1、单元质检卷八解析几何(时间:100分钟满分:150分)单元质检卷第17页一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知点P(2,3)到直线l:ax+y-2a=0的距离为d,则d的最大值为() A.3B.4C.5D.7答案A解析直线方程即y=-a(x-2),据此可知直线恒过定点M(2,0),当直线lPM时,d有最大值,结合两点之间距离公式可得d的最大值为(2-2)2+(3-0)2=3.故选A.2.(2019云南师范大学附中模拟,8)已知直线l与双曲线x2-y22=1交于A,B两点,以AB为直径的圆C的方程为x2+y2+2x+4y+m=0,则m=()A.-3B.3C.5-22D.22
2、答案A解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由根据圆的方程可知C(-1,-2),C为AB的中点,根据双曲线中点差法的结论kAB=b2a2x0y0=21-1-2=1,由点斜式可得直线AB的方程为y=x-1,将直线AB方程与双曲线方程联立x2-y22=1,y=x-1,解得x=-3,y=-4,或x=1,y=0,所以|AB|=42,由圆的直径|AB|=D2+E2-4F=22+42-4m=42,可解得m=-3,故选A.3.(2019湖南湖北八市十二校一调联考,8)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A、B两点,且直线l与圆x2-px+y2-34p2=0交于C、D
3、两点.若|AB|=2|CD|,则直线l的斜率为()A.22B.32C.1D.2答案C解析由题设可得x-p22+y2=p2,故圆心在焦点上,故CD=2p,AB=4p,设直线l的方程为x=ty+p2,设A(x1,y1)B(x2,y2)代入y2=2px(p0)得y2-2pty-p2=0,所以y1+y2=2pt,y1y2=-p2,则AB=(1+t2)(4p2t2+4p2)=2p(1+t2)=4p,即1+t2=2,也即t=1.故选C.4.(2019江西名校(临川一中、南昌二中)2019联考,7)阿波罗尼斯(约公元前262190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k0,k1)的点的轨迹
4、是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为2,动点P满足|PA|PB|=2,当P、A、B不共线时,三角形PAB面积的最大值是()A.22B.2C.223D.23答案A解析以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系;则A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),|PA|PB|=2,(x+1)2+y2(x-1)2+y2=2,两边平方并整理得x2+y2-6x+1=0,即(x-3)2+y2=8,当点P到AB(x轴)的距离最大时,三角形PAB的面积最大,此时面积为12222=22,故选A.5.设F1、F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、
5、右焦点,A为左顶点,点P为双曲线C右支上一点,|F1F2|=10,PF2F1F2,|PF2|=163,O为坐标原点,则OAOP=()A.-293B.163C.15D.-15答案D解析由题得a2+b2=25,b2a=163,a=3,b=4.所以双曲线的方程为x29-y216=1,所以点P的坐标为5,163或5,-163,所以OAOP=(-3,0)5,163=-15.故选D.6.已知直线l:mx+y-1=0(mR)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,过点A(-2,m)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|的值为()A.4B.25C.42D.3答案A解析由x2+y2-4x+2y+1=0,
6、得(x-2)2+(y+1)2=4,圆心C(2,-1),半径r=2.由题意可得,直线l:mx+y-1=0经过圆C的圆心(2,-1),2m-1-1=0,m=1,点A(-2,1).AC=20,CB=r=2,切线的长|AB|=20-4=4.7.(2019黑龙江齐齐哈尔市二模,9)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直x轴的直线交椭圆E于A,B两点,点A在x轴上方.若|AB|=3,ABF2的内切圆的面积为916,则直线AF2的方程是()A.3x+2y-3=0B.2x+3y-2=0C.4x+3y-4=0D.3x+4y-3=0答案D解析设内切圆半径为r,则r2
7、=916,r=34,F1(-c,0),内切圆圆心为-c+34,0,由|AB|=3知A-c,32,又F2(c,0),所以AF2方程为3x+4cy-3c=0,由内切圆圆心到直线AF2距离为r,即|3(-c+34)-3c|32+(4c)2=34,得c=1,所以AF2方程为3x+4y-3=0,故选D.8.(2019四川南充三模,8)已知直线x+y=1与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)交于P,Q两点,且OPOQ(其中O为坐标原点),若椭圆的离心率e满足33e22,则椭圆长轴的取值范围是()A.5,6B.52,62C.54,32D.52,3答案A解析联立x+y=1,x2a2+y2b2=1,得(a2+b
8、2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),=4a4-4(a2+b2)(a2-a2b2)0,化为a2+b21.则x1+x2=2a2a2+b2,x1x2=a2-a2b2a2+b2.OPOQ,OPOQ=x1x2+y1y2=x1x2+(x1-1)(x2-1)=2x1x2-(x1+x2)+1=0,2a2-a2b2a2+b2-2a2a2+b2+1=0.化简得a2+b2=2a2b2.b2=a22a2-1.椭圆的离心率e满足33e22,13e212,13a2-b2a212,131-12a2-112,化为54a26,解得52a6.满足0.椭圆长轴的取值范围是5,6.故选A.二
9、、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)9.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值可以是()A.1B.2C.3D.4答案AB解析x2+y2-4x=0,(x-2)2+y2=4.过P点所作的圆的两条切线相互垂直,点P,圆心C,两切点构成正方形,则PC=22,即(x-2)2+y2=8.点P在直线y=k(x+1)上,则圆心距d=|2k-0+k|1+k222,得-22k22.故选AB.10.已知三个数1,a,9成等比数列,则圆锥曲线x2a+y22=1的离心率为()A.5B.33C.102D
10、.3答案BC解析由三个数1,a,9成等比数列,得a2=9,即a=3;当a=3,圆锥曲线为x23+y22=1,曲线为椭圆,则e=13=33;当a=-3时,曲线为y22-x23=1,曲线为双曲线,e=52=102,则离心率为33或102.11.已知双曲线C过点(3,2)且渐近线为y=33x,则下列结论正确的是()A.C的方程为x23-y2=1B.C的离心率为3C.曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点D.直线x-2y-1=0与C有两个公共点答案AC解析对于选项A:由已知y=33x,可得y2=13x2,从而设所求双曲线方程为13x2-y2=,又由双曲线C过点(3,2),从而1332-(2)2=,即=1
11、,从而选项A正确;对于选项B:由双曲线方程可知a=3,b=1,c=2,从而离心率为e=ca=23=233,所以B选项错误;对于选项C:双曲线的右焦点坐标为(2,0),满足y=ex-2-1,从而选项C正确;对于选项D:联立x-2y-1=0,x23-y2=1,整理,得y2+22y+2=0,由=(22)2-42=0,知直线与双曲线C只有一个交点,选项D错误.故选AC.12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值(1)的点的轨迹是圆”,后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),
12、B(4,0),点P满足|PA|PB|=12.设点P的轨迹为C,下列结论正确的是()A.C的方程为(x+4)2+y2=9B.在x轴上存在异于A,B的两定点D,E,使得|PD|PE|=12C.当A,B,P三点不共线时,射线PO是APB的平分线D.在C上存在点M,使得|MO|=2|MA|答案BC解析设点P(x,y),则|PA|PB|=12=(x+2)2+y2(x-4)2+y2,化简整理得x2+y2+8x=0,即(x+4)2+y2=16,故A错误;当D(-1,0),B(2,0)时,|PD|PE|=12,故B正确;对于C选项,cosAPO=AP2+PO2-AO22APPO,cosBPO=BP2+PO2-
13、BO22BPPO,要证PO为角平分线,只需证明cosAPO=cosBPO,即证AP2+PO2-AO22APPO=BP2+PO2-BO22BPPO,化简整理即证PO2=2AP2-8,设P(x,y),则PO2=x2+y2,2AP2-8=2x2+8x+2y2=(x2+8x+y2)+(x2+y2)=x2+y2,则证cosAPO=cosBPO,故C正确;对于D选项,设M(x0,y0),由|MO|=2|MA|可得x02+y02=(x0+2)2+y02,整理得3x02+3y02+16x0+16=0,而点M在圆上,故满足x2+y2+8x=0,联立解得x0=2,y0无实数解,故D错误.故答案为BC.三、填空题(
14、本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知直线l过点P(3,2),且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,当AOB的面积取最小值时,直线l的方程为.答案2x+3y-12=0解析设直线l的方程为xa+yb=1(a0,b0),将点P(3,2)代入得3a+2b=126ab,即ab24,当且仅当3a=2b,即a=6,b=4时等号成立,又SAOB=12ab,所以当a=6,b=4时AOB的面积最小,此时直线l的方程为x6+y4=1,即2x+3y-12=0.14.(2019届河北唐山摸底)已知直线l:kx-y-k+2=0与圆C:x2+y2-2y-7=0相交于A,B两点,则|AB|的最小值为.
15、答案26解析kx-y-k+2=0,化为y-2=k(x-1),直线过定点E(1,2),E(1,2)在圆x2+y2-2y-7=0内,当E是AB中点时,|AB|最小,由x2+y2-2y-7=0得x2+(y-1)2=8,圆心C(0,1),半径22,|AB|=28-|EC|2=28-2=26,故答案为26.15.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,过点F斜率为3的直线l与抛物线C交于点M(M在x轴的上方),过M作MNl于点N,连接NF交抛物线C于点Q,则|NQ|QF|=.答案2解析由抛物线定义可得MF=MN,又斜率为3的直线l倾斜角为3,MNl,所以NMF=3,即三角形MNF为正三角
16、形,因此NF倾斜角为23,由y2=2px,y=-3(x-p2),解得x=p6或x=3p2(舍),即xQ=p6,|NQ|QF|=p6-(-p2)p2-p6=2.16.直线l过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p=,1|AF|+1|BF|=.答案21解析由题意知p2=1,从而p=2,所以抛物线方程为y2=4x.(方法一)将x=1代入,解得|AF|=|BF|=2,从而1|AF|+1|BF|=1.(方法二)设AB的方程为y=k(x-1),联立y=k(x-1),y2=4x,整理,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+
17、x2=2k2+4k2,x1x2=1.从而1|AF|+1|BF|=1x1+1+1x2+1=x1+x2+2x1+x2+x1x2+1=x1+x2+2x1+x2+2=1.四、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(14分)已知圆O:x2+y2=r2(r0)与直线3x-4y+15=0相切.(1)若直线l:y=-2x+5与圆O交于M,N两点,求|MN|;(2)已知A(-9,0),B(-1,0),设P为圆O上任意一点,证明:|PA|PB|为定值.(1)解由题意知,圆心O到直线3x-4y+15=0的距离d=159+16=3,圆O与直线相切,r=d=3,圆O方程为x2+y2=9.圆心O到直线l:y=-2x+5
18、的距离d1=54+1=5,|MN|=29-d12=4.(2)证明设P(x0,y0),则x02+y02=9,|PA|PB|=(x0+9)2+y02(x0+1)2+y02=x02+18x0+81+y02x02+2x0+1+y02=18x0+902x0+10=3,即|PA|PB|为定值3.18.(14分)(2019河南洛阳模拟,20)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=33,左、右焦点分别为F1,F2,且F2与抛物线y2=4x的焦点重合.(1)求椭圆的标准方程;(2)若过F1的直线交椭圆于B,D两点,过F2的直线交椭圆于A,C两点,且ACBD,求|AC|+|BD|的最小值.解(1)抛
19、物线y2=4x的焦点为(1,0),所以c=1,又因为e=ca=1a=33,所以a=3,所以b2=2,所以椭圆的标准方程为x23+y22=1.(2)(i)当直线BD的斜率k存在且k0时,直线BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程x23+y22=1,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=-6k23k2+2,x1x2=3k2-63k2+2,|BD|=1+k2|x1-x2|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=43(k2+1)3k2+2.易知AC的斜率为-1k,所以|AC|=43(1k2+1)31k2+2=43(k2+1)2
20、k2+3.所以|AC|+|BD|=43(k2+1)13k2+2+12k2+3=203(k2+1)2(3k2+2)(2k2+3)203(k2+1)2(3k2+2)+(2k2+3)22=203(k2+1)225(k2+1)24=1635.当k2=1,即k=1时,上式取等号,故|AC|+|BD|的最小值为1635.(ii)当直线BD的斜率不存在或等于零时,易得|AC|+|BD|=10331635.综上,|AC|+|BD|的最小值为1635.19.(14分)(2019湖南益阳,20)已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,点M(2,m)(m0)在抛物线上,且|MF|=2.(1)求抛物线C的方程;
21、(2)若点P(x0,y0)为抛物线上任意一点,过该点的切线为l0,过点F作切线l0的垂线,垂足为Q,则点Q是否在定直线上,若是,求定直线的方程;若不是,说明理由.解(1)由抛物线的定义可知,|MF|=m+p2=2,又M(2,m)在抛物线上,所以2pm=4,由联立解得p=2,m=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)当x0=0,即点P为原点时,易知点Q在直线y=0上;当x00,即点P不在原点时,由(1)得,x2=4y,则y=12x,所以在点P处的切线的斜率为12x0,所以在点P处的切线l0的方程为y-y0=12x0(x-x0),又x02=4y0,所以y-y0=12x0(x-x0)可化为y=1
22、2x0x-y0.又过点F与切线l0垂直的方程为y-1=-2x0x,联立方程y=12x0x-y0,y-1=-2x0x,消去x,得y=-14(y-1)x02-y0.(*)因为x02=4y0,所以(*)可化为y=-yy0,即(y0+1)y=0,由y00,可知y=0,即垂足Q必在x轴上.所以点Q必在直线y=0上,综上,点Q必在直线y=0上.20.(14分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,点-3,12在椭圆上,A,B分别为椭圆C的上、下顶点,点M(t,2)(t0).(1)求椭圆C的方程;(2)若直线MA,MB与椭圆C的另一交点分别为P,Q,证明:直线PQ过定点.(1)解由题意
23、知ca=32,3a2+14b2=1,a2=b2+c2,解得a=2,b=1,c=3,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)证明 易知A(0,1),B(0,-1),则直线MA的方程为y=1tx+1,直线MB的方程为y=3tx-1.联立y=1tx+1,x24+y2=1,得4t2+1x2+8tx=0,于是xP=-8tt2+4,yP=t2-4t2+4,同理可得xQ=24tt2+36,yQ=36-t2t2+36,又由点M(t,2)(t0)及椭圆的对称性可知定点在y轴上,设为N(0,n),则直线PN的斜率k1=t2-4t2+4-n-8tt2+4,直线QN的斜率k2=36-t2t2+36-n24tt2+3
24、6,令k1=k2,则t2-4t2+4-n-8tt2+4=36-t2t2+36-n24tt2+36,化简得t2-4-n(t2+4)-8t=36-t2-n(t2+36)24t,解得n=12,所以直线PQ过定点0,12.21.(14分)(2019河北衡水模拟,20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为13,点P在椭圆C上,且PF1F2的面积的最大值为22.(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线l:y=kx+2(k0)与椭圆C交于不同的两点M,N,若在x轴上存在点G,使得|GM|=|GN|,求点G的横坐标的取值范围.解(1)由已知得ca=13,122cb=2
25、2,c2=a2-b2,解得a2=9,b2=8,c2=1,故椭圆C的方程为x29+y28=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为E(x0,y0),点G(m,0),使得|GM|=|GN|,则GEMN.由y=kx+2,x29+y28=1,消y得(8+9k2)x2+36kx-36=0,由0,得kR.x1+x2=-36k9k2+8,x0=-18k9k2+8,y0=kx0+2=169k2+8.GEMN,kGE=-1k,即169k2+8-0-18k9k2+8-m=-1k,m=-2k9k2+8=-29k+8k.当k0时,9k+8k298=122当且仅当9k=8k,即k=223时,取等号,-212m0;当k0时,9k+8k-122当且仅当9k=8k,即k=-223时,取等号,0m212,点G的横坐标的取值范围为-212,00,212.
