1、单元综合测试(三)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知函数f(x)在区间a，b上单调，且f(a)f(b)0，则函数f(x)的图象与x轴在区间a，b内()A至多有一个交点 B必有唯一一个交点C至少有一个交点 D没有交点【解析】f(a)f(b)0，f(x)在a，b内有零点，又f(x)在区间a，b上单调，所以这样的点只有一个，故选B.【答案】B2若方程f(x)20在(，0)内有解，则yf(x)的图象是()【解析】要使方程f(x)20在(，0)内有解，只需yf(x)与直线y2在(，0)上有交点，故D
2、正确故选D.【答案】D3已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是()【解析】由二分法的定义与原理知A选项正确【答案】A4函数f(x)的零点个数为()A1个 B2个 C3个 D4个【解析】函数f(x)的零点个数即为f(x)0的根的个数，f(x)0，即(x1)ln(x)0，x10或ln(x)0，x1或x1，解得x0，函数f(x)的定义域为x|x0，x1，即方程f(x)0只有一个根，函数f(x)的零点个数为1个故选A.【答案】A5甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图1所示，则下列说法正确的是 ()图1A甲比乙先出发B乙比甲跑的路程多C甲、乙两人的速度相
3、同D甲比乙先到达终点【解析】由题图可知，甲到达终点用时短，故选D.【答案】D6拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)1.06(0.50m1)给出，其中m0，m是大于或等于m的最小整数(例如2.723，3.84，3.14)，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为多少元()A3.71 B3.97 C4.24 D4.77【解析】由m是大于或等于m的最小整数，可得5.56，所以f(5.5)1.06(0.5061)1.0644.24.故选C.【答案】C7函数f(x)3xx2的零点所在的一个区间是()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)【解析】由已知可知，函数f(x)3xx2单
4、调递增且连续，f(2)0，f(0)f(1)0，由函数的零点判定定理可知，函数f(x)3xx2的一个零点所在的区间是(0,1)，故选C.【答案】C8函数f(x)的零点个数为()A0 B1 C2 D3【解析】当x0时，令x22x30，得x3；当x0时，令2ln x0，得xe2，所以函数有两个零点故选C.【答案】C9函数f(x)|x|k有两个零点，则()Ak0 Bk0C0k1 Dk0【解析】在同一平面直角坐标系中画出y1|x|和y2k的图象，如图所示若f(x)有两个零点，则必有k0，即k0.【答案】D10已知f(x)(xa)(xb)2，并且，是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，的大小关系可能是(
5、)Aab BabCab Dab【解析】，是函数f(x)的两个零点，f()f()0.又f(a)f(b)20，结合二次函数的图象(如图所示)可知a，b必在，之间故选C.【答案】C11已知函数f(x)xlog2x，若实数x0是函数f(x)的零点，且0x10，而0x10.【答案】A12某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是：P，Q(a0)；若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a的最小值应为()A.B5CD【解析】设投放x万元经销甲商品，则经销乙商品投放
6、(20x)万元，总利润yPQ，令y5，则5.a10，即a对0x20恒成立，而f(x)的最大值为，且x20时，a10也成立，amin.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13如果函数f(x)x2mxm3的一个零点为0，则另一个零点是_【解析】函数f(x)x2mxm3的一个零点为0，则f(0)0，m30，m3，则f(x)x23x，于是另一个零点是3.【答案】314用二分法求方程ln x2x0在区间1,2上零点的近似值，先取区间中点c，则下一个含根的区间是_【解析】令f(x)ln x2x，则f(1)ln 1210，fln 2ln ln ln ln ln
7、 ln 10，ff(2)0，下一个含根的区间是.【答案】15将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个若每个涨价1元，则日销售量减少10个为获得最大利润，则此商品日销售价应定为每个_元【解析】设每个涨价x元，则实际销售价为10x元，销售的个数为10010x，则利润为y(10x)(10010x)8(10010x)10(x4)2360(0x0，且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_.【解析】2a3b4，f(2)loga22b12b3b13b4b0.即f(2)f(3)1时，判断函数f(x)在区间(0，m)内是否存在零点【解】f(x)exmx，所以f
8、(0)em0em0，f(m)e0m1m.又m1，所以f(m)0，所以f(0)f(m)1)在区间(0，m)内存在零点18(本小题满分12分)定义在R上的偶函数yf(x)在(，0上递增，函数f(x)的一个零点为，求满足f(logx)0的x的取值集合. 【导学号：97030149】【解】是函数的一个零点，f0.yf(x)是偶函数且在(，0上递增，当logx0，解得x1，当logx，解得x2，所以1x2.由对称性可知，当logx0时，x1.综上所述，x的取值范围是.19(本小题满分12分)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2，单位是m/
9、s，其中Q表示燕子的耗氧量(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？【解】(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v0，代入题给公式可得：05log2，解得Q10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位(2)将耗氧量Q80代入题给公式得：v5log25log2815(m/s)即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.20(本小题满分12分)设f(x)ax2(b8)xaab的两个零点分别是3,2.(1)求f(x)；(2)当函数f(x)的定义域为0,1时，求其值域【解】(1)因为f(x)的两个零点分别是3,2，所以即解得a3，b
10、5，f(x)3x23x18.(2)由(1)知f(x)3x23x18的对称轴x，函数开口向下，所以f(x)在0,1上为减函数，f(x)的最大值f(0)18，最小值f(1)12，所以值域为12,1821(本小题满分12分)如图2，直角梯形OABC位于直线xt右侧的图形的面积为f(t)图2(1)试求函数f(t)的解析式；(2)画出函数yf(t)的图象. 【导学号：97030150】【解】(1)当0t2时，f(t)S梯形OABCSODEtt8t2，当20，且a1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)loga(xk)的图象是()【解析】由f(x)(k1)axax(a0，且a1)在R上既是奇函数，又是
11、减函数，所以k2,0a1，再由对数的图象可知A正确【答案】A10已知函数f(x)，则有()Af(x)是奇函数，且ff(x)Bf(x)是奇函数，且ff(x)Cf(x)是偶函数，且ff(x)Df(x)是偶函数，且ff(x)【解析】f(x)f(x)，f(x)是偶函数，排除A，B.又ff(x)，故选C.【答案】C11在y2x，ylog2x，yx2这三个函数中，当0x1x21时，使f恒成立的函数的个数是()A0个 B1个 C2个 D3个【解析】在0x1x21时，y2x使f恒成立，ylog2x使f恒成立，yx2使f恒成立故选B.【答案】B12若f(x)是奇函数，且在(0，)上是增函数，又f(3)0，则(x
12、1)f(x)0的解是()A(3,0)(1，)B(3,0)(0,3)C(，3)(3，)D(3,0)(1,3)【解析】f(x)是R上的奇函数，且在(0，)内是增函数，f(x)在(，0)内也是增函数又f(3)0，f(3)0，当x(，3)(0,3)时，f(x)0；当x(3,0)(3，)时，f(x)0.(x1)f(x)0，或解得3x0或1x3，不等式的解集是(3,0)(1,3)，故选D.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13当a0且a1时，函数f(x)ax23必过定点_【解析】因为a01，故f(2)a032，所以函数f(x)ax23必过定点(2，2)【答
13、案】(2，2)14设A1,11,1，则满足条件的集合A共有_个【解析】A1,11,1，A1,1，满足条件的集合A为：，1，1，1,1，共4个【答案】415设f(x)是R上的奇函数，且当x0，)时，f(x)x(1)，则f(1)_.【解析】由题意知f(1)f(1)1(1)2.【答案】216下列命题：偶函数的图象一定与y轴相交；定义在R上的奇函数f(x)必满足f(0)0；f(x)(2x1)22(2x1)既不是奇函数也不是偶函数；AR，BR，f：xy，则f为A到B的映射；f(x)在(，0)(0，)上是减函数其中真命题的序号是_(把你认为正确的命题的序号都填上)【解析】不正确，如ylg|x|，其在原点处
14、无定义，其图象不可能与y轴相交；正确，f(x)f(x)，f(0)f(0)f(0)，f(0)0；不正确，f(x)(2x1)22(2x1)4x23，且f(x)f(x)，f(x)为偶函数；不正确，当x1时，在B中没有元素与之对应；不正确，只能说f(x)在(，0)及(0，)上是减函数【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)计算下列各式的值：(1)1.5080.25；(2)lg lg lg 10lg 3.【解】(1)原式2.(2)原式(lg 25lg 72)lg (725)10lg 3lg 2lg 72lg 2lg 7lg 53lg 2
15、lg 53(lg 2lg 5)3.18(本小题满分12分)已知集合Ax|(a1)x23x20，Bx|x23x20(1)若A，求实数a的取值范围；(2)若ABA，求实数a的取值范围【解】(1)当a1时，A，合题意；当a1时，由98(a1)0，得a且a1.综上所述，a的范围为a.(2)由ABA，得AB.当A时，a，显然合题意；当A时，得到B中方程的解1和2为A的元素，即A1,2，把x1代入A中方程，得a0.综上所述，a的范围为.19(本小题满分12分)已知函数f(x)1.(1)若g(x)f(x)a为奇函数，求a的值；(2)试判断f(x)在(0，)内的单调性，并用定义证明【解】(1)由已知得g(x)
16、1a，g(x)是奇函数，g(x)g(x)，即1a，解得a1.(2)函数f(x)在(0，)内是单调增函数证明如下：任取x1，x2(0，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)1.0x1x2，x1x20，x1x20，从而0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在(0，)内是单调增函数20(本小题满分12分)已知函数f(x)x22mxm24m2.(1)若函数f(x)在区间0,1上是单调递减函数，求实数m的取值范围；(2)若函数f(x)在区间0,1上有最小值3，求实数m的值【解】f(x)(xm)24m2.(1)由f(x)在区间0,1上是单调递减函数得m1.(2)当m0时，f(x)minf(0)m24m23
17、，解得m2或m2.当0m1时，f(x)minf(m)4m23，解得m(舍)当m1时，f(x)minf(1)m22m13，无解综上可知，实数m的值是2.21(本小题满分12分)已知函数f(x)loga(2x1)，g(x)loga(12x)(a0且a1)，(1)求函数F(x)f(x)g(x)的定义域；(2)判断F(x)f(x)g(x)的奇偶性，并说明理由；(3)确定x为何值时，有f(x)g(x)0.【解】(1)要使函数有意义，则有解得x.函数F(x)的定义域为.(2)F(x)f(x)g(x)loga(2x1)loga(12x)，F(x)f(x)g(x)loga(2x1)loga(12x)F(x)F
18、(x)为奇函数(3)f(x)g(x)0，loga(2x1)loga(12x)0，即loga(2x1)loga(12x)当0a1时，有02x112x，x12x0，0x.综上所述，当0a1时，有x，使得f(x)g(x)0；当a1时，有x，使得f(x)g(x)0.21(本小题满分12分)甲乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲，乙两图：甲乙图1甲调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第1年1万条鳗鱼上升到第6年2万条乙调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第1年30个减少到第6年10个请你根据提供的信息说明：(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗
19、鱼总数；(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模比第1年扩大了还是缩小了？说明理由；(3)哪一年的规模(即总产量)最大？说明理由【解】由题意可知，图甲图象经过(1,1)和(6,2)两点，从而求得其解析式为y甲0.2x0.8，图乙图象经过(1,30)和(6,10)两点，从而求得其解析式为y乙4x34.(1)当x2时，y甲0.220.81.2，y乙423426，y甲y乙1.22631.2.所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万条(2)第1年出产鳗鱼13030(万条)，第6年出产鳗鱼21020(万条)，可见第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了(3)设第m年的规模最大，总出产量为n，那么ny甲y乙(0.2m0.8)(4m34)0.8m23.6m27.20.8(m24.5m34)0.8(m2.25)231.25，因此，当m2时，n最大值为31.2.即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万条