1、6.2 等差数列 探考情 悟真题【考情探究】考点 内容解读 5 年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 等差数列的有关概念及运算 1.理解等差数列的有关概念.2.掌握等差数列的通项公式.3.掌握等差数列的前 n 项和公式.4.了解等差数列与一次函数之间的关系.2016 浙江,6,5 分 等差数列的有关概念 三角形面积 2015 浙江,3,5 分 等差数列的通项公式、前 n 项和 等比数列 等差数列的性质及应用 能利用等差数列的性质解决有关问题.2017 浙江,6,4 分 等差数列的前 n 项和 充分条件与 必要条件的判定 分析解读 1.等差数列知识属于常考内容.2.考查等差数列定义、性质、
2、通项公式、前 n 项和公式等知识.3.灵活运用通项公式、前 n 项和公式处理最值问题、存在性问题是高考的热点.4.以数列为背景,考查学生归纳、类比的能力.5.预计 2021 年高考试题中,等差数列的有关概念、性质、通项公式、前 n 项和公式的考查必不可少.复习时要足够重视.破考点 练考向【考点集训】考点一 等差数列的有关概念及运算 1.(2020 届浙江镇海中学期中,3)已知 Sn是等差数列an的前 n 项和,且 S2=4,S4=18,则 S6等于()A.50 B.42 C.38 D.36 答案 B 2.(2019 浙江台州期末,3)已知公差不为零的等差数列an满足32=a1a4,Sn为数列a
3、n的前 n 项和,则31的值为()A.94 B.-94 C.32 D.-32 答案 A 3.(2019 浙江宁波期末,15)设等差数列an的前 14 项和 a1+a2+a14=77,已知 a1,a11均为正整数,则公差 d=.答案-1 考点二 等差数列的性质及应用 1.(2019 浙江宁波北仑中学模拟(一),2)设等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 a3+a5+a7=15,则 S9=()A.60 B.45 C.36 D.18 答案 B 2.(2018 浙江温州质量检查,5)已知数列an满足5+1=255,且 a2+a4+a6=9,则 log13(a5+a7+a9)=()A.-3 B.3 C
4、.-13 D.13 答案 A 3.(2020 届浙江慈溪期中,11)设等差数列an的前 n 项和为 Sn(nN*),若 a1=3,a5=-11,则 a3=,S5=.答案-4;-20 炼技法 提能力【方法集训】方法 1 等差数列中“基本量法”解题的方法 1.(2019 浙江学军中学期中,2)在等差数列an中,如果 a1=2,a2=5,那么 a11等于()A.34 B.32 C.30 D.28 答案 B 2.(2020 届浙江师大附中 11 月模拟,15)设an是公差不为 0 的等差数列,42+52=62+72,则an的前 10 项和为 .答案 0 3.(2020 届浙江绍兴一中期中,11)现有一
5、根 7 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共4 升,则公差为 ,这 7 节竹子中最小容积为 .答案 16;12 升 4.(2019 浙江高考数学仿真卷(一),11)孙子算经是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五等诸侯,共分橘子六十颗,人别加三颗.问:五人各得几何?”其意思为“有 5 个人分 60 个橘子,他们分得橘子的个数成公差为 3 的等差数列,问 5 人各得多少橘子?”这个问题中,得到橘子最多的人所得的橘子个数是 ,得到橘子最少的人所得的橘子个数是 .答案 18;6 方法 2 等差数列的判定方法 1.(2018 浙江金丽衢十二校
6、联考,22)有一列数 a0,a1,a2,a3,对任意的 m,nN,mn,满足 2am+2an-2n=am+n+am-n,且已知 a1=2.(1)求 a0,a2,a3;(2)证明:对一切 nN*,数列an+1-an为等差数列;(3)若对一切 nN*,11+12+1恒成立,求 的最小值.解析(1)令 m=n=0,得 a0=0,令 m=n=1,得 a2=6,令 m=2,n=1,得 a3=12.(2)证明:令 n=1,得 2am+4-2=am+1+am-1,即(am+1-am)-(am-am-1)=2.所以数列an+1-an是公差为 2 的等差数列.(3)因为 an+1-an=(a1-a0)+n2=2
7、(n+1),所以 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a1-a0)+a0=2n+2(n-1)+2+0=n(n+1).所以 11+12+1=112+123+1(+1)=1-1+1,要使 1-1+1恒成立,的最小值为 1.2.(2019 浙江金丽衢联考,20)已知数列an,a1=2,a2=6,且满足+1+-1+1=2(n2 且 nN*).(1)求证:an+1-an为等差数列;(2)令 bn=10(+1)-12,设数列bn的前 n 项和为 Sn,求S2n-Sn的最大值.解析(1)证明:由+1+-1+1=2 得 an+1+an-1=2an+2,则(an+1-an)-(an-an-1)=
8、2.又 a2-a1=4,所以an+1-an是首项为 4,公差为 2 的等差数列.(5 分)(2)当 n2 时,由(1)知 an=(an-an-1)+(a2-a1)+a1=2n+4+2=2(+1)2=n(n+1).当 n=1 时,a1=2 满足 an=n(n+1),故 an=n(n+1).(8 分)bn=10(+1)(+1)-12=10-12.Sn=10(1+12+1)-2,S2n=10(1+12+1+1+1+1+2+12)-22.设 Mn=S2n-Sn=10(1+1+1+2+12)-2,(11 分)Mn+1=10(1+2+1+3+12+12+1+12+2)-+12,Mn+1-Mn=10(12+
9、1+12+2-1+1)-12=10(12+1-12+2)-12=10(2+1)(2+2)-12.当 n=1 时,Mn+1-Mn=1034-120,即 M1M2;当 n2 时,Mn+1-MnM3M4,Mn的最大值为 M2,M2=10(13+14)-1=296,即S2n-Sn的最大值为 S4-S2=296.(15 分)方法 3 等差数列的前 n 项和最值的求法 1.(2019 浙江高考信息优化卷(五),13)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,Sn=8n-n2,则 a10=,数列Sn中第 项最大.答案-11;4 2.(2019 浙江金华十校期末,13)记等差数列an的前 n 项和为 Sn,若
10、a10,a2+a2 017=0,则 S2 018=;当 Sn取得最大值时,n=.答案 0;1 009【五年高考】A 组 自主命题浙江卷题组 考点一 等差数列的有关概念及运算 1.(2016 浙江,6,5 分)如图,点列An,Bn分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,AnAn+2,nN*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,BnBn+2,nN*.(PQ 表示点 P 与 Q 不重合)若 dn=|AnBn|,Sn为AnBnBn+1的面积,则()A.Sn是等差数列 B.2是等差数列 C.dn是等差数列 D.2是等差数列 答案 A 2.(2015 浙江,3,5 分)已知an
11、是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 Sn.若 a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d0,dS40 B.a1d0,dS40,dS40 D.a1d0 答案 B 考点二 等差数列的性质及应用 (2017 浙江,6,4 分)已知等差数列an的公差为 d,前 n 项和为 Sn,则“d0”是“S4+S62S5”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C B 组 统一命题、省(区、市)卷题组 考点一 等差数列的有关概念及运算 1.(2019 课标全国理,9,5 分)记 Sn为等差数列an的前 n 项和.已知 S4=0,a5=5,则()A
12、.an=2n-5 B.an=3n-10 C.Sn=2n2-8n D.Sn=12n2-2n 答案 A 2.(2018 课标全国理,4,5 分)记 Sn为等差数列an的前 n 项和.若 3S3=S2+S4,a1=2,则 a5=()A.-12 B.-10 C.10 D.12 答案 B 3.(2017 课标全国理,4,5 分)记 Sn为等差数列an的前 n 项和.若 a4+a5=24,S6=48,则an的公差为()A.1 B.2 C.4 D.8 答案 C 4.(2017 课标全国理,9,5 分)等差数列an的首项为 1,公差不为 0.若 a2,a3,a6成等比数列,则an前 6 项的和为()A.-24
13、 B.-3 C.3 D.8 答案 A 5.(2016 课标全国,3,5 分)已知等差数列an前 9 项的和为 27,a10=8,则 a100=()A.100 B.99 C.98 D.97 答案 C 6.(2019 课标全国文,14,5 分)记 Sn为等差数列an的前 n 项和.若 a3=5,a7=13,则 S10=.答案 100 7.(2019 北京理,10,5 分)设等差数列an的前 n 项和为 Sn.若 a2=-3,S5=-10,则 a5=,Sn的最小值为 .答案 0;-10 8.(2019 课标全国理,14,5 分)记 Sn为等差数列an的前 n 项和,若 a10,a2=3a1,则105
14、=.答案 4 9.(2019 江苏,8,5 分)已知数列an(nN*)是等差数列,Sn是其前 n 项和.若 a2a5+a8=0,S9=27,则 S8的值是 .答案 16 10.(2018 北京理,9,5 分)设an是等差数列,且 a1=3,a2+a5=36,则an的通项公式为 .答案 an=6n-3 11.(2017 课标全国理,15,5 分)等差数列an的前 n 项和为 Sn,a3=3,S4=10,则=11=.答案 2+1 12.(2019 课标全国文,18,12 分)记 Sn为等差数列an的前 n 项和.已知 S9=-a5.(1)若 a3=4,求an的通项公式;(2)若 a10,求使得 S
15、nan的 n 的取值范围.解析 本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式;考查学生对数列基础知识的掌握程度和应用能力,主要考查数学运算的核心素养.(1)设an的公差为 d.由 S9=-a5得 a1+4d=0.由 a3=4 得 a1+2d=4.于是 a1=8,d=-2.因此an的通项公式为 an=10-2n.(2)由(1)得 a1=-4d,故 an=(n-5)d,Sn=(-9)2.由 a10 知 d0,则 a2+a30 B.若 a1+a30,则 a1+a20 C.若 0a113 D.若 a10 答案 C 2.(2015 重庆,2,5 分)在等差数列an中,若 a2=4,a4=2,则 a6=(
16、)A.-1 B.0 C.1 D.6 答案 B 3.(2015 广东,10,5 分)在等差数列an中,若 a3+a4+a5+a6+a7=25,则 a2+a8=.答案 10 4.(2019 北京文,16,13 分)设an是等差数列,a1=-10,且 a2+10,a3+8,a4+6 成等比数列.(1)求an的通项公式;(2)记an的前 n 项和为 Sn,求 Sn的最小值.解析 本题属等差、等比数列的综合运用,重在考查等差、等比数列的基础知识、基本运算,考查的学科素养为数学抽象与数学运算.(1)设an的公差为 d.因为 a1=-10,所以 a2=-10+d,a3=-10+2d,a4=-10+3d.因为
17、 a2+10,a3+8,a4+6 成等比数列,所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6).所以(-2+2d)2=d(-4+3d).解得 d=2.所以 an=a1+(n-1)d=2n-12.(2)由(1)知,an=2n-12.所以,当 n7 时,an0;当 n6 时,an0.所以,Sn的最小值为 S6=-30.C 组 教师专用题组 1.(2016 江苏,8,5 分)已知an是等差数列,Sn是其前 n 项和.若 a1+22=-3,S5=10,则 a9的值是 .答案 20 2.(2016 北京,12,5 分)已知an为等差数列,Sn为其前 n 项和.若 a1=6,a3+a5=0,则 S6=.答案
18、 6 3.(2015 安徽,13,5 分)已知数列an中,a1=1,an=an-1+12(n2),则数列an的前 9 项和等于 .答案 27 4.(2018 北京文,15,13 分)设an是等差数列,且 a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.(1)求an的通项公式;(2)求e1+e2+e.解析(1)设an的公差为 d.因为 a2+a3=5ln 2,所以 2a1+3d=5ln 2.又 a1=ln 2,所以 d=ln 2.所以 an=a1+(n-1)d=nln 2.(2)因为e1=eln 2=2,ee-1=e-1=eln 2=2,所以e是首项为 2,公比为 2 的等比数列.所以e1+e2+e=2
19、1212=2(2n-1).5.(2017 课标全国,17,12 分)记 Sn为等比数列an的前 n 项和.已知 S2=2,S3=-6.(1)求an的通项公式;(2)求 Sn,并判断 Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.解析 本题考查等差、等比数列.(1)设an的公比为 q,由题设可得 1(1+q)=2,1(1+q+2)=-6.解得 q=-2,a1=-2.故an的通项公式为 an=(-2)n.(2)由(1)可得 Sn=1(1-)1=-23+(-1)n2+13.由于 Sn+2+Sn+1=-43+(-1)n2+3-2+23=2-23+(1)2+13=2Sn,故 Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列
20、.方法总结 等差、等比数列的常用公式:(1)等差数列:递推关系式:an+1-an=d,常用于等差数列的证明.通项公式:an=a1+(n-1)d.前 n 项和公式:Sn=(1+)n2=na1+(-1)2d.(2)等比数列:递推关系式:+1=q(q0),常用于等比数列的证明.通项公式:an=a1qn-1.前 n 项和公式:Sn=1(q=1),1(1-)1(q 1).(3)在证明 a,b,c 成等差或等比数列时,还可以利用等差中项:+2=b 或等比中项:ac=b2来证明.6.(2016 山东,18,12 分)已知数列an的前 n 项和 Sn=3n2+8n,bn是等差数列,且 an=bn+bn+1.(
21、1)求数列bn的通项公式;(2)令 cn=(+1)+1(+2),求数列cn的前 n 项和 Tn.解析(1)由题意知,当 n2 时,an=Sn-Sn-1=6n+5.当 n=1 时,a1=S1=11,所以 an=6n+5.设数列bn的公差为 d.由1=1+2,2=2+3,即11=21+d,17=21+3d,可解得 b1=4,d=3.所以 bn=3n+1.(2)由(1)知 cn=(6+6)+1(3+3)=3(n+1)2n+1.又由 Tn=c1+c2+cn,得 Tn=3222+323+(n+1)2n+1,2Tn=3223+324+(n+1)2n+2,两式作差,得-Tn=3222+23+24+2n+1-
22、(n+1)2n+2=34+4(12)12-(n+1)2+2=-3n2n+2.所以 Tn=3n2n+2.方法总结 若某数列的通项是等差数列与等比数列的通项的积或商,则该数列的前 n 项和可以采用错位相减法求解,注意相减后的项数容易出错.7.(2015 福建,17,12 分)等差数列an中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列an的通项公式;(2)设 bn=2-2+n,求 b1+b2+b3+b10的值.解析(1)设等差数列an的公差为 d.由已知得1+d=4,(1+3d)+(1+6d)=15,解得1=3,=1.所以 an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得 bn=2n+n.所以 b
23、1+b2+b3+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+(210+10)=(2+22+23+210)+(1+2+3+10)=2(1210)12+(1+10)102=(211-2)+55=211+53=2 101.评析本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识,考查运算求解能力.【三年模拟】一、选择题(每小题 4 分,共 8 分)1.(命题标准样题,4)记 Sn为等差数列an的前 n 项和.若 S5=2S4,a1=2,则 a6=()A.-15 B.-13 C.13 D.15 答案 B 2.(2018 浙江“七彩阳光”联盟期中,5)已知等差数列an,Sn表示前 n 项的和,a5+a
24、110,a6+a90,则满足 Sn0,a50,数列的前 n 项和为 Sn,则54的取值范围是 .答案(56,1)5.(2020 届浙江名校协作体开学联考,15)已知数列an为等差数列,公差为 d(d0),且满足 a3a4+2a4a6+a5a12=2 019d,则 15-16=.答案 42 019 三、解答题(共 60 分)6.(2020 届浙江之江教育联盟联考,20)已知各项均为正数的数列an的前 n 项和为 Sn,且 4Sn=2+2an.(1)求数列an的前 n 项和 Sn;(2)求证:2+n2 1+2+3+2+2n2.解析 本题考查等差数列的有关概念、数列的前 n 项和以及不等式的证明;考
25、查学生推理论证的能力;考查数学运算和逻辑推理的核心素养.(1)当 n=1 时,由 4a1=12+2a1得 a1=2,当 n2 时,由 4an=4Sn-4Sn-1=(2-12)+2(an-an-1),得 an-an-1=2.所以数列an是以 2 为首项,2 为公差的等差数列,故 an=2n,所以 Sn=n(n+1).(2)证法一:由(1)知=(+1),又 n(+1)n+12,所以 1+2+3+n1+2+3+1+2+3+n+12n,故2+n2 1+2+3+12+12=1,f(1)12+212=32,不等式成立.假设当 n=k(k2,kN*)时不等式成立,即2+k2 f(k)2+2k2成立,那么当
26、n=k+1 时,f(k+1)=f(k)+(+1)(+2)2+2k2+(+1)(+2)2+k2+(+1)(+2)2+k2+k+1=(+1)2+(k+1)2,即当 n=k+1 时,不等式也成立.由可得对任意的正整数 n,不等式都成立.7.(2019 浙江宁波期末,20)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,由于这些数能够表示成三角形,故将其称为三角形数;类似地,称图 2 中的 1,4,9,16,这样的数为正方形数.某同学模仿先贤用石子摆出了如图 3 所示的图形,图 3 中的 2,5,7,9,这些数能够表示成梯形,将其称为梯形数.(1)请写出
27、梯形数的通项公式 an(不要求证明),并求数列an的前 n 项和 Sn;(2)若 bn=1,数列bn的前 n 项和记为 Tn,求证:Tn1.解析(1)根据观察可归纳得 an=2(=1),2+1(2).n2 时,Sn=2+5+7+2n+1=2+(-1)(5+2+1)2=n2+2n-1.又 S1=a1=2 符合上式,Sn=n2+2n-1.(2)证明:由(1)知 bn=12+2n-1.bn=12+2n-112+n=1-1+1,则 Tn(1 12)+(12-13)+(13-14)+(1-1+1)=1-1+11,即 Tn 32(mZ)对 nN*恒成立,求 m 的最大值.解析 本题考查等差数列的概念;考查
28、学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.(1)当 n2 时,an=Sn-Sn-1=nan-2n2+2n-(n-1)an-1-2(n-1)2+2(n-1),化简得(n-1)(an-an-1-4)=0,即 an-an-1=4,所以数列an是等差数列,其首项为 1,公差为 4,所以 an=4n-3,Sn=(1+4-3)2=2n2-n.(2)由(1)知=2n-1,所以 S1+22+=1+3+2n-1=n2,令 f(n)=n2+2n,可知 f(n)单调递增,f(10)=102+210=1 124,故存在唯一的自然数 n=10 符合要求.(3)由(1)知 cn=2(4+4)=12(1-1+1),所以
29、Tn=12(1 12)+(12-13)+(1-1+1)=12(1 1+1),注意到 Tn=12(1 1+1)单调递增,所以 TnT1=14,所以3214,解得 m8(mZ).所以 m 的最大值为 7.9.(2020 届浙江“七彩阳光”联盟期初联考,20)已知正项数列an的前 n 项和为 Sn,且对一切 nN*,13+23+3=2.求证:(1)对一切 nN*,+12-an+1=2Sn;(2)数列an是等差数列;(3)对一切 nN*,112+222+332+20,所以+12=Sn+1+Sn=2Sn+an+1,所以对一切 nN*,都有+12-an+1=2Sn.(2)由(1)可得2-an=2Sn-1(
30、n2),两式相减得+12-2-an+1+an=2an(n2),即+12-2=an+1+an(n2),因为 an0,所以 an+1-an=1(n2),n=1 时,a1=1;n=2 时,1+23=(1+a2)2,解得 a2=2,满足 an+1-an=1,故对一切 nN*,都有 an+1-an=1,即an是首项为 1,公差为 1 的等差数列.(3)证法一:由(2)知,an=n,当 n2 时,2=1()31-1+1=(1-1-1+1)1+1-1=(1-1-1+1)+1+-12=(1-1-1+1)+1+-121-1-1+1,所以当 n2 时,112+222+332+21+11-13+12-14+1-1-1+1=2+22-1-1+13,又当 n=1 时,112+222+332+23 显然成立,所以对一切 nN*,112+222+332+2(-1)+(-1)(-1),所以 121-1(+-1)=-1-112-1(-1)=1-1-1,从而当 n2 时,1+123+133+131+21-12+12-13+1-1-1=3-23.又当 n=1 时,不等式也成立,所以对一切 nN*,112+222+332+23.