1、成都七中高2012级高考适应性考试数学（理科）试题时间:120分钟 满分:150分第卷（选择题，共60分）一、选择题：每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求（1）已知全集，集合和的关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（A）3个 （B）2个（C）1个 （D）0个 （2）圆上点到直线的最短距离为（A）（B）（C）（D）（3）已知数列的满足：，若，则（A）（B） （C） （D）（4）已知实数满足，则的最大值为 （A） （B） （C） （D）（5）函数在区间的值域为，则实数的取值范围为（A） （B） （C） （D）（6）把的图象经过某种平移得到的图象，则平移方式
2、可为（A）按平移（B）按平移（C）先向右平移个单位再向上平移个单位（D）先向左平移个单位再向下平移个单位（7）设,（为虚数单位）,则 （A） （B） （C）或 （D）不存在（8）若，则“”是“”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（9）用边长为6分米的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转，再焊接而成（如图）。设水箱底面边长为分米，则（A）水箱容积最大为立方分米 （B）水箱容积最大为立方分米 （C）当在时，水箱容积随增大而增大（D）当在时，水箱容积随增大而减小（10）在中，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为
3、（A） （B） （C） （D）（11）将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有两个房间无人选择且这两个房间不相邻的安排方式的总数为（A） （B） （C） （D）1440（12）已知球的表面积为，球心在大小为的二面角的内部，且平面与球相切与点，平面截球所得的小圆的半径为，若点为圆上任意一点，记两点在该球面上的球面距离为，则下列结论正确的是（A）当取得最小值时，与所成角为（B）当取得最小值时，点到平面的距离为（C）的最大值为（D）的最大值为第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分答案填在答
4、题卡上（13）的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第2项为_（14）抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则该双曲线的虚轴长等于_（15）已知二面角为，为线段的中点，则直线与平面所成角的大小为_（16）下图展示了一个由区间到实数集的变换过程：区间中的实数对应数轴上的点（如图1），将线段围成一个正方形，使两端点恰好重合（如图2），再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在轴上，点的坐标为（如图3），若图3中直线与轴交于点，则点的变换结果就是点，记作.现给出以下命题： ；的图象的对称中心为； 为偶函数；关于的不等式的解集为；若数列，则为等比数列 其中所有正确命题的番号应是 三、
5、解答题:本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分）已知向量，函数 （）求函数的最小正周期； （）在中，分别是角的对边，且，且，求的值ABCDEGF（18）（本小题满分12分）如图，正方形、直角梯形、直角梯形所在平面两两垂直，且，. （）求证：四点共面； （）求二面角的大小； （19）（本小题满分12分）某商场准备在伦敦奥运会期间举行促销活动根据市场行情，该商场决定从3种品牌的服装类商品、2种品牌的家电类商品、4种品牌的日用类商品中，任选出3种商品进行促销活动（）求选出的3种商品中至少有一种是日用类商品的概率； （）商场对选出的家电类商品采用的促销
6、方案是有奖销售，即在该类商品成本价的基础上每件提高180元作为售价销售给顾客，同时给该顾客3次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金假设该顾客每次抽奖时获奖的概率都是，每次中奖与否互不影响，且每次获奖时的奖金数额都为元，求顾客购买一件此类商品时中奖奖金总额的分布列和数学期望，并以此测算至多为多少时，此促销方案使商场不会亏本？20（本小题满分12分）已知函数，数列满足（）若，求数列的前项和；（）记，数列的前项和为，对于给定的正整数，如果恒为定值（与的变化无关），求的值（21）（本小题满分12分）已知是圆上的动点，点，线段的垂直平分线与半径交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线.（）求曲线的
7、方程；（）已知点，在曲线上，且（，是坐标原点）. 求直线的斜率； 求证：当的面积取得最大值时，恰好为的重心.（22）（本小题满分14分）设函数其中为自然对数的底数，.()当时，求函数的最小值；()证明：对任意正数，都有；()若，证明：.成都七中高2012级高考适应性考试数学（理科）参考答案一、选择题：（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案BDCAABBCCBAD（9）解：设箱底边长为，则箱高，则，解得（舍），时，单增，故选C（10）解：由题知，设，由余弦定理，由双曲线的定义有，故选B（11）解：第一步先将5人分成3组，再全排，有种，第二步，另两个空房间插空，有种，总共有
8、=900种，故选A（12）解：球半径,小圆的半径为，,当取得最小值时 ,与所成角为,故A错；点到平面的距离为2，故B错当取得最大值时, 的最大值为,故选D.二、填空题：（每小题4分，共16分）（13）；（14）；（15）；(16)（15）（参见高二下B P57,6题第3小题）（16) 故选三、解答题：（本大题共6小题，共74分）(17) 解：（） 4分 函数的最小周期 6分 （）， 是三角形内角， 8分， 10分将可得：，解得：,， 12分ABCDEGFM（18）（）证明：由正方形、直角梯形、直角梯形所在平面两两垂直，易证：AD、DE、DG两两垂直，建立如图的坐标系，则A（0，0，2），B（2
9、，0，2），C（0，1，2），E（2，0，0），G（0，2，0），F（2，1，0），即四边形BCGF是平行四边形.故四点B、C、F、G共面. 4分也可用几何法：取DG的中点M,连结FM,BF，证即可（），设平面BCGF的法向量为,则则，设平面DBC的法向量；且,则则 ，故二面角 12分（19）解：（I）设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A，则（法一）（法二）即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为 5分答：选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为（II）设顾客抽奖的中奖中奖奖金总额为，则=，于是， ， 顾客中奖次数的数学期望10分设商场将每次中奖的奖金数额定为元，则180，
10、解得x120，即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使商场不亏本12分答：该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使商场不亏本（20）解：（），为等比数列，公比， 3分 ， 得， . 6分（），且， 数列是首项为2，公比为的等比数列， ，是首项为，公差为的等差数列 10分 ， 又恒为定值（即与的变化无关），解得 12分（21）解：（）由题意， 由椭圆的定义知，的轨迹是以为焦点，半长轴为2，半焦距为1的椭圆，曲线的方程为 4分（）设，由得由 ,两式相减得 6分设的直线方程为，联立,到直线的距离 8分求最值的方法一： ，用导数法 (此处略)可得 11分方法二： 当且仅当，即
11、时取等号 11分由韦达定理得：,.故是的重心. 12分（22）解：解：()时， 则；令得 当时，在是减函数； 当时，在是增函数； 在时取得最小值，即 4分() ，不妨设（其中），则原式=， 8分()证法一：数学归纳法当时，由()知命题结论成立；假设当时命题成立； 即若，则当时，满足设由()得=即时命题成立.；由可知，.证法二：若由()可得=.14分附：理科备选题22.已知函数（）求证：对任意的；（）证明：；（）求证：对任意的.22.解（）只需证明的最大值为0即可，令，得，当时，当时是唯一的极大值点，故,，从而 4分（）由（）当时，即 令 得 由上面个不等式相加得 9分（）由（）当时 ，即 14分21.（本题满分14分）已知函数（1）求函数的图像在点处的切线方程；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；（3）当时，证明22.（1）解：因为，所以，函数的图像在点处的切线方程； 3分（2）由（1）知，所以对任意恒成立，对任意恒成立令，则，令，则，在上单调递增因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足 5分当，即，当，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增所以所以故整数的最大值是3 8分