1、1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系课后篇巩固提升基础巩固1.命题“若an=2n-1,则数列an是等差数列”的逆否命题是()A.若an2n-1,则数列an不是等差数列B.若数列an不是等差数列,则an2n-1C.若an=2n-1,则数列an不是等差数列D.若数列an是等差数列,则an2n-1答案B2.“若sin x12,则x6”的否命题是()A.若sin x12,则x6B.若x6,则sin x12C.若x6,则sin x12D.若sin x12,则x6解析“若sinx12,则x6”的否命题是“若sinx12,则x1,则lg a0”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中,真命题的个
2、数为()A.0B.2C.3D.4解析原命题为真,则逆否命题为真;又当lga0时,必有a1,所以逆命题为真,否命题也为真,故一共有4个命题是真命题.答案D4.若命题r:“若p,则q”的逆命题是真命题,那么下列命题一定为真命题的是()A.若p,则qB.若q,则pC.若p,则qD.若q,则p解析命题“若p,则q”的否命题“若p,则q”一定是真命题.答案A5.原命题为:“若+2,则sin cos ”,则下列说法正确的是()A.与其逆命题同为假命题B.与其否命题同为
3、假命题C.与其否命题同为真命题D.与其逆否命题同为假命题解析该命题的逆否命题是“若sin=cos,则+=2”,显然是假命题,故原命题也为假命题.其否命题是“若+=2,则sin=cos”,显然是真命题,故D项正确.答案D6.有下列四个命题:“已知函数y=f(x),xD,若D关于原点对称,则函数y=f(x),xD为奇函数”的逆命题;“对应边平行的两角相等”的否命题;“若a0,则关于x的方程ax+b=0有实根”的逆否命题;“若AB=B,则AB”的逆否命题.其中的真命题是()A.B.C.D.解析逆命题:“若函数y=f(x),xD为奇函数,则定义域D关于原点对称”,为真命题;否命题:“对应边不平行的两角
4、不相等”,为假命题;逆否命题:“若关于x的方程ax+b=0无实根,则a=0”,为真命题;逆否命题:“若A=B,则ABB”,是假命题.答案C7.原命题:若x2+y2=0,x,yR,则x=0,y=0,则原命题的逆否命题为.答案若x0或y0,x,yR,则x2+y208.“在ABC中,若C=90,则A,B都是锐角”的否命题为.答案在ABC中,若C90,则A,B不都是锐角9.分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假:(1)若x10,则2x+120;(2)如果两圆外切,那么两圆圆心距等于两圆半径之和;(3)在整数中,奇数不能被2整除.解(1)逆命题:若2x+120,则x10,为假命题;
5、否命题:若x10,则2x+120,为假命题;逆否命题:若2x+120,则x10,为真命题.(2)逆命题:如果两圆圆心距等于两圆半径之和,那么两圆外切,是真命题;否命题:如果两圆不外切,那么两圆圆心距不等于两圆半径之和,是真命题;逆否命题:如果两圆圆心距不等于两圆半径之和,那么两圆不外切,是真命题.(3)逆命题:在整数中,不能被2整除的数是奇数,是真命题;否命题:在整数中,不是奇数的数能被2整除,是真命题;逆否命题:在整数中,能被2整除的数不是奇数,是真命题.10.已知m是整数,求证:若m2+6m是偶数,则m不是奇数.证明构造命题p:m是整数,若m2+6m是偶数,则m不是奇数.其逆否命题是:m是
6、整数,若m是奇数,则m2+6m是奇数.以下证明该逆否命题为真命题.由于m是奇数,不妨设m=2k-1(kZ),则m2+6m=(2k-1)2+6(2k-1)=4k2+8k-5=4(k2+2k-1)-1,由于kZ,所以k2+2kZ,于是4(k2+2k)是偶数,从而4(k2+2k-1)-1为奇数,即m2+6m是奇数.因此逆否命题是真命题,从而原结论正确.能力提升1.设原命题:若a+b2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假状况是()A.原命题与逆命题均为真命题B.原命题为真命题,逆命题为假命题C.原命题为假命题,逆命题为真命题D.原命题与逆命题均为假命题解析原命题的逆否命题为“若a,
7、b中没有一个大于等于1,则a+b2”,等价于“若a1,b1,则a+by,则x|y|”的逆命题;“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题;“若b0,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题.其中真命题的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个解析“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”不正确,根据逆否命题同真同假,可得其否命题不正确;“若xy,则x|y|”的逆命题为“若x|y|,则xy”正确;“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题为“若x1,则x2+x-20”不正确;“若b0,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”,由=4b2-4(b2+b)=-4b0,可得原命题
8、正确,其逆否命题也正确.故选C.答案C4.已知命题“若1x2,则m-1xm+1”的逆否命题是真命题,则实数m的取值范围是.解析因为原命题与逆否命题等价,所以原命题为真命题,因此有m-11,m+12,解得1m2.答案1,25.命题:已知a,b为实数,若关于x的不等式x2+ax+b0的解集是非空数集,则a2-4b0.写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断这些命题的真假.解逆命题:已知a,b为实数,若a2-4b0,则关于x的不等式x2+ax+b0的解集是非空数集.否命题:已知a,b为实数,若关于x的不等式x2+ax+b0的解集是空集,则a2-4b0.逆否命题:已知a,b为实数,若a2-4b60,则x,y,z中至少有一个大于20.证明构造命题:若x+y+z60,则x,y,z中至少有一个大于20.其逆否命题是:若x,y,z都小于或等于20,则x+y+z60.由于x20,y20,z20,由不等式的性质可得x+y+z20+20+20=60,因此逆否命题正确,从而原结论正确.