1、各地解析分类汇编（二）系列:推理与证明1.【山东省诸城市2013届高三12月月考理】如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n(nl，nN*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则+=A B C D【答案】B【解析】由图案的点数可知，所以，所以，所以+，选B.2.【天津市新华中学2013届高三第三次月考理】已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 不存在【答案】A【解析】因为，所以，即，解得。若存在两项，有，即，即，所以，即。所以，当且仅当即取等号，此时，所以时取最小值，所以最小值为，选A.3.【北京市石景山区2013届高三上学期期末
2、理】在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个结论： ； ； ； 整数属于同一“类”的充要条件是“”其中，正确结论的个数为（）A BC D【答案】C【解析】因为，所以，正确。，所以不正确。因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类所以正确。整数a，b属于同一“类”，因为整数a，b被5除的余数相同，从而a-b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b0”故正确，所以正确的结论个数有3个，选C.4.【贵州省遵义四中2013届高三第四次月考理】对于三次函数（），定义：设是函数的导数，若方程有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为
3、函数的“拐点”有同学发现:“任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心”请你将这一发现为条件，若函数，则=（ ）（A）2010 （B）2011 （C）2012 （D）2013【答案】A【解析】令，则g（x）=h（x）+m（x） 则，令，所以h（x）的对称中心为（，1）设点p（x0，y0）为曲线上任意一点，则点P关于（，1）的对称点P（1x0，2y0）也在曲线上，h（1x0）=2y0 ，h（x0）+h（1x0）=y0+（2y0）=2h（）+h（）+h（）+h（）+h（）=h（）+h（）+h（）+h（）+h（）+h（）+h（）+h（）=10052=2010由于函数m
4、（x）=的对称中心为（，0），可得m（x0）+m（1x0）=0m（）+m（）+m（）+m（）+m（）=m（）+m（）+m（）+m（）+m（）+m（）+m（）+m（）=10050=0g（）+g（）+g（）+g（）+g（）=h（）+h（）+h（）+h（）+h（）+m（）+m（）+m（）+m（）+m（）=2010+0=2010，选A.5.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】将整数填入如图所示的行列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 . 【答案】； 【解析】因为第3列前面有两列，共有10个数分别小于第3列的数，因此：最小为：3+6+9+12+15
5、=45.因为第3列后面有两列，共有10个数分别大于第3列的数，因此：最大为：23+20+17+14+11=85.6.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”. 则 到坐标原点的“折线距离”不超过2的点的集合所构成的平面图形面积是_; 坐标原点与直线上任意一点的“折线距离”的最小值是_.【答案】【解析】根据定义可知,如图：则图象的面积为。与两坐标轴的交点坐标为，设,则，所以OP的折线距离为，作出分段函数的图象如图，由函数的单调性可知当时，函数有最小值为。7.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】定义映射，其中，已知对所有的有序正整数对满足下
6、述条件:；若，；，则 ， 【答案】 【解析】根据定义得。，所以根据归纳推理可知。8.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（），则等于 ，.【答案】 【解析】由题意可知第一列首项为，公差，第二列的首项为，公差，所以，所以第5行的公比为，所以。由题意知，所以第行的公比为，所以9.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】已知正方体的棱长为，动点在正方体表面上运动，且（），记点的轨迹的长度为，则_;关于的方程的解的个数可以为_.（填上所有可能的值）.【答案】【解析】由定义
7、可知当，点P的轨迹是半径为的圆周长，此时点P分别在三个侧面上运动，所以。由正方体可知，当，点在三个面上运动，此时递增，当时，递减，当时，递增，当时，递减，如草图，所以方程的解的个数可能为0,2,3,4个。10.【河北省衡水中学2013届高三第一次调研考试理】已知函数的对称中心为M，记函数的导函数为， 的导函数为，则有.若函数，则可求得： .【答案】-8046【解析】因为，所以，由得，所以，即对称中心为.即，则，所以.11.【山东省师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理】设函数，当时, 【答案】【解析】由归纳推理可知。12.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（四）理】我们把平面内与
8、直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线（点法式）方程为，化简得类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面（点法式）方程为 【答案】【解析】设为平面内的任一点，由得，即13.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】（本小题满分14分）已知每项均是正整数的数列，其中等于的项有个，设，（）设数列，求；（）若中最大的项为50， 比较的大小；（）若，求函数的最小值【答案】解: (I) 因为数列， 所以， 所以 4分 (II) 一方面，根据的含义知， 故，即 ， 当且仅当时取等号.因为中最大的项为50，所以当时必有
9、， 所以即当时，有； 当时，有 9分（III）设为中的最大值. 由（II）可以知道，的最小值为. 根据题意， 下面计算的值.， ， ，最小值为. .14分14.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】（本小题满分13分）将正整数（）任意排成行列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数（）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.（）当时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；（）若表示某个行列数表中第行第列的数（，），且满足请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；（）对于由正整数排成的行列的任意数表，记其“特征值”为，求证：.
10、【答案】证明：（）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.可设在第一行第一列，考虑与同行或同列的两个数只有三种可能，或或.得到数表的不同特征值是或 3分714582369（）当时，数表为此时，数表的“特征值”为 4分13159101426711153481216当时,数表为此时，数表的“特征值”为. 5分21161116172227121318233891419244510152025当时,数表为此时，数表的“特征值”为. 6分猜想“特征值”为. 7分 （）对于一个数表而言，这个较大的数中，要么至少有两个数在一个数表的同一行（或同一列）中，要么这个较大的数在这个数表的不同行且不同列中. 当这个较
11、大的数，至少有两个数在数表的同一行（或同一列）中时，设（）为该行（或列）中最大的两个数，则， 因为所以，从而 10分当这个较大的数在这个数表的不同行且不同列中时，当它们中的一个数与在同行（或列）中，设为与在同行、同列中的两个最大数中的较小的一个.则有. 综上可得. 13分15.【北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习（一）理】（本小题满分14分） 将所有平面向量组成的集合记作，是从到的映射，记作或，其中都是实数。定义映射的模为：在的条件下的最大值，记做.若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值.（1）若，求；（2）如果，计算的特征值，并求相应的；（3）若，要使有唯一的特征
12、值，实数应满足什么条件？试找出一个映射，满足以下两个条件：有唯一的特征值，,并验证满足这两个条件.【答案】解：（1）由于此时，又因为是在的条件下，有 （时取最大值），所以此时有。4分（2）由，可得：，解此方程组可得：，从而。当时，解方程 此时这两个方程是同一个方程，所以此时方程有无穷多个解，为（写出一个即可），其中且。当时，同理可得，相应的（写出一个即可），其中且 9分（3）解方程组从而向量与平行，从而有应满足：。当时，有唯一的特征值，且。具体证明为：由的定义可知：对任意的有：，所以为特征值。此时。满足：，所以有唯一的特征值。在的条件下，从而有。14分16.【北京市通州区2013届高三上学期期
13、末理】（本小题满分13分）现有一组互不相同且从小到大排列的数据，其中记，作函数，使其图象为逐点依次连接点的折线（）求和的值；（）设直线的斜率为，判断的大小关系；（）证明：当时，【答案】（）解：， 2分； 4分（）解：， 6分因为，所以 8分（）证：由于的图象是连接各点的折线，要证明，只需证明 9分事实上，当时，下面证明法一：对任何，10分11分 12分所以13分法二：对任何，当时，；10分当时，综上， 13分17.【北京市西城区2013届高三上学期期末理】（本小题满分13分）如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且.记为所有这样的数表构成的集合对于，记为的第行各数之积
14、，为的第列各数之积令（）请写出一个，使得；（）是否存在，使得？说明理由；（）给定正整数，对于所有的，求的取值集合 【答案】（）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求 3分（）解：不存在，使得 4分 证明如下：假设存在，使得 因为， ， 所以，这个数中有个，个 令 一方面，由于这个数中有个，个，从而 另一方面，表示数表中所有元素之积（记这个实数之积为）；也表示， 从而 、相矛盾，从而不存在，使得 8分（）解：记这个实数之积为 一方面，从“行”的角度看，有； 另一方面，从“列”的角度看，有从而有 10分注意到， 下面考虑，中的个数：由知，上述个实数中，的个数一定为偶数，该偶数记为；则的个数为，所以 12分对数表：，显然将数表中的由变为，得到数表，显然将数表中的由变为，得到数表，显然依此类推，将数表中的由变为，得到数表即数表满足：，其余所以 ，所以由的任意性知，的取值集合为 13分
