1、一、填空题1.(2015北京卷改编)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是_.解析因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r，则该圆的方程为(x1)2(y1)22.答案(x1)2(y1)222.(2014江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为_.解析圆心为(2，1)，半径r2.圆心到直线的距离d，所以弦长为22.答案3.(2016南京、盐城模拟)过点P(4，0)的直线l与圆C：(x1)2y25相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为_.解析设AB的中点为点D，则CDAB，设CDd，ADx，则PAAB2x，在直角三角形ACD
2、中，由勾股定理得d2x2r25.在直角三角形PDC中，由勾股定理得d29x2CP225，解得d2.易知直线l的斜率一定存在，设为k，则l：yk(x4)，圆心C(1，0)到直线l的距离为d，解得k2，k，所以直线l的方程为y(x4)，即为x3y40.答案x3y404.(2016苏州调研)若直线l1：yxa和直线l2：yxb将圆(x1)2(y2)28分成长度相等的四段弧，则a2b2_.解析由弧长相等得弧所对的圆心角相等，所以四段弧所对的圆心角都是90，直线l1，l2分布在圆心的两侧，且圆心到直线l1，l2的距离dr2，即2，2，所以a21，b21或a21，b21，所以a2b2(21)2(21)21
3、8.答案185.已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，则PMPN的最小值为_.解析由条件可知，两圆的圆心均在第一象限，先求PC1PC2的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1(2，3)，则(PC1PC2)minC1C25.所以(PMPN)min54.答案546.(2016全国卷)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若AB2，则CD_.解析设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R2，AB2，所以OM3，解得m，由解得A(3, )，B(0，2)，则AC的直线
4、方程为y(x3)，BD的直线方程为y2x，令y0，解得C(2，0)，D(2，0)，所以CD4.答案47.(2016江西七校第二次联考)过双曲线1(a0，b0)的左焦点F作圆x2y2a2的切线，切点为E，直线EF交双曲线右支于点P，若()，则双曲线的离心率是_.解析如图，()，E为FP的中点，又O为FF的中点，OE为PFF的中位线，OEPF，OEPF，OEa，PFa，PF切圆O于E，OEPF，PFPF，FF2c，PFPF2a，PF2aa3a，由勾股定理得a29a24c2，10a24c2，e.答案8.直线axby1与圆x2y21相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且AOB是直角三角形(O是坐标原
5、点)，则点P(a，b)与点(0，1)之间距离的最小值为_.解析根据题意画出图形，如图所示，过点O作OCAB于C，因为AOB为等腰直角三角形，所以C为弦AB的中点，又OAOB1，根据勾股定理得AB，OCAB.圆心到直线的距离为，即2a2b22，即a2b210.b.则点P(a，b)与点(0，1)之间距离d.设f(b)b22b2(b2)2，此函数为对称轴为x2的开口向上的抛物线，当b2时，函数为减函数.f()32，d的最小值为1.答案1二、解答题9.(2015全国卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点.(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原
6、点，求MN.解(1)由题设，可知直线l的方程为ykx1，因为l与C交于两点，所以1.解得k.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.解方程易得：x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由题设可得812，解得k1，所以l的方程为yx1.故圆心C在l上，所以MN2.10.(2013江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y2x4.设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上
7、存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.解(1)由题设，圆心C是直线y2x4和yx1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在.设过A(0，3)的圆C的切线方程为ykx3，由题意，得1，解得k0或，故所求切线方程为y3或3x4y120.(2)因为圆心在直线y2x4上，所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21.设点M(x，y)，因为MA2MO，所以2 ，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，所以点M在以D(0，1)为圆心，2为半径的圆上.由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|21|CD21，即13.整理得85a212a0.由5a212a80，得a
8、R；由5a212a0，得0a.所以点C的横坐标a的取值范围是.11.已知双曲线x21.(1)若一椭圆与该双曲线共焦点，且有一交点P(2，3)，求椭圆方程.(2)设(1)中椭圆的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上的一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M.若AMMN，求AMB的余弦值；(3)设过A、F、N三点的圆与y轴交于P、Q两点，当线段PQ的中点为(0，9)时，求这个圆的方程.解(1)双曲线焦点为(2，0)，设椭圆方程为1(ab0).则a216，b212.故椭圆方程为1.(2)由已知，A(4，0)，B(4，0)，F(2，0)，直线l的方程为x8.设N(8，t)(t0).AMMN，M.由点M在椭圆上，得t6.故所求的点M的坐标为M(2，3).所以(6，3)，(2，3)，1293.cosAMB.(3)设圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，将A、F、N三点坐标代入，得得圆的方程为x2y22xy80，令x0，得y2y80.设P(0，y1)，Q(0，y2)，则y1，2.由线段PQ的中点为(0，9)，得y1y218，t18，此时，所求圆的方程为x2y22x18y80.
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