1、第三章 导数及其应用高考导航考纲要求备考策略1.导数的概念及其几何意义(1)了解导数的概念的实际背景；(2)通过函数图象直观理解导数的几何意义.2.导数的运算(1)能根据导数的定义求函数 yC(C 为常数)，yx，yx2，yx3，y x，y1x的导数；(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单的复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的导数.3.导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；
2、会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).4.生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题.5.定积分与微积分基本定理(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；(2)了解微积分基本定理的含义.导数是研究函数的重要工具，高考中一般以选择、填空题的形式考查导数的简单运算，导数的几何意义及微积分基本定理，属中低档题，以解答题的形式考查导数与函数、不等式、方程等结合的综合题，属于高档题.复习时采用以下应对策略：1.应掌握基本初等函数的导数公式，会求简单的复合函数的导数，这是导数运算的基础；
3、加强对利用导数的几何意义求曲线斜率的学习，这是高考考查的热点；掌握定积分的性质及微积分基本定理，能熟练应用定积分求平面图形的面积.2.认真掌握导数与函数单调性、极值的关系，理解导数工具性的作用.由于考查导数应用的题目解答题较多，所以应加强步骤规范化的训练.3.专项训练利用导数求函数单调区间及最值、结合单调性与最值求参数范围、证明不等式、通过构造函数转换变量求解最值问题，以便达到识型、合法、能解的目的.知识网络3.1 导数的概念与运算 考点诠释重点：导数的概念，导数的几何、物理意义及其应用.难点：对导数定义的理解，特别是对表达式 f(x0)f(x0 x)f(x0)x的理解及运用；简单复合函数求导
4、.典例精析题型一 求已知函数的导数【例 1】求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yxx21x1x3；(3)yxsinx2cosx2.【思路分析】利用求导公式和导数的运算法则可求解.【解析】(1)y(exln x)exln xex1x exln x1x.(2)因为 yx311x2，所以 y3x22x3.(3)先使用三角公式进行化简，得 yxsin x2cos x2x12sin x，所以 yx12sin x x12(sin x)112cos x.【方法归纳】理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件.运算过程出现失误，原因是不能正确理解求导法则，特别是商的求导法则.求
5、导过程中符号判断不清，也是导致错误的原因.从本例可以看出，深刻理解和掌握导数的运算法则，再结合给定函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算.【举一反三】1.求下列函数的导数：(1)y(x22x3)e2x；(2)y(x1)1x1.【解析】(1)y(2x2)e2x2(x22x3)e2x 2(x2x2)e2x.(2)先化简，y x 1x x 1x1xx，所以 y12x12x 12 x11x.题型二 导数的几何意义【例 2】已知曲线 y13x343.(1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程；(2)求斜率为 4 的曲线的切线方程.【思路分析】先求导数，再求斜率，最后求直线方程.【解析】(1)因为点
6、P(2,4)在曲线 y13x343上，且 yx2，所以在点 P(2,4)处的切线的斜率 ky|x24.所以曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y44(x2)，即 4xy40.(2)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率 kx204，所以 x02.所以切点为(2,4)或2，43，所以切线方程为 y44(x2)或 y434(x2)，即 4xy40 或 12x3y200.【方法归纳】1.求曲线切线方程的步骤(1)求出函数 yf(x)在点 xx0 处的导数，即曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处切线的斜率；(2)由点斜式方程求得切线方程为 yy0f(x0)(xx0).2.求曲线的切线方程需注意
7、两点(1)当曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线平行于 y 轴时(此时导数不存在)，切线方程为xx0；(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解.【举一反三】2.已知函数 f(x)2 x1(x1)，曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线l 分别交 x 轴和 y 轴于 A，B 两点，O 为坐标原点.(1)求 x01 时，切线 l 的方程；(2)若 P 点为23，2 33，求AOB 的面积.【解析】(1)f(x)1x1，则 f(x0)1x01，则曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)的切线方程为 yf(x0)1x01(xx0)，即 yxx01 x02x01.
8、所以当 x01 时，切线 l 的方程为 x 2y30.(2)由(1)知，曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线方程为 yxx01 x02x01.当 x0 时，y x02x01；当 y0 时，xx02.所以 SAOB12x02x01(x02)(x02)22 x01，当 x023时，SAOB 232 222318 39.题型三 导数几何意义的应用【例 3】已知 a 为常数，若曲线 yax23xln x 存在与直线 xy10 垂直的切线，则实数 a 的取值范围是()A.12，B.，12 C.1，)D.(，1【思路分析】根据已知直线，求出切线的斜率，从而求实数 a 的取值范围.【解析】A.
9、由题意知曲线上存在某点的导数为 1，所以 y2ax31x1 有正根，即 2ax22x10 有正根.当 a0 时，显然满足题意；当 a0 时，需满足 0，解得12a0.综上，a12.【方法归纳】导数几何意义应用的三个方面 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点 A(x0，f(x0)求斜率 k，即求该点处的导数值 kf(x0)；(2)已知斜率 k，求切点 A(x1，f(x1)，即解方程 f(x1)k；(3)已知过某点 M(x1，f(x1)(不是切点)的切线斜率为 k 时，常需设出切点 A(x0，f(x0)，利用 kf(x1)f(x0)x1x0求解.【举一反三
10、】3.已知定义在正实数集上的函数 f(x)12x22ax，g(x)3a2ln xb，其中 a0，设两曲线 yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同，试用 a 表示 b.【解析】设 yf(x)与 yg(x)(x0)在公共点(x0，y0)处的切线相同，因为 f(x)x2a，g(x)3a2x，由题意得，f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)，即由 x02a3a2x0 得，x0a 或 x03a(舍去)，即有 b12a22a23a2ln a52a23a2ln a.体验高考(2015 新课标)已知函数 f(x)ax3x1 的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则 a .【解析】1
11、.由题意可得 f(x)3ax21，所以 f(1)3a1，又 f(1)a2，所以 f(x)ax3x1 的图象在点(1，f(1)处的切线方程为 y(a2)(3a1)(x1)，又此切线过点(2,7)，所以 7(a2)(3a1)(21)，解得 a1.【举一反三】(2015 新课标)已知曲线 yxln x 在点(1,1)处的切线与曲线 yax2(a2)x1 相切，则 a 8.【解析】f(x)xln x 在点(1,1)处的切线方程为 y12(x1)，即 y2x1.设直线 y2x1 与曲线 yax2(a2)x1 的切点为 P(x0，y0)，则 y|2ax0a22，得 a(2x01)0，所以 a0 或 x01
12、2，又 ax20(a2)x012x01，即 ax20ax020，当 a0 时，显然不满足此方程，所以 x012，此时 a8.3.2 导数的应用(一)考点诠释重点：函数的单调性与导数的关系，极值与最值的求法.难点：f(x)与 f(x)在某个区间上单调性的关系.典例精析题型一 导数与函数的单调性【例 1】已知函数 f(x)axxln x，且图象在点处的切线斜率为 1(e 为自然对数的底数).(1)求实数 a 的值；(2)设 g(x)f(x)xx1，求 g(x)的单调区间.【思路分析】(1)先求导，再列方程求 a；(2)先确定函数的定义域，再利用导数求单调区间.【解析】(1)f(x)axxln x，
13、f(x)a1ln x，依题意 f 1e a1，所以 a1.(2)因为 g(x)f(x)xx1 xln xx1，所以 g(x)x1ln x(x1)2.设(x)x1ln x，则(x)11x.当 x1 时，(x)11x0，(x)是增函数，x1，(x)(1)0，即当 x1 时，g(x)0，故 g(x)在(1，)上为增函数；当 0 x1 时，(x)11x0，(x)是减函数，x(0,1)，(x)(1)0，即当 0 x1 时，g(x)0，故 g(x)在(0,1)上为增函数.所以 g(x)的单调递增区间为(0,1)，(1，).【方法归纳】1.导数法求函数单调区间的一般步骤(1)确定函数 f(x)的定义域；(2
14、)求导数 f(x)；(3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f(x)0 和 f(x)0；(4)根据(3)的结果确定函数 f(x)的单调区间.2.导数法证明函数 f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求 f(x)；(2)确认 f(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f(x)0 时为增函数；f(x)0 时为减函数.【举一反三】1.已知函数 f(x)aln(x1)12x2ax1(a0).(1)求函数 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数 yf(x)的单调区间.【解析】(1)f(0)1，f(x)ax1xax(xa1)x1，f(0)0，所以函数 yf(x)在点(0，f(0)
15、处的切线方程为 y1.(2)函数的定义域为(1，).令 f(x)0，得x(xa1)x10，解得 x10，x2a1，当 a1 时，列表如下：x(1,0)0(0，a1)a1(a1，)f(x)0 0 f(x)极大 极小 可知 f(x)的单调递减区间是(0，a1)，单调递增区间是(1,0)和(a1，)；当 0a1 时，列表如下：x(1，a1)a1(a1,0)0(0，)f(x)00f(x)极大 极小 可知 f(x)的单调递减区间是(a1,0)，单调递增区间是(1，a1)和(0，)；当 a1 时，f(x)0，可知函数 f(x)在(1，)上单调递增.题型二 已知函数的单调性求参数范围【例 2】若函数 f(x
16、)13x312ax2(a1)x1 在区间 1,4上为减函数，在区间6，)上为增函数，试求 a 的取值范围.【思路分析】将问题转化为不等式的恒成立问题，利用函数的最值方法求解.【解析】解法一：对 f(x)求导，得 f(x)x2axa1.若 f(x)在区间1,4上为减函数，则 f(x)0 在区间1,4上恒成立，从而 f(x)在区间1,4上的最大值小于等于 0.即 a252，f(4)164aa10或a252，f(1)1aa10，解得 a5.若 f(x)在区间6，)上为增函数，则 f(x)0 在区间6，)上恒成立，从而 f(x)在区间6，)上的最小值大于等于 0.即 a26，f a2 a24 a22
17、a10或 a26，f(6)366aa10，解得 a7.综上，a 的取值范围是5,7.解法二：f(x)(x1)x(a1)，因为 f(x)在区间1,4上为减函数，在区间6，)上为增函数，所以 4a16，即 5a7.所以 a 的取值范围为5,7.【方法归纳】已知函数单调性求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则 f(x)0；若函数单调递减，则 f(x)0”来求解.【举一反三】2.已知 aR，函数 f(x)(x2ax)ex(xR，e 为自然对数的底数).(1)当 a2
18、时，求函数 f(x)的单调递增区间；(2)是否存在实数 a，使函数 f(x)为 R 上的减函数，若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】(1)当 a2 时，f(x)(x22x)ex，所以 f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令 f(x)0，即(x22)ex0，得x220，解得 2x 2.所以函数 f(x)的单调递增区间是(2，2).(2)若函数 f(x)在 R 上单调递减，则 f(x)0 对 xR 都成立，即x2(a2)xaex0 对 xR 都成立.因为 ex0，所以 x2(a2)xa0 对 xR 都成立.所以(a2)24a0，即 a240，这是不可能的.
19、故不存在实数 a 使函数 f(x)在 R 上单调递减.题型三 导数与函数的极值、最值【例 3】已知函数 f(x)xln x.(1)求函数 f(x)的极值点；(2)设函数 g(x)f(x)a(x1)，其中aR，求函数 g(x)在1，e上的最小值.(e2.718 28)【思路分析】本题主要考查利用导数求函数的极值与最值，解题的关键是利用函数的极值点讨论函数的单调性.【解析】(1)f(x)ln x1，x0，而 f(x)0ln x10 x1e，f(x)0ln x100 x1e，所以 f(x)在0，1e 上单调递减，在1e，上单调递增.所以 x1e是函数 f(x)的极小值点，极大值点不存在.(2)g(x
20、)xln xa(x1)，则 g(x)ln x1a.g(x)0ln x1a00 xea1，g(x)0 xea1，所以 g(x)在(0，ea1)上单调递减，在(ea1，)上单调递增.当 ea11，即 a1 时，g(x)在1，e上单调递增，所以 g(x)在1，e上的最小值为 g(1)0.当 1ea1e，即 1a2，g(x)在1，ea1上单调递减，在(ea1，e上单调递增.所以 g(x)在1，e上的最小值为 g(ea1)aea1.当 eea1，即 a2 时，g(x)在1，e上单调递减，所以 g(x)在1，e上的最小值为 g(e)eaae.综上，当 a1 时，g(x)的最小值为 0；当 1a2 时，g(
21、x)的最小值为 aea1；当 a2 时，g(x)的最小值为 aeae.【方法归纳】研究极值、最值问题应注意的两个问题(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后要注意验证，并且在利用极值点求参数的范围时，需注意验证取等号时的情况；(2)求函数的最值时，要根据单调性求出极值，并且和区间端点的函数值相比较，若其中某些量不能确定，就要讨论.【举一反三】3.已知函数 f(x)(xk)ex.(1)求 f(x)的单调区间；(2)求 f(x)在区间0,1上的最小值.【解析】(1)f(x)(xk1)ex.令 f(x)0，得 xk1.f(x)与 f(x)的情况如下：x(，k1)k1(k1
22、，)f(x)0 f(x)ek1 所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，).(2)当 k10，即 k1 时，函数 f(x)在0,1上单调递增，所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(0)k；当 0k11，即 1k2 时，由(1)知 f(x)在0，k1上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(k1)ek1；当 k11 时，即 k2，函数 f(x)在0,1上单调递减，所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(1)(1k)e.综上，当 k1 时，f(x)的最小值为k；当 1k2 时，f(x)的最小值为ek1；当 k2 时，f(x)的
23、最小值为(1k)e.体验高考(2015 新课标)设函数 f(x)emxx2mx.(1)证明：f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增；(2)若对于任意 x1，x21,1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求 m 的取值范围.【解析】(1)证明：f(x)m(emx1)2x.若 m0，则当 x(，0)时，emx10，f(x)0；当 x(0，)时，emx10，f(x)0.若 m0，则当 x(，0)时，emx10，f(x)0；当 x(0，)时，emx10，f(x)0.所以，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增.(2)由(1)知，对任意的 m，f(x)在1,0上单调递减，在0,1
24、上单调递增，故 f(x)在 x0处取得最小值.所以对于任意 x1，x21,1，|f(x1)f(x2)|e1 的充要条件是 f(1)f(0)e1，f(1)f(0)e1，即emme1，emme1.设函数 g(t)ette1，则 g(t)et1.当 t0 时，g(t)0；当 t0 时，g(t)0.故 g(t)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增.又 g(1)0，g(1)1e2e0，故当 t1,1时，g(t)0.所以当 m1,1时，g(m)0，即 emme1；当 m1 时，g(m)0，即 emme1；当 m1 时，g(m)0，即 emme1.综上，m 的取值范围是1,1.【举一反三】(2015
25、重庆)设函数 f(x)3x2axex(aR).(1)若 f(x)在 x0 处取得极值，试确定 a 的值，并求此时曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若 f(x)在3，)上为减函数，求 a 的取值范围.【解析】(1)对 f(x)求导得，f(x)(6xa)ex(3x2ax)ex(ex)23x2(6a)xaex，因为 f(x)在 x0 处取得极值，所以 f(0)0，即 a0.当 a0 时，f(x)3x2ex，f(x)3x26xex，故 f(1)3e，f(1)3e，从而 f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y3e3e(x1)，化简得 3xey0.(2)由(1)知 f(x)3x2
26、(6a)xaex.令 g(x)3x2(6a)xa，由 g(x)0，解得 x16a a2366，x26a a2366.当 xx1 时，g(x)0，即 f(x)0，故 f(x)为减函数；当 x1xx2 时，g(x)0，即 f(x)0，故 f(x)为增函数；当 xx2 时，g(x)0，即 f(x)0，故 f(x)为减函数.由 f(x)在3，)上为减函数，知 x26a a23663，解得 a92，故 a 的取值范围为92，.3.3 导数的应用(二)考点诠释重点：会利用导数证明不等式，研究函数零点(方程根)的个数问题，解决实际生活中的优化问题.难点：构造新函数的方法，实际问题中函数关系式的确立等.典例精
27、析题型一 利用导数证明不等式【例 1】已知 mR，函数 f(x)(x2mxm)ex.(1)若函数 f(x)没有零点，求实数 m 的取值范围；(2)当 m0 时，求证：f(x)x2x3.【思路分析】(1)函数 f(x)无零点，即 x2mxm0 无解，利用 0 解得 m 的取值范围；(2)令 g(x)f(x)x2x3，证明 g(x)的最小值大于或等于 0 即可.【解析】(1)由已知条件 f(x)0 无解，即 x2mxm0 无实根，则 m24m0，解得 0m1 时，f(x)kx1 时，f(x)kx0 恒成立，即 ln xx2kx0 恒成立，等价于当 x1 时，k1 时，h(x)0，函数 h(x)在(
28、)1，上单调递增，故 h(x)h(1)0.从而，当 x1 时，g(x)0，即函数 g(x)在()1，上单调递增，故 g(x)g(1)12.因此，当 x1 时，k0 时，方程 f(x)g(x)2 有唯一解.【思路分析】(1)根据 f(x)，g(x)的单调性，求出 a 的取值范围，从而确定 a 的值，代入求得其解析式；(2)要证方程有唯一解，把它转化为函数有唯一零点，数形结合可证.【解析】(1)因为 f(x)2xax，依题意得，f(x)0，x(1,2，即 a2x2，x(1,2.因为上式恒成立，所以 a2.又 g(x)1 a2 x，依题意得，g(x)0，x(0,1)，即 a2 x，x(0,1).因为
29、上式恒成立，所以 a2.由得 a2.所以 f(x)x22ln x，g(x)x2 x.(2)证明：由(1)可知，方程 f(x)g(x)2，即 x22ln xx2 x20.设 h(x)x22ln xx2 x2，则 h(x)2x2x1 1x，当 h(x)0 时，(x1)(2x x2x x2)0，解得 x1.令 h(x)0，由 x0，解得 x1.令 h(x)0，解得 0 x0 且 x1 时，h(x)0，所以 h(x)0 在(0，)上只有一个解，即当 x0 时，方程 f(x)g(x)2有唯一解.【方法归纳】研究方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象
30、判断方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用.【举一反三】2.已知函数 f(x)ex(e 为自然对数的底数)，g(x)ln(f(x)a)(a 为常数)，g(x)是实数集 R 上的奇函数.(1)求证：f(x)x1(xR)；(2)讨论关于 x 的方程：ln g(x)g(x)(x22exm)(mR)的根的个数.【解析】(1)证明：设 F(x)f(x)x1，则 F(x)ex1，因为当 x(，0)时，F(x)0，当 x(0，)时，F(x)0，所以 F(x)minF(0)0，所以 F(x)0，即 f(x)x1.(2)因为 g(x)是实数集 R 上的奇函数，所以 a0，g(x)x，所以方程为 l
31、n xx(x22exm)，即ln xx x22exm.设 h(x)ln xx，则由 h(x)1ln xx20，得 xe.因为当 x(0，e)时，h(x)0，当 x(e，)时，h(x)0，所以 h(x)h(e)1e.设 l(x)x22exm，则 l(x)e22e2mme2，所以当 me21e时，原方程无解；当 me21e时，方程有且只有一根 xe；当 me21e时，方程有两根.题型三 用导数解决生活中的优化问题【例 3】某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为803 立方米，且 l2r.假设该容器的建造费用仅与其表
32、面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 c(c3)千元.设该容器的建造费用为 y 千元.(1)写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的 r.【思路分析】(1)根据球的表面积公式和圆柱的表面积公式求出容器的表面积，再根据建造费用列出 y 关于 r 的表达式；(2)利用导数求最值.【解析】(1)设容器的容积为 V，由题意知 Vr2l43r3，又 V803，故 lV43r3r2803r243r4320r2r.由于 l2r，因此 0r2.所以建造费用 y2rl34r2c 2r4320r2r 34r2c，因此 y4
33、(c2)r2160r，0r2.(2)由(1)得，y8(c2)r160r2 8(c2)r2r3 20c2，0r2.由于 c3，所以 c20.当 r3 20c20 时，r320c2.令320c2m，则 m0，所以 y8(c2)r2(rm)(r2rmm2).当 0m2，即 c92时，当 rm 时，y0；当 r(0，m)时，y0；当 r(m,2时，y0.所以 rm 是函数 y 的极小值点，也是最小值点.当 m2，即 3c92时，当 r(0,2时，y0，函数单调递减，所以 r2 是函数 y 的最小值点.综上所述，当 3c92，建造费用最小时，r2；当 c92，建造费用最小时，r320c2.【方法归纳】在
34、求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合，用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.【举一反三】3.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y ax310(x6)2，其中 3x6，a 为常数.已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克.(1)求 a 的值；(2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利
35、润最大.【解析】(1)因为 x5 时，y11，所以a21011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y 2x310(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)(x3)2x310(x6)2 210(x3)(x6)2，3x6.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6).于是，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增 极大值 42 单调递减 由上表可得，x4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.所以，当 x4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42.即当销售价
36、格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.体验高考(2015 福建)已知函数 f(x)ln(1x)，g(x)kx(kR).(1)证明：当 x0 时，f(x)x；(2)证明：当 k1 时，存在 x00，使得对任意的 x(0，x0)，恒有 f(x)g(x)；(3)确定 k 的所有可能取值，使得存在 t0，对任意的 x(0，t)，恒有|f(x)g(x)|x2.【解析】解法一：(1)证明：令 F(x)f(x)xln(1x)x，x(0，)，则有 F(x)11x1 xx1.当 x(0，)时，F(x)0，所以 F(x)在(0，)上单调递减，故当 x0 时，F(x)F(0)0，即当 x0 时，
37、f(x)x.(2)证明：令 G(x)f(x)g(x)ln(1x)kx，x(0，)，则有 G(x)1x1kkx(1k)x1.当 k0 时，G(x)0，G(x)在(0，)上单调递增，所以 G(x)G(0)0，所以对任意正实数 x0 均满足题意.当 0k1 时，令 G(x)0，得 x1kk 1k10，取 x01k1，对任意 x(0，x0)，有 G(x)0，从而 G(x)在(0，x0)上单调递增，所以 G(x)G(0)0，即 f(x)g(x).综上，当 k1 时，总存在 x00，使得对任意 x(0，x0)，恒有 f(x)g(x).(3)当 k1 时，由(1)知，x(0，)，g(x)xf(x)，故 g(
38、x)f(x)，|f(x)g(x)|g(x)f(x)kxln(1x)，令 M(x)kxln(1x)x2，x(0，)，则有 M(x)k 11x2x2x2(k2)xk1x1.故当 x0，k2(k2)28(k1)4时，M(x)0，M(x)在0，k2(k2)28(k1)4上单调递增，故 M(x)M(0)0，即|f(x)g(x)|x2.所以满足题意的 t 不存在.当 k1 时，由(2)知，存在 x00，使得当 x(0，x0)时，f(x)g(x)，此时|f(x)g(x)|f(x)g(x)ln(1x)kx.令 N(x)ln(1x)kxx2，x0，)，则有 N(x)1x1k2x2x2(k2)x1kx1，当x0，
39、(k2)(k2)28(1k)4时，N(x)0，N(x)在0，(k2)(k2)28(1k)4上单调递增，故 N(x)N(0)0，即 f(x)g(x)x2.记 x0与(k2)(k2)28(1k)4中的较小者为x1，则当 x(0，x1)时，恒有|f(x)g(x)|x2.故满足题意的 t 不存在.当 k1 时，由(1)知，当 x0 时，|f(x)g(x)|g(x)f(x)xln(1x).令 H(x)xln(1x)x2，x(0，)，则有 H(x)1 11x2x2x2xx1.当 x0 时，H(x)0，所以 H(x)在(0，)上单调递减，故 H(x)H(0)0.故当 x0 时，恒有|f(x)g(x)|x2.
40、此时，任意正实数 t 均满足题意.综上可知，k1.解法二：(1)、(2)同解法一.(3)当 k1 时，由(1)知，x(0，)，g(x)xf(x)，故|f(x)g(x)|g(x)f(x)kxln(1x)kxx(k1)x.令(k1)xx2，解得 0 xk1.从而得到，当 k1 时，对于 x(0，k1)，恒有|f(x)g(x)|x2，故满足题意的 t 不存在.当 k1 时，取 k1k12，从而 kk11，由(2)知，存在 x00，使得对任意的 x(0，x0)，f(x)k1xkxg(x)，此时|f(x)g(x)|f(x)g(x)(k1k)x1k2 x.令1k2 xx2，解得 0 x1k2，此时 f(x
41、)g(x)x2.记 x0 与1k2 的较小者为 x1，当 x(0，x1)时，恒有|f(x)g(x)|x2.故满足题意的 t 不存在.当 k1 时，由(1)知，当 x0 时，|f(x)g(x)|g(x)f(x)xln(1x)，令 M(x)xln(1x)x2，x(0，)，则有 M(x)1 11x2x2x2xx1.当 x0 时，M(x)0，所以 M(x)在0，)上单调递减，故 M(x)M(0)0.故当 x0 时，恒有|f(x)g(x)|x2，此时，任意正实数 t 均满足题意.综上可知，k1.【举一反三】(2015 新课标)已知函数 f(x)x3ax14，g(x)ln x.(1)当 a 为何值时，x
42、轴为曲线 yf(x)的切线；(2)用 minm，n 表示 m，n 中的最小值，设函数 h(x)minf(x)，g(x)(x0)，讨论 h(x)的零点的个数.【解析】(1)f(x)3x2a.设曲线 yf(x)与 x 轴相切于点 P(x0,0)，则 f(x0)0，f(x0)0，所以x30ax0140，3x20a0，解得 x012，a34.因此当 a34时，x 轴为曲线 yf(x)的切线.(2)当 x(1，)时，g(x)ln x0，所以函数 h(x)min f(x)，g(x)g(x)0，故 h(x)在(1，)上无零点.当 x1 时，若 a54，则 f(1)a540，所以 h(1)minf(1)，g(
43、1)g(1)0，故 x1 是函数 h(x)的一个零点；若 a54，则 f(1)a540，所以 h(1)min f(1)，g(1)f(1)0，故 x1 不是函数 h(x)的零点；当 x(0,1)时，g(x)ln x0，因此只需要考虑 f(x)在(0,1)内的零点个数.当 a3 或 a0 时，f(x)3x2a 在(0,1)内无零点，因此 f(x)在区间(0,1)内单调，而 f(0)14，f(1)a54，所以当 a3 时，函数 f(x)在区间(0,1)内有一个零点；当 a0 时，函数 f(x)在区间(0,1)内没有零点.当3a0 时，函数 f(x)在0，a3内单调递减，在a3，1 内单调递增，故当
44、xa3 时，f(x)取得最小值 f a32a3a3 14.若 f a30，即34a0，则 f(x)在(0,1)内无零点.若 f a30，即 a34，则 f(x)在(0,1)内有唯一零点.若 f a30，即3a34，因为 f(0)14，f(1)a54，所以当54a34或 a54时，h(x)有一个零点；当 a34或 a54时，h(x)有两个零点；当54a34时，h(x)有三个零点.3.4 定积分与微积分基本定理 考点诠释重点：定积分的概念、几何意义，会求简单函数的定积分，利用定积分解决一些简单问题.难点：利用定积分求面积，定积分的应用.典例精析题型一 求常见函数的定积分【例 1】(1)(exx)d
45、x 等于()A.1B.e1C.e1D.e12(2)1x dx 等于()A.2ln 2B.2ln 2C.ln 2D.ln 2(3)设 f(x)若 f(f(1)1，则 a .【思路分析】利用常用函数的求导公式及定积分的性质，找到被积函数的原函数，即可求解.【解析】(1)D.因为(ex)ex，(x2)2x，所以(e 12)(e00)1e2.故选 D.(2)D.ln 4ln 2ln 22ln 22ln 2ln 2ln 2.故选 D.(3)1.因为 f(1)lg 10，所以 ff(1)f(0)0.所以 a31，即 a1.【方法归纳】(1)一般情况下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值；(2)
46、当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分；(4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论：【举一反三】1.求下列定积分【解析】题型二 利用定积分的几何意义求定积分【例 2】x22xdx .【思路分析】此题直接求原函数比较繁琐，应考虑其图形特点用几何意义求解.【解析】4.x22xdx 表示 yx22x与 x0，x1 及 y0 所围成的图形的面积.由 y x22x得(x1)2y21(y0)，又因为 0 x1，所以 y x22x与 x0，x1 及 y0 所围成的图形为14个圆，其面积为4.所以x22xdx4.【方法归纳】利用几何意
47、义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分；(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小.【举一反三】2.【解析】,而表示以（-1，0）为圆心，以 2 为半径的圆在3x1 时的14圆周与 x轴，x1 围成的图形的面积，故，所以原式8.题型三 利用定积分计算曲边梯形的面积【例 3】求曲线 yx2 与直线 yx，y3x 围成的图形的面积.【思路分析】先画出图形，找出被积函数及积分的上、下限，然后用牛顿莱布尼兹公式求解.【解析】在同一直角坐标系下作出曲线 yx2，直线 yx，y3x 的图象，如图所示.所求面积为图中阴
48、影部分的面积.解方程组yx2，yx，得交点(1,1)，解方程组yx2，y3x，得交点(3,9)，因此，所求图形的面积为 【方法归纳】求曲边梯形的面积的一般步骤(1)画图；(2)解方程组，求出交点坐标，确定积分的上、下限和被积函数；(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和或差；(4)用牛顿莱布尼兹公式求定积分；(5)作答.【举一反三】3.曲线 yx22x 与直线 x1，x1 以及 x 轴所围图形的面积为(A)A.2B.83C.43D.23【解析】因为当1x0 时，函数 yx22x 的图象在 x 轴上方，当 0 x1 时，函数y x2 2x的 图 象在x轴 下 方，所以 所 求 面 积为题型四
49、 定积分在物理中的应用【例 4】一物体按规律 xbt3 做直线运动，式中 x 为时间 t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由 x0 运动到 xa 时阻力所做的功.【思路分析】阻力所做的功就是阻力对路程的定积分.【解析】物体的速度为 v(bt3)3bt2.媒质阻力 F 阻kv2k(3bt2)29kb2t4，其中 k 为比例常数，且 k0.当 x0 时，t0；当 xa 时，tt1 ab，又 dsvdt，故阻力所做的功为【方法归纳】定积分在物理学中的应用应注意这三个公式.【举一反三】4.一辆汽车的速度时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为 900 米.【解析】根据题意，
50、v 与 t 的函数关系式如下：v(t)32t，0t20，50t，20t40，10，40t60.所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为 体验高考(2015 天津)曲线 yx2 与直线 yx 所围成的封闭图形的面积为 .【解析】16.曲线 yx2 与直线 yx 所围成的封闭图形如图中阴影部分所示，由yx，yx2，解得 x0 或 x1，所以【举一反三】(2015 陕西)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 1.2.【解析】以 AD 的中点为原点 O，AD 所在直线为 x 轴，过点 O 且与线段 AD 垂直的直线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.过点 B 作 BEx 轴于点 E，因为BAE45，BE2，所以 AE2，又 OE5，所以 A(3,0)，B(5,2).设抛物线的方程为 x22py(p0)，代入点 B 的坐标，得 p254，故抛物线的方程为 y 225x2.从而曲边三角形 OEB 的面积为，又 SABE12222，故曲边三角形 OAB 的面积为43，从而图中阴影部分的面积为83.又易知等腰梯形 ABCD 的面积为6102216，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 1616831.2.
