1、专题47 立体几何部分（多选题） 一、题型选讲题型一 、判定定理和性质定理的考查例1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）A若则B若则C若，则D若，则【答案】ACD【解析】若，则且使得，又，则，由线面垂直的判定定理得，故A对；若，如图，设，平面为平面，设平面为平面，则，故B错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C对；若，则，又，则，故D对；故选：ACD例2、（2020届山东省济宁市高三上期末）己知为两条不重合的直线,为两个不重合的平面,则下列说法正确的是( )A若且则B若则C若则D若则【答案】BC【解析】A. 若且则可以，异面
2、，或相交，故错误；B. 若则，又故，正确；C. 若则或，又故，正确；D. 若则，则或，错误；故选：题型二、翻折问题的考查例3、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知菱形中，与相交于点，将沿折起，使顶点至点，在折起的过程中，下列结论正确的是( )AB存在一个位置，使为等边三角形C与不可能垂直D直线与平面所成的角的最大值为【答案】ABD【解析】A选项，因为菱形中，与相交于点，所以，；将沿折起，使顶点至点，折起过程中，始终与垂直，因此，又，由线面垂直的判定定理，可得：平面，因此，故A正确；B选项，因为折起的过程中，边长度不变，因此；若为等边三角形，则；设菱形的边长为，因为，则，即，又，所以，即二面
3、角的余弦值为时，为等边三角形；故B正确； C选项，由A选项知，所以，因此，同B选项，设菱形的边长为，易得，所以，显然当时，即；故C错误；D选项，同BC选项，设菱形的边长为，则，由几何体直观图可知，当平面，直线与平面所成的角最大，为，易知.故选：ABD.例4、如图，已知平行四边形中，为边的中点，将沿直线翻折成. 若为线段的中点，则在翻折的过程中，下列命题正确的有（）A异面直线与所成的角可以为B二面角可以为C直线与平面所成的角为定值D线段的长为定值【答案】BCD【解析】对于选项A：若与所成的角为，因为，可设，所以，所以，所以，面，面，又面，所以，与为等边三角形矛盾，故错误；对于选项B：因为，所以，
4、所以当点与点E重合时，二面角等于，故正确；取DC的中点为N，EC的中点为P，因为B、N、P在同一条直线上，所以面面，因为与平面共面，所以直线面，所以直线与平面所成的角为定值，故正确；对于D：，所以，所以线段的长为定值.例5、如图直角梯形中，为中点以为折痕把折起，使点到达点的位置，且则（ ）A平面平面BC二面角的大小为D与平面所成角的正切值为【答案】ABD【解析】：如图，连接，则，又，所以中有，所以.对于A.由题意可得，又，平面所以平面，所以，又，平面，所以平面，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，故A正确；对于B.由A得平面，又，由三垂线定理可得（平面内一条线和射影垂直，就和斜线垂直），故
5、B正确；对于C.由A得平面，根据二面角定义可得就是二面角的平面角，易得，故C不正确；对于D. 由A得平面，所以就是斜线与平面所成的角，易得，故D正确.题型三、知识的综合考查例6、（2020蒙阴县实验中学高三期末）已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，.若点为的中点，则下列说法正确的为（ ）A平面B面C四棱锥外接球的表面积为D四棱锥的体积为6【答案】BC【解析】作图在四棱锥中：由题：侧面平面，交线为，底面为矩形，则平面，过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接交于，连接，中，面，面，所以面，所以选项B正确；四棱锥的体积是四棱锥的体积的一半，取中点，连接，则平面，四棱锥的体积所以选项D
6、错误.矩形中，易得，中求得：在中即： ，所以O为四棱锥外接球的球心，半径为，所以其体积为，所以选项C正确故选：BC例7、（2020届山东省烟台市高三上期末）如图，在正方体中，点在线段上运动，则 （ ）A直线平面B三棱锥的体积为定值C异面直线与所成角的取值范围是D直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】ABD【解析】对于选项A,连接,由正方体可得,且平面,则,所以平面,故；同理,连接,易证得,则平面,故A正确；对于选项B,因为点在线段上运动,所以,面积为定值,且到平面的距离即为到平面的距离,也为定值,故体积为定值,故B正确；对于选项C,当点与线段的端点重合时,与所成角取得最小值为,故C错误；对
7、于选项D,因为直线平面,所以若直线与平面所成角的正弦值最大,则直线与直线所成角的余弦值最大,则运动到中点处,即所成角为,设棱长为1,在中,故D正确故选：ABD例8、已知正方体的棱长为，点分别棱的中点，下列结论正确的是（）A平面B四面体的体积等于C与平面所成角的正切值为D平面【答案】AC【解析】A：在面、面上的射影、，而，所以，且，则平面，正确.B：如下图示，知：，错误.C：过G作GGCD于G，H为GG的中点，则有FG/AH，连接AG，所以与平面所成角 =HAG，有，正确.D：若H为AD中点，可将平移至EH，显然面，即不与面平行，错误.例9、如图，在四棱锥中，底面为菱形，侧面为正三角形，且平面平
8、面，则下列说法正确的是（）A在棱上存在点M，使平面B异面直线与所成的角为90C二面角的大小为45D平面【答案】ABC【解析】如图，对于，取的中点，连接，侧面为正三角形，又底面是菱形，是等边三角形，又，平面，平面，故正确.对于，平面，即异面直线与所成的角为90，故正确.对于，平面平面，平面，是二面角的平面角，设，则，在中，即，故二面角的大小为45，故正确.对于，因为与不垂直，所以与平面不垂直，故错误.故选：二、达标训练1、已知是互不重合的直线，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】BD【解析】A若，此时可能平行或异面，故A错误；B根据“若一条直线和
9、两个相交平面都平行，则该直线平行于相交平面的交线”，可知B正确；C若，此时或，故C错误；D选取上的方向向量，则为的一个法向量，又，所以，可知D正确，2、已知四边形是等腰梯形（如图1），将沿折起，使得（如图2），连结，设是的中点.下列结论中正确的是（ ）AB点到平面的距离为C平面D四面体的外接球表面积为【答案】BD【解析】因为，所以为等腰直角三角形，过C做，交AB于F，如图所示：所以，即AE=BF，又，所以，则，对于A：因为，平面BCDE，所以平面BCDE，平面BCDE，所以，若，且平面ADE，则平面ADE，所以DE与已知矛盾，所以BC与AD不垂直，故A错误；对于B：连接MC，如图所示，在中，D
10、E=DC=1，所以，又，EB=2，所以，所以，又因为，平面AEC，所以平面AEC，平面AEC，所以，即为直角三角形，在中，所以，因为是的中点，所以的面积为面积的一半，所以，因为，所以DE即为两平行线CD、EB间的距离，因为，设点E到平面的距离为h，则，即，所以，所以点到平面的距离为，故B正确；对于C：因为，平面ADC，平面ADC，所以平面ADC，若平面，且平面AEB，所以平面ACD平面AEB，与已知矛盾，故C错误.对于D：因为，所以的外接圆圆心为EB的中点，又因为，所以的外接圆圆心为AB的中点M，根据球的几何性质可得：四面体的外接球心为M，又E为球上一点，在中，所以外接球半径,所以四面体的外接
11、球表面积，故D正确.3、如图，已知平行四边形中，为边的中点，将沿直线翻折成. 若为线段的中点，则在翻折的过程中，下列命题正确的有（）A异面直线与所成的角可以为B二面角可以为C直线与平面所成的角为定值D线段的长为定值【答案】BCD【解析】对于选项A：若与所成的角为，因为，可设，所以，所以，所以，面，面，又面，所以，与为等边三角形矛盾，故错误；对于选项B：因为，所以，所以当点与点E重合时，二面角等于，故正确；取DC的中点为N，EC的中点为P，因为B、N、P在同一条直线上，所以面面，因为与平面共面，所以直线面，所以直线与平面所成的角为定值，故正确；对于D：，所以，所以线段的长为定值.4、如图，在正方体中，是棱上的动点则下列结论正确的是（ ）A平面BC直线与所成角的范围为D二面角的大小为【答案】ABD【详解】对于选项A：因为平面平面，平面，所以平面，故选项A正确；如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，对于选项B：，因为，所以，即，故选项B正确；对于选项C：，设直线与所成角为，则，当时最大等于，此时最小为，当时最小等于，此时最大为，所以，即直线与所成角的范围为，故选项C不正确；对于选项D：二面角即二面角，因为，平面，平面，所以即为二面角的平面角，在正方形中，所以二面角的大小为，故选项D正确；