1、课时规范练24正弦定理和余弦定理及其应用基础巩固组1.(2021北京西城高三月考)在ABC中,若b=4,c=3,cos B=-35,则sin C的值等于()A.512B.34C.35D.452.(2021福建漳州高三期中)在ABC中,c2=bccos A+accos B+abcos C,则此三角形必是()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形3.在ABC中,若B=2A,b=32a,则cos A的值等于()A.14B.13C.23D.344.(2021安徽安庆高三期中)在ABC中,若AB=2,AC=3,ABAC=3,则BC=()A.3B.7C.19D.235.(2021四川成都
2、高三月考)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足6a=4b=3c,则sin2CsinA-sinB的值为()A.-2B.2C.-8D.86.(多选)(2021广东深圳高三月考)在ABC中,下列说法正确的是()A.若AB,则|cos B|cos A|B.若a2+b2c2,则ABC为锐角三角形C.等式a=bcos C+ccos B恒成立D.若ABC=114,则abc=1137.(2021天津耀华中学高三月考)在ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC=.8.游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路.线路1是从A沿直线步行到C,线路2是先从A沿直线步行到景点B处,然
3、后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行,甲的速度是乙的速度的119倍,甲走线路2,乙走线路1,最后他们同时到达C处.经测量,AB=1 040 m,BC=500 m,则sinBAC等于.9.在ABC中,AB=2,若BCCA=12,则A的最大值是.综合提升组10.(2021福建厦门高三月考)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且ac=2+bcosAccos(A+C),则B的大小为()A.6B.3C.23D.5611.如图,在ABC中,cosBAC=-13,AC=2,D是边BC上的点,且BD=2DC,AD=DC,则AB等于.12.(2021广东广州高三二模)如图
4、,在四边形ABCD中,CD=33,BC=7,cosCBD=-714.(1)求BDC;(2)若A=3,求ABD周长的最大值.创新应用组13.(2021河北石家庄高三月考)设ABC的面积为S,若4cos 2A-1=cos 2B+2cos 2C,则SABAC的最大值为()A.32B.33C.156D.6614.(2021重庆一中高三月考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3a2=(c+b)(c-b),则tan Atan B的取值范围是.课时规范练24正弦定理和余弦定理及其应用1.C解析 由正弦定理得bsinB=csinC,由于cos B=-35,所以sin B=45,于是sin C
5、=csinBb=3454=35,故选C.2.B解析 由c2=bccos A+accos B+abcos C,则c2=bcb2+c2-a22bc+aca2+c2-b22ac+aba2+b2-c22ab,即c2=a2+b2+c22,整理可得a2+b2=c2,所以ABC为直角三角形,故选B.3.D解析 由B=2A得sin B=sin 2A,即sin B=2sin Acos A,所以cos A=sinB2sinA=b2a=32a2a=34,故选D.4.B解析 由AB=2,AC=3,ABAC=3,可得23cos A=3,所以cos A=12.由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABACcos A=2
6、2+32-22312=7,故BC=7,故选B.5.B解析 由于sin2CsinA-sinB=2sinCcosCsinA-sinB=2ca-bcos C=-8cos C,而cos C=a2+b2-c22ab=a2+(3a2)2-(2a)22a3a2=-14,故sin2CsinA-sinB=-8-14=2,故选B.6.ACD解析 对于A,在ABC中,若AB,则sin Asin B0,所以cos2Bcos2A,可得|cos B|cos A|,故选项A正确;对于B,由余弦定理可得cos C=a2+b2-c22ab0只能判断角C为锐角,但得不出ABC为锐角三角形,故选项B不正确;对于C,由正弦定理可得s
7、in A=sin Bcos C+sin Ccos B,右边sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A等于左边,显然成立,故选项C正确;对于D,因为ABC=114,所以A=B=6,C=23,由正弦定理可得abc=sin Asin Bsin C=121232=113,故选项D正确,故选ACD.7.1解析 sin2AsinC=2sinAcosAsinC=2acosAc=24652+62-42256=1.8.513解析 依题意,设乙的速度为x m/s,则甲的速度为119x m/s,因为AB=1 040 m,BC=500 m,所以ACx=1 040+500119x,解得AC
8、=1 260.在ABC中,由余弦定理得,cosBAC=AB2+AC2-BC22ABAC=1 0402+1 2602-500221 0401 260=1213,所以sinBAC=1-cos2BAC=1-(1213)2=513.9.4解析 因为BCCA=12,所以abcos C=-12,由余弦定理得aba2+b2-42ab=-12,得a2+b2=3.由余弦定理可得cos A=b2+4-a24b=b2+4-(3-b2)4b=2b2+14b=b2+14b2b214b=22,当且仅当b2=14b,即b=22时,等号成立,此时cos A取得最小值22.又因为y=cos x在(0,)上单调递减,所以A的最大
9、值是4.10.B解析 因为ac=2+bcosAccos(A+C),所以sinAsinC=2+sinBcosAsinCcos(-B),即sinAsinC=2-sinBcosAsinCcosB,所以sin Acos B=2sin Ccos B-sin Bcos A,所以sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos B,即sin(A+B)=2sin Ccos B,所以sin C=2sin Ccos B.又C(0,),所以sin C0, 所以cos B=12.又B(0,),所以B=3,故选B.11.3解析 设AD=m,则有CD=m,BD=2m,BC=3m.在ABC中,由余弦定理BC2
10、=AB2+AC2-2ABACcosBAC,得9m2=AB2+4+43AB.在ADB中,由余弦定理AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,得AB2=5m2+4m2cosADC.在ADC中,由余弦定理AC2=AD2+CD2-2ADCDcosADC,得4=2m2-2m2cosADC,消去cosADC,得AB2+8=9m2,从而得AB2+8=AB2+4+43AB,解得AB=3.12.解 (1)在BCD中,cosCBD=-714,sinCBD=1-(-714)2=32114,由正弦定理得CDsinCBD=BCsinBDC,sinBDC=BCsinCBDCD=73211433=12.又CBD为钝角
11、,BDC为锐角,BDC=6.(2)在BCD中,由余弦定理得cosCBD=BC2+BD2-CD22BCBD=7+BD2-2727BD=-714,解得BD=4或BD=-5(舍去).在ABD中,A=3,设AB=x,AD=y.由余弦定理得cos A=AB2+AD2-BD22ABAD=x2+y2-162xy=12,即x2+y2-16=xy,整理得(x+y)2-16=3xy.由基本不等式得(x+y)2-16=3xy3(x+y)24,即(x+y)2416,所以(x+y)264,当且仅当x=y=4时,等号成立,即(x+y)max=8,所以(AB+AD+BD)max=8+4=12,故ABD周长的最大值为12.1
12、3.C解析 因为4cos 2A-1=cos 2B+2cos 2C,所以4(1-2sin2A)-1=1-2sin2B+2(1-2sin2C),整理得4sin2A=sin2B+2sin2C,即4a2=b2+2c2,a2=14b2+12c2.于是cos A=b2+c2-a22bc=34b2+12c22bc234b212c22bc=64,当且仅当b=c时,等号成立.因为SABAC=12bcsinAbccosA=12sinAcosA=121cos2A-1,所以当cos A=64时,SABAC取得最大值121(64)2-1=156,故选C.14.0,12解析 由题意得3a2=(c+b)(c-b),根据余弦定理得bcos C+a=0,所以由正弦定理得sin Bcos C+sin A=0,即sin Bcos C+sin(C+B)=0,化简得tan C=-2tan B.又0B0.又tan Atan B=-tan(B+C)tan B=-tanB+tanC1-tanBtanCtan B=-tanB+(-2tanB)1-tanB(-2tanB)tan B=11tan2B+2,所以0tan Atan B12.