1、2020届高二年级月考（二）数学试题 考试时间120分钟； 满分：150分； 第卷一.选择题（共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1若复数z满足，则=（ ） A B C D2.“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ） A充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3函数f(x)x3x22x取极小值时，x的值是()A2B2，1 C1 D34若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合,则p的值为 ( ) A2 B2 C4 D45.设平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于E，P为空间任意一点，如图所示，若x，则x() A
2、2 B3 C4 D56已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点到焦点的距离等于5，则m 的值（ ）A B C D7已知两点、，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程是( ） A B C D8.函数在区间上单调递减,则的取值范围是（ ）A.B. C.D.9现要做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积为且用料最省，则水桶底面圆的半径为（ ）A B CD10.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC2，DD13，则AC与BD1所成角的余弦值是()A0 B. C D.11.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且， 则有（ ） 12.椭圆与圆（为椭圆半焦距）有四个不同交点，则离心率的取值范围是
3、 （ ）A B C D第卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13已知复数满足，其中是虚数单位，则复数的虚部为_14.已知向量，若6，且，则xy_.15.若曲线在点处的切线与直线垂直，则_16.已知函数在上不是单调函数，则实数的取值范围为_ 三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.）17.（本题10分）已知函数f(x)x33ax22bx在点x1处的极小值为1，试确定a，b的值，并求f(x)的单调区间18. （本题12分）已知椭圆C与椭圆x237y237的焦点F1，F2相同，且椭圆C过点(1)求椭圆C的标准方程；(2)若PC，且F1PF2，求F
4、1PF2的面积19（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5. (1)求证：AA1平面ABC；(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值20. （本小题满分12分）已知抛物线C：y22px过点P(1,1)过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A为线段BM的中点21. (本小题满分12分)如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PACD，PA1，PD，E为PD
5、上一点，PE2ED (1)求证：PA平面ABCD； (2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由22. （本小题满分12分）设lnx，g(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g()的大小关系；(3)求a的取值范围，使得g(a)g(x)0成立2020届高二年级月考（二）数学试题答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案BBCCCDCBBACA二.填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13. -114.1或315. -116. ( -4, -3) (2,3)三、解答题
6、（共70分）17.解析：由已知f(x)3x26ax2b，f(1)36a2b0，又f(1)13a2b1，由解得a，b， f(x)x3x2x，由此得f(x)3x22x1(3x1)(x1)，令f(x)0，得x1， 令f(x)0，得x1，f(x)在x1的左侧f(x)0，即f(x)在x1处取得极小值，故a，b，且f(x)x3x2x，它的单调增区间是(，)和(1，)， 它的单调减区间是(，1)18解：(1)因为椭圆y21的焦点坐标为(6,0)，(6,0)所以设椭圆C的标准方程为1(a236)将点的坐标代入整理得a4109a29000，解得a2100或a29(舍去)，所以椭圆C的标准方程为1(2)因为P为椭
7、圆C上任一点，所以|PF1|PF2|2a20由(1)知c6，在PF1F2中，|F1F2|2c12，所以由余弦定理得：|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos ，即122|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|因为|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|所以122(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2| 所以1222023|PF1|PF2|所以|PF1|PF2|SPF1F2|PF1|PF2|sin 所以F1PF2的面积为19.解：(1)证明：因为AA1C1C为正方形，所以AA1AC.因为平面ABC平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线A
8、C，所以AA1平面ABC. (2)由(1)知AA1AC，AA1AB.由题知AB3，BC5，AC4，所以ABAC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则即令z3，则x0，y4，所以n(0,4,3)同理可得，平面B1BC1的一个法向量为m(3,4,0)所以cos n，m.由题知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为.20.解(1)由抛物线C：y22px过点P(1,1)，得p.所以抛物线C的方程为y2x.抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x.(2)证
9、明：由题意，设直线l的方程为ykx(k0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)由得4k2x2(4k4)x10，则x1x2，x1x2.因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为(x1，x1)直线ON的方程为yx，点B的坐标为.因为y12x10，所以y12x1，故A为线段BM的中点21.解：(1)证明：PAAD1，PD，PA2AD2PD2，即PAAD又PACD，ADCDD，PA平面ABCD(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，E，(1,1
10、,0)，.设平面AEC的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，则n(1,1，2)假设侧棱PC上存在一点F，且(01)，使得BF平面AEC，则n0.又(0,1,0)(，)(，1，)，n120，存在点F，使得BF平面AEC，且F为PC的中点22.解析(1)由题设知g(x)lnx，g(x)，令g(x)0，得x1.当x(0,1)时，g(x)0，故(1，)是g(x)的单调递增区间，因此，x1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.(2)g()lnxx，设h(x)g(x)g()2lnxx，则h(x).当x1时，h(1)0，即g(x)g()当x(0,1)(1，)时，h(x)0，h(1)0，因此，h(x)在(0，)内单调递减当0xh(1)0，即g(x)g()，当x1时，h(x)h(1)0，即g(x)g()(3)由(1)知g(x)的最小值为1，所以g(a)g(x)0成立g(a)1，即lna1，从而得0ae，即a的取值范围为(0，e)