1、重庆市云阳江口中学校2020届高三数学下学期第一次月考试题 理（含解析）第卷（选择题 共60分）一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出中不等式的解集确定出，找出与的交集即可【详解】解：由中不等式变形得：，解得：或，即，故选：A 【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题2. 已知是虚数单位，且的共轭复数为，则（ ）A B. C. 5D. 3【答案】C【解析】【分析】先化简，再求其共轭复数求解.【详解】因为，所以，所以
2、.故选：C【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的概念，还考查运算求解的能力，属于基础题.3. （2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和若，则的公差为A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】设公差为，联立解得，故选C.点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.4. 已知,则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先解不等式，再根据不等式的解集即可得到答案.【详解】因为或.所以是的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充分不必要条件，同时考查了二次不等式，属于
3、简单题.5. 若将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为A. x=（kZ）B. x=（kZ）C. x=（kZ）D. x=（kZ）【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意得，将函数的图象向左平移个单位长度，得到，由，得，即平移后的函数的对称轴方程为，故选B考点：三角函数的图象与性质【方法点晴】本题主要考查了三角函数的图象与性质，着重考查了三角函数的图象变换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的解析式，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力6. 已知，是空间中两条不同的直线，为空间中两个
4、互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】由题设， 则A. 若，则，错误；B. 若，则错误；D. 若，当 时不能得到，错误.故选C.7. 一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：根据几何概型，小蜜蜂安全飞行的轨迹为棱长为2的正方体内部，所以所求的概率：，故选D考点：几何概型8. 函数的部分图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判断函数的奇偶
5、性，再根据与的性质，确定函数图象【详解】，定义域为，所以函数是偶函数，排除A、C，又因为且接近时，且，所以，选择B【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手：1.从函数定义域，值域判断；2.从函数的单调性，判断变化趋势；3.从函数的奇偶性判断函数的对称性；4.从函数的周期性判断；5.从函数的特征点，排除不合要求的图象9. 中，内角所对的边分别为.若则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式，即可求解，得到答案.【详解】由，整理得，即，又因为，由余弦定理可得，解得，所以三角形的面积为.故选：C.【点睛】本题主要考查了解三角形的余弦定理的应
6、用，以及三角形面积的计算，其中解答中根据余弦定理求得是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.10. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：以D点为坐标原点，以DA、DC、所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（0，2，1） =（-2，0，1）， =（-2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为考点：直线与平面所成的角11. 如图所示，F1，F2是双曲
7、线C：的左，右焦点，过F2的直线与双曲线C交于A， B两点.若ABF1为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设的边长为，则由双曲线的定义，为等边三角形，可求的值，在中，由余弦定理，可得结论【详解】解：设的边长为，则由双曲线的定义，可得又 又在中，由余弦定理可得故选：B【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查余弦定理的运用，属于中档题12. 已知函数，函数，若方程恰好有4个实数根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】当时，求导，由可得，当时，当时，故在上单调递增，在上单调递减，然后在同一坐标系中画出函数与曲线的
8、图象求解.【详解】当时，则，由，可得.当时，当时，故在上单调递增，在上单调递减.因此，在同一坐标系中画出函数与曲线的图象如图所示.若函数与恰好有4个公共点，则，即，解得.故选：D【点睛】本题主要考查函数与方程问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.第II卷(共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13. 已知向量与的夹角为60，|=2，|=1，则| +2 |= _ .【答案】【解析】【详解】平面向量与的夹角为，.故答案为.点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2) 常用来求向量的模14. 在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医
9、生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有_种.(用数字作答)【答案】【解析】【分析】首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数.【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师，然后从名男医生、名女医生中分别抽调2名男医生、名女医生，故选派的方法为：.故答案为【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)15. 有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2
10、和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_【答案】1和3.【解析】 根据丙的说法知，丙的卡片上写着和，或和； （1）若丙的卡片上写着和，根据乙的说法知，乙的卡片上写着和； 所以甲的说法知，甲的卡片上写着和； （2）若丙的卡片上写着和，根据乙的说法知，乙的卡片上写着和； 又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是”； 所以甲的卡片上写的数字不是和，这与已知矛盾； 所以甲的卡片上的数字是和. 16. 已知的最大值为，则的最小值为_.【答案
11、】17【解析】【分析】先将，转化为，再根据最大值为，建立等式，整理得，然后将转化为，再利用基本不等式中的“1”的代换求解.【详解】，最大值为，所以，整理得，则，当且仅当且，即时，取等号所以的最小值为17故答案为：17【点睛】本题主要考查三角函数的性质和基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17. ABC的内角的对边分别为,已知ABC的面积为(1)求;(2)若求ABC的周长.【答案】(1)(2) 【解析
12、】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为.试题解析：（1）由题设得，即.由正弦定理得.故.（2）由题设及（1）得，即.所以，故.由题设得，即.由余弦定理得，即，得.故的周长为.点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一
13、个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.18. 近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评对车辆状况不满意合计（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有
14、关系？（2）为了回馈用户，公司通过向用户随机派送每张面额为元，元，元的 三种骑行券.用户每次使用扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：参考公式：，其中.【答案】(1) 在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.(2)分布列见解析；（元）.【解析】试题分析：（1）由题意求得 的值，然后即可确定结论；（2）由题意首先求得分布列，然后求解数学期望即可试题解析（1）由列联表的数据，有 .因
15、此，在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.（2）由题意，可知一次骑行用户获得元的概率为.的所有可能取值分别为，.， ， ， ，的分布列为：的数学期望为 （元）. 19. 如图，在三棱锥中，顶点在底面上的射影在棱上，为的中点（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）只需证明及，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量公式求解；【详解】解：（1）顶点在底面上的射影在棱上，即平面，又平面平面平面， 平面平面，平面，平面，面，由，得，平面，平面，平面 （2）连结，分别以、为轴，轴，轴，建立空间直角坐
16、标系，.设为平面的一个法向量，则，取，得，.，设平面的法向量，则，取，则， 设二面角的平面角为，则. 二面角的余弦值为【点睛】本题考查线面垂直的判定及利用空间向量解决立体几何问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题20. 已知椭圆：的左、右顶点分别为C、D，且过点，P是椭圆上异于C、D的任意一点，直线PC，PD的斜率之积为（1）求椭圆的方程；（2）O为坐标原点，设直线CP交定直线x = m于点M，当m为何值时，为定值【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)设,根据题意可求得,再代入椭圆方程即可求解.(2)根据(1)中的结论, 设直线,并联立与椭圆的方程,求得,再表达出,根据恒成立问题
17、求得系数的关系即可.也可直接设表达出,利用满足椭圆的方程进行化简,同理可得m的值.【详解】解：（1）椭圆过点,又因为直线的斜率之积为,故.又.即,联立得所求的椭圆方程为（2）方法1：由（1）知,由题意可设,令x=m,得又设由整理得：,所以,要使与k无关,只需,此时恒等于4.方法2：:设,则,令x=m,得,由有,所以,要使与无关,只须,此时.【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的定值问题求解基本量的方法,同时也考查了联立直线与椭圆方程,根据椭圆上的点满足椭圆的方程,求解定值的有关问题.属于难题.21. (1)讨论函数 的单调性，并证明当 0时， (2)证明：当 时，函数 有最小值.设g（x）的最小值
18、为，求函数 的值域.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当时，证明结论；（）用导数法求函数的最值，再构造新函数，用导数法求解.试题解析：（）的定义域为.且仅当时，所以在单调递增，因此当时，所以（）由（）知，单调递增，对任意因此，存在唯一使得即，当时，单调递减；当时，单调递增.因此在处取得最小值，最小值为于是，由单调递增所以，由得因为单调递增，对任意存在唯一的使得所以的值域是综上，当时，有最小值，的值域是【考点】函数的单调性、极值与最值【名师点睛】求函数单调区间的步骤：（1）确定函数f （x）的定义域；（2）求导数f （x）；（3）由f （
19、x）0（f （x）0）解出相应的x的范围当f （x）0时，f （x）在相应的区间上是增函数；当f （x）0时，f （x）在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念请考生在第2224题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出直
20、线的极坐标方程；（2）设动直线与，分别交于点、，求的最大值【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)消去参数求的直角坐标方程,再根据,代入方程化简即可.(2) 设直线的极坐标方程为,再根据极坐标的几何意义求解即可.【详解】解：（1）直线的直角坐标方程为,将,代入方程得,即,（2）设直线的极坐标方程为,设,则,由,有,当时,的最大值为【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标的互化以及直角坐标化极坐标的方法.同时也考查了极坐标的几何意义,属于中等题型.23. 已知函数（1）求不等式的解集；（2）记函数，且的最大值为，若，求证：【答案】（1）（2）见解析【解析】分析】(1)根据绝对值不等式的方法求解即可.(2)利用绝对值的三角不等式可得,再利用三元基本不等式求证即可.【详解】解：（1）由得,解得不等式的解集为（2）当且仅当时等号成立,当且仅当,即时等号成立【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解以及绝对值三角不等式和三元的基本不等式的方法,属于中等题型.