得；（2）由，得，则；（3）由+，可得，所以.【点睛】本题主要考查了二项展开式的系数的和的求解问题，其中解答中根据二项展开式，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.18.有甲、乙、丙、丁、戊位同学，求：（1）位同学站成一排，有多少种不同的方法？（2）位同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？（3）将位
14、同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？【答案】（1）120（2）24（3）150【解析】试题分析：（1）5位同学站成一排，全排列即可；（2）利用捆绑和插空法排列即可；（3）分组（3，1，1），（2，2，1）两组，计算即可试题解析：（1）120（2）位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻故有（3）人数分配方式有有种方法有种方法所以，所有方法总数为种方法考点：排列组合问题19.前不久，江苏电视台有一档节目叫最强大脑，其中有一场记忆比赛有6位选手，其中4位选手从来没有参加过记忆能力方面培训，2位选手曾经参加过记忆能力方面的培训（1）现从该6位选手中任选2位去参加比赛，求恰
15、好选到1位曾经参加过记忆能力方面培训的选手的概率；（2）为了在以后与欧洲选手的比赛中取得更好的成绩，现准备从这6位选手中任选2位去参加这方面的培训，培训结束后，该小组没有参加过这方面培训的选手个数是一个随机变量，求随机变量的分布列【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】(1)结合组合的思想，分别求出6选2的所有组合数为以及选到1为曾经参加培训的选手组合数为，从而可求出概率.(2)由题意知，求出三种随机变量取值的概率，即可得分布列.【详解】解：（1）记“恰好选到1位曾经参加过记忆能力的培训的选手”为事件的，则其概率为.（2）随机变量所有可能取值为，由题意知，；随机变量的分布列为234【点睛】本
16、题考查了离散型随机变量的分布列，考查了古典概型概率的求解.求分布列时，一般求出随机变量的可能取值，然后求出每种取值下的概率，进而求出分布列.20.某投资公司在年年初准备将万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.【答案】选择项目一，理由见解析.【解析】【分析】首先根据题意写出两个项目获利的分布列，
17、根据分布列求出数学期望以及方差值，结合数学期望和方差值选择合适的项目.【详解】对于项目一，该项目年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和，设按该项目投资，获利为万元，则随机变量的分布列为所以，（万元），.对于项目二，该项目年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和，设按该项目投资，获利为万元，则随机变量的分布列为（万元），.，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该公司选择项目一投资【点睛】本题考查离散型随机变量分布列、数学期望与方差的计算，同时也考查了利用数学期望和方差解决实际问题，考查数据处理能力与计算能力，属于中等题
18、.21.已知函数在处的切线方程为.（1）求的解析式；（2）若恒成立，则称为的一个上界函数，当（1）中的为函数的一个上界函数时，求的取值范围；（3）当时，对（1）中的，讨论在区间上极值点的个数.【答案】（1）；（2）；（3）在上，当时，无极值点；当或者时，有1个极值点；当且时，有2个极值点【解析】试题分析：（1）求导，根据导数的几何意义，由题意知，解方程组可得的值（2）问题等价于恒成立，再转化为对恒成立命名新函数令求导，讨论导数的正负，得函数的单调区间，根据函数的单调性求其最值令其最小值大于等于0即可（3）求导，讨论导数的正负得函数的单调区间根据单调性求其最值讨论最值与0的大小，结合函数图像判断
19、零点个数试题解析：（1），由已知解得（2）恒成立对恒成立令则，当）时，单调递增，当时，单调递减，故（3）由（1）知，的解为当时，在（0，2）上单调递增，无极值点；当且，即且时，有2个极值点；当或，即或者时，有1个极值点综上知，在上，当时，无极值点；当或者时，有1个极值点；当且时，有2个极值点考点：1导数的几何意义；2用导数研究函数的性质22.在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、，且各轮问题能否正确回答互不影响（1）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；（2）求该选手至多进入第三
20、轮考核的概率；（3）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为，求随机变量的分布列【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）求该选手进入第三轮才被淘汰即第一、二轮均通过，而第三轮未通过，利用独立事件的概率求解即可（2）求该选手至多进入第三轮考核分为三类，第一轮被淘汰、第二轮被淘汰、第三轮被淘汰，此三类事件互斥，分别求概率取和即可（3）X的所有可能取值为1，2，3，4，分别求概率即可【详解】解：设事件表示“该选手能正确回答第轮问题”，由已知，（1）设事件表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，则（2）设事件表示“该选手至多进入第三轮考核”，则（3）的可能取值为1，2，3，4，所以的分布列为1234【点睛】本题考查相互独立事件和互斥事件的概率和随机事件的分布列，考查运用概率知识解决实际问题的能力，是基础题