1、专题七 数学思想方法第1讲函数与方程思想、数形结合思想一、选择题1已知等比数列an中，a21，则其前3项的和S3的取值范围是()A(，1)B.(，1)(1，)C3，)D.(，13，)解析等比数列an中，a21，S3a1a2a3a21q.当公比q0时，S31q123，当公比q0时，S31121，S3(，13，)答案D2已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()A.B.2 C.D.2解析如图，设a，b，c，则ac，bc.由题意知，O，A，C，B四点共圆当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，|.答案A3若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、
2、偶函数，且满足f(x)g(x)ex，则有()Af(2)f(3)g(0)B.g(0)f(3)f(2)Cf(2)g(0)f(3)D.g(0)f(2)f(3)解析由题意得f(x)g(x)ex，f(x)g(x)ex，即f(x)g(x)ex，由此解得f(x)，g(x)，g(0)1，函数f(x)在R上是增函数，且f(3)f(2)0，因此g(0)f(2)f(3)答案D4若a1，则双曲线1的离心率e的取值范围是()A(1，)B.(，)C，D.(，)解析e2212，因为当a1时，01，所以2e25，即e.答案B二、填空题5已知奇函数f(x)的定义域是x|x0，xR，且在(0，)上单调递增，若f(1)0，则满足x
3、f(x)0的x的取值范围是_解析作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知xf(x)0的x的取值范围是(1,0)(0,1)答案(1,0)(0,1)6已知圆x2y22x4y10关于直线2axby20(a，bR)对称，则ab的取值范围是_解析圆心坐标为(1,2)，因为圆关于直线对称，所以2a2b20即ab10，aba(1a)a2a(a)2.答案(，7已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_解析由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x4，x，x4，由一个内角为120知其必是最长边x4所对的角由余弦定理得(x4)2x2(x4)22x(x4)co
4、s 120，2x220x0，x0(舍去)或x10.SABC(104)10sin 12015.答案158函数f(x)()xsin x在区间0,2上的零点个数为_解析函数f(x)()xsin x 在区间0,2上的零点个数即为方程()xsin x0在区间0,2上解的个数因此可以转化为两函数y()x与ysin x交点的个数，根据图象可得交点个数为2，即零点个数为2.答案2三、解答题9已知f(t)log2t，t，8，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2mx42m4x恒成立，求x的取值范围解t，8，f(t).原题转化为当m时，不等式x2mx42m4x恒成立，即m(x2)(x2)20恒成立令g(m)m
5、(x2)(x2)2，m，问题转化为g(m)在m上恒大于0，即 即解得x2或x1.10已知平面向量a，b，且存在实数x，y，使得ma(x23)b，nyaxb且mn.(1)求yf(x)的关系式；(2)已知kR，讨论关于x的方程f(x)k0的实根个数解(1)ab0，|a|，|b|1.因为mn，所以mn0，即a(x23)b(yaxb)0，化简整理得yx3x，即f(x)x3x.(2)方程f(x)k0实根个数由两函数yf(x)，yk的图象交点个数确定由f (x)x21(x1)(x1)知：f(x)在(，1)及(1，)上为增函数，在(1,1)上为减函数，极大值f(1)，极小值f(1).作yf(x)和yk的图象
6、如图，知当k或k时，两图象有一个交点，原方程有一个实根；当k时，原方程有两个实根；当k时，原方程有三个实根11椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且3.(1)求椭圆C的方程；(2)求m的取值范围解(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，设c0，c2a2b2，由题意，知2b，所以a1，bc.故椭圆C的方程为y21.即y22x21.(2)设直线l的方程为ykxm(k0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k22)x22kmxm210，(2km)24(k22)(m21)4(k22m22)0，(*)x1x2，x1x2.因为3 ，所以x13x2.所以所以3(x1x2)24x1x20.所以3240.整理得4k2m22m2k220，即k2(4m21)(2m22)0.当m2时，上式不成立；当m2时，k2，由(*)式，得k22m22，又k0，所以k20.解得1m或m1.即所求m的取值范围为.