1、6.4 平面向量的应用A级基础巩固1.ABC的三个内角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a).若pq,则角C等于()A.6B.3C.2D.23解析:因为p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),pq,所以(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,整理,得b2+a2-c2=ab,所以cos C=b2+a2-c22ab=ab2ab=12,解得C=3.答案:B2.在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若c2-a2-b22ab0,则ABC()A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.是锐角三角形或直角三角形解析:由c2-a
2、2-b22ab0,得-cos C0,所以cos C0,所以C为钝角,即ABC一定是钝角三角形.答案:C3.已知ABC的两边长a,b是方程x2-23x+2=0的两个实数根,且有2 cos(A+B)=1,则第三边长c等于10.解析:易知cos C=-cos(A+B)=-12,所以C=120.因为a,b是方程x2-23x+2=0的两个实数根,所以a+b=23,ab=2,所以c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-2abcos 120=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=(23)2-2=10,即c=10.4.在ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=-14,则b=4.解析:因为b+c=7
3、,所以c=7-b.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B,即b2=4+(7-b)2-22(7-b)（-14）,解得b=4.5.在ABC中,已知sin C=12,a=23,b=2,求边c.解:因为sin C=12,且0C,所以C=6或56.当C=6时,cos C=32,此时,c2=a2+b2-2abcos C=4,即c=2.当C=56时,cos C=-32,此时,c2=a2+b2-2abcos C=28,即c=27.B级能力提升6.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=23,cos A=32,且bc,则b=()A.3B.22C.2D.3解析:由a2=b2+c2-
4、2bccos A,得4=b2+12-6b,解得b=2或4.因为bc,所以b=2.答案:C7.如图所示,ABC的内切圆O切边AC于点E,且AE=1,EC=3.若2B=A+C,则AB的长等于13-1.解析:由于2B=A+C,所以B=3.根据切线长定理可知AF=AE=1,EC=DC=3.设BF=BD=x,则由余弦定理,得cos 3=(x+1)2+(x+3)2-(1+3)22(x+1)(x+3)=12,解得x=13-2,所以AB=AF+BF=1+13-2=13-1.8.在ABC中,AB=2,AC=6,BC=1+3,若AD为边BC上的高,则AD的长是3.解析:因为cos C=BC2+AC2-AB22BC
5、AC=22,所以sin C=22,所以AD=ACsinC=3.9.在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且1+tanAtanB=-2sinCsinB.(1)求A;(2)若a=3,求b+c的最大值.解:(1)因为1+tanAtanB=-2sinCsinB,所以1+sinAcosBcosAsinB=-2sinCsinB,即sinBcosA+sinAcosBcosAsinB=-2sinCsinB,所以sin(A+B)cosAsinB=-2sinCsinB,所以cos A=-12.因为0A,所以A=23.(2)因为a=3,A=23,所以由余弦定理可知a2=b2+c2-2bccos A,即3=b2+c2+bc=(b+c)2-bc.因为bc(b+c)24,所以b+c2,所以b+c的最大值为2.C级挑战创新10.多空题在ABC中,若AB=5,BC=7,AC=8,则cosABC=17,ABBC=-5.解析:由余弦定理,得cosABC=BC2+AB2-AC22BCAB=72+52-82275=17.因为AB与BC的夹角为180-ABC,所以ABBC=|AB|BC|cos(180-ABC)=57（-17）=-5.