1、第三节函数的单调性与导数(对应学生用书第349页) 选题明细表知识点、方法题号导数与单调性关系1,12求单调区间2,8,10由单调性求参数3,9,11单调性的应用4,5,6,7,13,14一、选择题1.设f(x)是函数f(x)的导数,y=f(x)图象如图,则函数f(x)的单调递减区间是(D)(A)(1,+)(B)(1,2)(C)(-1,2)(D)(-,-1),(2,+)解析:由题图知,x(-,-1),x(2,+)时,f(x)0,所以y=ex+x在R上为单调递增函数,所以在(-1,1)上是增函数;B选项中(-1,1)-,而y=sin x在-,上为增函数,所以y=sin x在(-1,1)上是增函数
2、;C选项y=3x2-12x+9,令y=3x2-12x+90得x3或x1,所以y=x3-6x2+9x+2在(-,1)和(3,+)为增函数,而(-1,1)(-,1),所以y=x3-6x2+9x+2在(-1,1)上增函数;D选项y=x2+x+1在-,+上为增函数,在-,-上为减函数,故选D.3.若f(x)=-(x-2)2+bln x在(1,+)上是减函数,则b的取值范围是(C)(A)-1,+)(B)(-1,+)(C)(-,-1(D)(-,-1)解析:由题意可知f(x)=-(x-2)+0,在x(1,+)上恒成立,即bx(x-2)在x(1,+)上恒成立,由于(x)=x(x-2)=x2-2x在(1,+)上
3、的值域是(-1,+),故只要b-1即可.故选C.4.已知函数f(x)=x3-x2-x,则f(-a2)与f(-1)的大小关系为(A)(A)f(-a2)f(-1)(B)f(-a2)f(-1)(C)f(-a2)f(-1)(D)f(-a2)与f(-1)的大小关系不确定解析:由题意可得f(x)=x2-2x-,令f(x)=(3x-7)(x+1)=0,得x=-1或x=.当x0,f(x)为增函数;当-1x时,f(x)0,f(x)为减函数.所以f(-1)是函数f(x)在(-,0上的最大值,又因为-a20,所以f(-a2)f(-1).故选A.5.直线y=a分别与直线y=2x+2,曲线y=x+ln x交于点A,B,
4、则|AB|的最小值为(D)(A)3(B)2(C)(D)解析:设A(x1,a),B(x2,a),则2(x1+1)=x2+ln x2,所以x1=(x2+ln x2)-1,所以|AB|=x2-x1=(x2-ln x2)+1,令y=(x-ln x)+1,则y=1-,所以函数在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以x=1时,函数的最小值为,即|AB|的最小值为.故选D.6.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f(x),满足f(x)f(x),且f(x+2)为偶函数,f(4)=1,则不等式 f(x)ex的解集为(B)(A)(-,0)(B)(0,+)(C)(-,e4)(D)(e4,+)解析:
5、由题意构造函数g(x)=(xR),则g(x)=,因为定义R在上的可导函数f(x)的导函数为f(x),满足f(x)f(x),所以g(x)0在R上恒成立,函数g(x)=在R上为单调递减函数;又因为f(x+2)为偶函数,则函数f(2-x)=f(2+x) ,即f(x)关于x=2对称,所以f(0)=f(4)=1 ,则g(0)=1,由于不等式f(x)ex的解集等价于g(x)=1的解集,根据函数g(x)=在R上为单调递减函数,则g(x)1g(x)0,所以f(x)ex的解集为(0,+).故选B.7.已知在R上可导的函数f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)f(x)0的解集为(B )(A)(-2,0)(B)(
6、-,-2)(-1,0)(C)(-,-2)(0,+)(D)(-2,-1)(0,+)解析:由在R上可导的函数f(x)的图象可知:当x0时,f(x)递增,f(x)0,当-1x0时,f(x)递减,f(x)0;且当x-2时,f(x)-2时,且x0时,f(x)0,从而可得不等式f(x)f(x)0,得x2或x0,所以函数f(x)的单调递增区间是(-,0)和(2,+).答案:-3(-,0)和(2,+)9.设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是.解析:若函数f(x)=ex+ae-x为奇函数,则f(-x)=-f(x),e-x+aex=-(
7、ex+ae-x),(a+1)(ex+e-x)=0对任意的x恒成立.所以a=-1.若函数f(x)=ex+ae-x是R上的增函数,则f(x)=ex-ae-x0恒成立,ae2x,a0.即实数a的取值范围是(-,0.答案:-1(-,010.已知函数f(x)=xex-m,则f(x)的单调递减区间是;若f(x)有两个不同的零点,则实数m的取值范围是.解析:f(x)=(x+1)ex,令(x+1)ex0,所以x-1.故f(x)的单调递减区间为(-,-1);若函数f(x)有两个不同零点,则f(x)的单调递减区间为(-,-1),增区间为(-1,+).所以f(-1)=-m-,又当x+时,f(x)0,f(x)在(-1
8、,+)上有唯一零点,当x-时,xex0,要使f(x)在(-,-1)内有一个零点,必需且只需-m0,即m0.所以-m0.答案:(-,-1)-,011.函数f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,则a的取值范围是.解析:f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,即函数f(x)恰有两个极值点,即f(x)=0有两个不等实根.因为f(x)=ax3+x,所以f(x)=3ax2+1.要使f(x)=0有两个不等实根,则a0.答案:(-,0)12.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)0可确定f(x)g(x)0,进而可得到f(x)g(x)在x0时也是增
9、函数.于是构造函数F(x)=f(x)g(x)知F(x)在R上为奇函数且为单调递增的,又因为g(-3)=0,所以F(-3)=F(3)=0,所以F(x)0).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:f(x)(x0).(1)解:已知函数f(x)=(x0),导函数为f(x)=.令h(x)=ex-x-1,h(x)=ex-1,当x0时,h(x)=ex-10时,h(x)=ex-10,所以h(x)min=h(0)=0,即exx+1,当且仅当x=0时等号成立.由已知x0,得exx+1,0,所以f(x)(x0)等价于e-x+x-10),令g(x)=e-x+x-1,x0,g(x)=-e-x+x-=-+1,由(1
10、)题,易得-+1,所以,g(x)0时,有g(x)g(0)=0,即e-x+x-10),故f(x)(x0).14.已知函数f(x)=ln x-mx+m,mR(1) 求函数f(x)的单调性.(2)若函数f(x)0在x(0,+)上恒成立,求实数m的值.解:(1)f(x)=-m=(x0) 当m0时,f(x)0,则函数f(x)在(0,+)上单调递增;当m0时,由f(x)0得1-mx0,解得0x ,由f(x)0得1-mx,所以f(x)在0,上单调递增;在,+上单调递减.(2)由题意,得函数f(x)0在x(0,+)上恒成立等价于在x(0,+)上f(x)max0 由(1)知当m0时显然不成立,当m0时, f(x)max=f=ln -1+m=m-ln m-1,只需m-ln m-10即可.令g(x)=x-ln x-1,则g(x)=1-(x0),由g(x)0解得x1,由g(x)0解得0x1,所以g(x)在(1,+)上单调递增;在(0,1)上单调递减,所以g(x)min=g(1)=0所以若函数f(x)0在x(0,+)上恒成立,则m=1.
