1、第二节平面向量基本定理及坐标表示【考纲下载】1了解平面向量基本定理及其意义2掌握平面向量的正交分解及坐标表示3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4理解用坐标表示的平面向量共线的条件1两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角(2)范围：向量夹角的范围是0，a与b同向时，夹角0；a与b反向时，夹角.(3)向量垂直：如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作ab.2平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的
2、向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(2)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标设xiyj，则向量的坐标(x，y)就是A点的坐标，即若(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)3平面向量的坐标运算(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2
3、)；(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)；(3)若a(x，y)，则a(x，y)；(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y1.1相等向量的坐标一定相同吗？相等向量起点和终点坐标可以不同吗？提示：相等向量的坐标一定相同，但是起点和终点的坐标可以不同如A(3,5)，B(6,8)，则(3,3)；C(5,3)，D(2，6)，则(3,3)，显然，但A，B，C，D四点坐标均不相同2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件能表示成吗？提示：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表
4、示为x1y2x2y10.同时， ab的充要条件也不能错记为x1x2y1y20，x1y1x2y20等1在正方形ABCD中，与的夹角是()A90B45C135D0解析：选C与的夹角为18045135.2若向量a(1,1)，b(1,0)，c(6,4)，则c()A4a2b B4a2bC2a4b D2a4b解析：选A设cab，则有(6,4)(，)(，0)(，)，即6，4，从而2，故c4a2b.3已知a(4,5)，b(8，y)且ab，则y等于()A5 B10 C. D15解析：选Bab，4y58，即y10.4若A(0,1)，B(1,2)，C(3,4)，则2_.解析：A(0,1)，B(1,2)，C(3,4)
5、，(1,1)，(2,2)，2(1,1)(4,4)(3，3)答案：(3，3)5(教材习题改编)已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.解析：ab(1，m1)，c(1,2)，且(ab)c，12(m1)，即2m1，m1.答案：1 易误警示(五)平面向量的坐标运算中的易误点用平面向量解决相关问题时，在便于建立平面直角坐标系的情况下建立平面直角坐标系，可以使向量的坐标运算更简便一些 典例(2013北京高考)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示若cab(，R)，则_.解题指导可建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，求出a，b，c的坐标，然后利用cab即可求出和的
6、值，从而使问题得以解决解析以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系，令每个小正方形的边长为1个单位，则A(1，1)，B(6,2)，C(5，1)，所以a(1,1)，b(6，2)，c(1，3)由cab可得解得所以4.答案4名师点评建立平面直角坐标系时，一般利用已知的垂直关系，或使较多的点落在坐标轴上，这样解题会较简便给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动若xy，其中x，yR，则xy的最大值是_解析：以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，则可知A(1,0)，B，设C(cos ，sin )，则有xcos sin ，ysin ，所以xycos sin 2sin，所以当时，xy取得最大值2.答案：2