1、第八章 立体几何初步章末质量评估(八)(时间:120分钟分值:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.若用A,B表示点,用a表示直线, 表示平面,则下列叙述中正确的是()A.若A,B,则ABB.若A,B,则ABC.若Aa,a,则ABD.若Aa,a,则A答案:D2.下列说法中正确的是()A.棱柱的侧面可以是三角形B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱C.所有的几何体的表面都能展成平面图形D.棱柱的各条棱都相等答案:B3.一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360形成的曲面所围成的几何体是()A.球B.圆柱C.圆台D.
2、两个共底面的圆锥组成的组合体答案:D4.(2020年新高考全国卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面的垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面,在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40,则晷针与点A处的水平面所成角为()A.20B.40C.50D.90答案:B5.如果空间中有三条线段AB,BC和CD,且ABC=BCD,那么直线AB与直线CD的位置关系是()A.ABCDB.AB与CD异面C.AB与CD相交D.ABCD或AB与CD异面或
3、AB与CD相交答案:D6.设m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列命题:若m,n,则mn;若,则;若m,n,则mn;若,则.其中正确命题的序号是()A.B.C.D.答案:C7.现在国际乒乓球赛的用球已由“小球”改为“大球”.若“小球”的直径为38 mm,“大球”的直径为40 mm,则“小球”的表面积与“大球”的表面积之比为()A.1920B.1920C.192202D.193203答案:C8.若正三棱柱有一个半径为3 cm的内切球,则此棱柱的体积是()A.93 cm3B.54 cm3C.27 cm3D.183 cm3答案:B二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每
4、小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.已知等腰直角三角形直角边长为1,若将该三角形绕其某一边旋转一周,则所形成的几何体的表面积可以为()A.2B.(1+2)C.22D.(2+2)答案:AB10.对于不重合的两个平面与,给定下列条件,其中可以判定与平行的有()A.存在平面,使得,都平行于B.存在平面,使得,都垂直于C.内有不共线的三点到的距离相等D.存在异面直线l,m,使得l,l,m,m答案:AD11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱A1D1,A1A,A1B1的中点,下列命题中正确的是()A.EFB1CB.BC1
5、平面EFGC.A1C平面EFGD.异面直线FG,B1C所成角的大小为4答案:ABC12.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,DAB=60,侧面PAD为正三角形,且平面PAD平面ABCD,则下列说法正确的是()A.在棱AD上存在点M,使AD平面PMBB.异面直线AD与PB所成的角为90C.二面角P-BC-A的大小为45D.BD平面PAC答案:ABC三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.底面直径和高都是4 cm的圆柱的侧面面积为16 cm2.14.若四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形,E,F,G分别为PA,PD,CD的中点,则BC与平面EF
6、G的位置关系为平行.15.若棱锥的高为16,底面积为512,平行于底面的截面面积为50,则截得的棱台的高为11.16.(2020年新高考全国卷)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,BAD=60.以D1为球心,5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为22.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(10分)某圆柱有一个内接长方体ABCD-A1B1C1D1,该长方体的体对角线长是102 cm,该圆柱的侧面展开图为矩形,此矩形的面积是100 cm2,求该圆柱的体积.解:设该圆柱底面半径为r cm,高为h cm.如图所示,则该圆柱轴截面长方形
7、的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长,(2r)2+h2=(102)2,2rh=100,所以r=5,h=10.所以V圆柱=Sh=r2h=5210=250(cm3).18.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,已知ABC是等腰直角三角形,ABC=90,PAC是直角三角形,PAC=90,平面PAC平面ABC.求证:平面PAB平面PBC.证明:因为平面PAC平面ABC,PAAC,平面ABC平面PAC=AC,PA平面PAC,所以PA平面ABC.因为BC平面ABC,所以PABC.因为ABBC,ABPA=A,AB平面PAB,PA平面PAB,所以BC平面PAB,BC平面PBC,所以平面PAB平面PBC.1
8、9.(12分)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,F,F1分别是AC,A1C1的中点.求证:(1)平面AB1F1平面C1BF.(2)平面AB1F1平面ACC1A1.证明:(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,因为F,F1分别是AC,A1C1的中点,所以AF1C1F.易证得B1F1BF.因为B1F1AF1=F1,C1FBF=F,所以平面AB1F1平面C1BF.(2)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面A1B1C1,所以B1F1AA1.易证得B1F1A1C1.因为A1C1AA1=A1,所以B1F1平面ACC1A1.因为B1F1平面AB1F1,所以平面AB1F1平面ACC1A1.20.
9、(12分)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,BCD=60,E是CD的中点,PA底面ABCD,PA=3.(1)求证:平面PBE平面PAB.(2)求二面角A-BE-P的大小.(1)证明:如图所示,连接BD.由四边形ABCD是菱形,且BCD=60,知BCD是等边三角形.因为E是CD的中点,所以BECD.因为ABCD,所以BEAB.因为PA平面ABCD,BE平面ABCD,所以PABE.因为PAAB=A,PA平面PAB,AB平面PAB,所以BE平面PAB.因为BE平面PBE,所以平面PBE平面PAB.(2)解:由(1)知BE平面PAB,PB平面PAB,所以PBBE.因为ABBE
10、,所以PBA是二面角A-BE-P的平面角.在RtPAB中,tanPBA=PAAB=31=3,所以PBA=60.故二面角A-BE-P的大小是60.21.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=AD=PA=PB=2,PD=22.(1)求点B到面PAD的距离.(2)取AB中点O,过点O作OEBD于点E.求证:PEO为二面角P-BD-A的平面角.求PEO的正切值.(1)解:因为PA=PB=AB=2,PA=AD=2,PD=22,所以PAB为等边三角形,PA2+AD2=PD2 ,所以ADPA.因为ADAB,PAAB=A,PA平面PAB,AB平面PAB,所以AD平面PAB.所以
11、SPAB=122232=3,SPAD=1222=2.设点B到平面PAD的距离为h,由V三棱锥B-PAD=V三棱锥D-PAB,得13SPADh=13SPABAD,即132h=1332,所以h=3.(2)证明:如图所示,连接PO.在PAB中,PA=PB=AB=2,所以POAB.由(1)知AD平面PAB,PO平面PAB,所以POAD.因为ABAD=A,AB平面ABCD,AD平面ABCD,所以PO平面ABCD.因为BD平面ABCD,所以POBD.因为OEBD,POOE=O,PO平面POE,OE平面POE,所以BD平面POE,所以BDPE,所以PEO为二面角P-BD-A的平面角.解:PO=PA2-AO2
12、=3.由AB=AD可得四边形ABCD为正方形,则OE=14AC=1422=22.在POE中,POE=90,所以tanPEO=POOE=322=6.22.(12分)如图所示,在四棱锥S-ABCD中,BAD=CDA=CBD=2ABD=90,平面SBD平面ABCD,且SBD是边长为2的等边三角形.(1)求证:CBDS.(2)过点S作STBD,使得四边形STDB为菱形,连接TA,TD,TC,得到的图形如图所示,已知平面BMN平面ADT,且直线DC平面BMN=M,直线TC平面BMN=N,求三棱锥D-MNB的体积.(1)证明:因为CBD=90,所以CBBD.因为平面SBD平面ABCD=BD,平面SBD平面
13、ABCD,CB平面ABCD,所以CB平面SBD.因为SD平面SBD,所以CBDS.(2)解:如图,取BD的中点为O,连接SO,SM,TB,TM.由平面BMN平面ADT,得ADBM,DTMN.因为CDA=90,所以BMD=90,即BMCD.因为BAD=CDA=90,所以ABCD.因为CBD=2ABD=90,所以ABD=CDB=45,即CBD为等腰直角三角形.所以DM=MC=1.因为在CDT中,MNDT,M是DC的中点,所以N是TC的中点.所以V三棱锥D-MNB=V三棱锥N-DMB=12V三棱锥T-DMB=12V三棱锥S-DMB.因为DS=DB=BS,所以SODB.因为平面SBD平面ABCD,所以SO平面ABCD,所以V三棱锥D-MNB=12V三棱锥S-DMB=1213SOSBDM=166212=624.