1、课时规范练31平面向量的数量积与平面向量的应用基础巩固组1.(2021河北石家庄一模)设向量a=(1,2),b=(m,-1),且(a+b)a,则实数m=()A.-3B.32C.-2D.-322.在梯形ABCD中,ABDC,ADAB,AD=2,则BCAD=() A.-1B.1C.2D.23.(2021广东珠海二模)已知向量a,b满足|a|=2,ab=-1,且(a+b)(a-b)=3,则|a-b|=()A.3B.3C.7D.74.在ABC中,若AB=(1,2),AC=(-x,2x)(x0),则当BC最小时,ACB=()A.90B.60C.45D.305.(多选)(2021湖南衡阳二模)已知向量a=
2、(1,x-1),b=(x,2),则()A.abB.若ab,则x=2C.若ab,则x=23D.|a-b|26.(多选)已知向量a=(1,2),b=(m,1)(m0,当x=35时,ymin=165,此时BC最小,CA=35,-65,CB=85,45,CACB=3585-6545=0,CACB,即ACB=90,故选A.5.ACD解析显然ab,故A正确;由ab得12=(x-1)x,解得x=2或x=-1,故B错误;由ab得x+2(x-1)=0,解得x=23,故C正确;|a-b|2=(1-x)2+(x-3)2=2(x-2)2+22,则|a-b|2,故D正确.故选ACD.6.AC解析将a=(1,2),b=(
3、m,1)代入b(a+b)=3,得(m,1)(1+m,3)=3,得m2+m=0,解得m=-1或m=0(舍去),所以b=(-1,1),所以|b|=(-1)2+12=2,故A正确;因为2a+b=(1,5),a+2b=(-1,4),14-(-1)5=90,所以2a+b与a+2b不平行,故B错误;设向量2a-b与a-2b的夹角为,因为2a-b=(3,3),a-2b=(3,0),所以cos =(2a-b)(a-2b)|2a-b|a-2b|=22,所以=4,故C正确;向量a在向量b上的投影向量的模为ab|b|=12=22,故D错误.故选AC.7.35解析由已知得,a-b=(1-3,3-4),由(a-b)b,
4、得3(1-3)+4(3-4)=0,即15-25=0,解得=35.8.解 (1)b+c=(cos -1,sin ),则|b+c|2=(cos -1)2+sin2=2(1-cos ).因为-1cos 1,所以0|b+c|24,即0|b+c|2.当cos =-1时,有|b+c|=2,所以向量b+c的模的最大值为2.(2)若=4,则a=22,22.又由b=(cos ,sin ),c=(-1,0)得a(b+c)=22,22(cos -1,sin )=22cos +22sin -22.因为a(b+c),所以a(b+c)=0,即cos +sin =1,所以sin =1-cos ,平方后化简得cos (cos
5、 -1)=0,解得cos =0或cos =1.经检验cos =0或cos =1即为所求.9.BD解析由于ABC内接于以O为圆心,1为半径的圆,且3OA+4OB+5OC=0,所以3OA+4OB=-5OC,两边平方并化简得25+24OAOB=25,解得OAOB=0;3OA+5OC=-4OB,两边平方并化简得34+30OAOC=16,解得OAOC=-35;4OB+5OC=-3OA,两边平方并化简得41+40OBOC=9,解得OBOC=-45.所以BOC90,故A错误;AOB=90,故B正确;OBCA=OB(OA-OC)=OBOA-OBOC=45,故C错误;OCAB=OC(OB-OA)=OCOB-OC
6、OA=-45-35=-15,故D正确.故选BD.10.ABC解析设P(x,y),由AP=AB(01),得(x-1,y)=(-1,1)=(-,),所以x-1=-,y=,得P(1-,).由OPABPAPB,得(1-,)(-1,1)(,-)(-1,1-),即-1+(-1)-(1-),2-122-2,22-4+10,解得1-221+22,又因为01,所以1-221.故选ABC.11.2+1解析由|a|=|b|=1,且ab=0,建立如图所示平面直角坐标系,设OA=a,OB=b,则a=(1,0),b=(0,1),再设c=(x,y),则c-a-b=(x-1,y-1),故|c-a-b|=(x-1)2+(y-1
7、)2,其几何意义为以O为圆心的单位圆上的动点与定点P(1,1)间的距离.则其最大值为|OP|+1=12+12+1=2+1.12.140,1解析ABC为等腰直角三角形,CO为斜边上的高,则CO为边AB上的中线,所以AC=BC=2,AO=BO=CO=1.当P为线段OC的中点时,在ACO中,AP为边CO上的中线,则AP=12(AC+AO),所以APOP=12(AC+AO)OP=12(ACOP+AOOP)=12|AC|OP|cos 45+0=1221222=14.当P为线段OC上的动点时,设OP=OC,01,APOP=(AC+CP)OP=ACOP+CPOP=OCAC-(1-)OC(OC)=1222-(
8、1-)=-+2=20,1,所以APOP的取值范围为0,1.13.C解析建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,3).设P(4,a)(3a4),Q4+t,43t(0t3),则AP=(4,a-3),AQ=4+t,43t-3,APAQ=4(4+t)+(a-3)43t-3=16+4t+43at-4t-3a+9=25+43at-3a=25+43t-3a.-343t-31,3a4,所以当43t-3=1,a=4时,APAQ取得最大值为25+14=29.故选C.14.1224+163解析以经过A,B的直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系如图所示,则A(-2,0),B(2,0).设P(x,y),因为|PA|PB|=3,所以(x+2)2+y2(x-2)2+y2=3,化简整理可得(x-4)2+y2=12,所以点P的轨迹为圆,圆心为C(4,0),半径r=23,故其面积为12.PAPB=x2-4+y2=|OP|2-4,OP即为圆C上的点到坐标原点的距离.因为OC=4,所以OP的最大值为OC+r=4+23,所以PAPB的最大值为(4+23)2-4=24+163.