1、3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离学 习 目 标核 心 素 养1.了解点到直线距离公式的推导方法(重点)2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题(难点)3.初步掌握用解析法研究几何问题(重点、难点)通过点到直线距离、两条平行线间距离公式的学习，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学学科素养1点到直线的距离(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d思考：在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？提示要求直线的方程应化为一般式2两平行直线间的距离(1)概念：夹
2、在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离(2)公式：两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20之间的距离d思考：在应用两条平行线间的距离公式时对直线方程有什么要求？提示两条平行直线的方程都是一般式，且x, y对应的系数应分别相等1原点到直线x2y50的距离为()A1BC2DDd.2两条平行线l1：3x4y70和l2：3x4y120的距离为()A3 B2 C1 D. Cd1.3分别过点A(2，1)和点B(3，5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是_5d|3(2)|5.4若第二象限内的点P(m，1)到直线xy10的距离为，则m的值为_4由，得m4或m0，又m
3、0，m4.点到直线的距离【例1】求点P(3，2)到下列直线的距离：(1)yx；(2)y6；(3)x4.解(1)把方程yx写成3x4y10，由点到直线的距离公式得d.(2)法一：把方程y6写成0xy60，由点到直线的距离公式得d8.法二：因为直线y6平行于x轴，所以d|6(2)|8.(3)因为直线x4平行于y轴，所以d|43|1.点到直线距离的求解方法(1)求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式(2)当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合1已知ABC三个顶点坐标A(1，3)，B(3，0)，C(1，2)，求ABC的
4、面积S.解由直线方程的两点式得直线BC的方程为，即x2y30.由两点间距离公式得|BC|2，点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，d，所以S|BC|d24，即ABC的面积为4.两条平行线间的距离【例2】(1)两直线3xy30和6xmy10平行，则它们之间的距离为_(2)已知直线l与两直线l1：2xy30和l2：2xy10的距离相等，则l的方程为_(1)(2)2xy10(1)由题意，得，m2，将直线3xy30化为6x2y60，由两平行线间距离公式，得.(2)设直线l的方程为2xyC0，由题意，得，解得C1，直线l的方程为2xy10.求两条平行线间距离的方法(1)求两平行线间的距离，一般是直接利
5、用两平行线间的距离公式，当直线l1：ykxb1，l2：ykxb2，且b1b2时，d；当直线l1：AxByC10，l2：AxByC20且C1C2时，d. 但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等(2)转化为一条平行线上的点到另一条平行线的距离2求与直线l：5x12y60平行且与直线l距离为3的直线方程解设与l平行的直线方程为5x12yb0，根据两平行直线间的距离公式得3，解得b45或b33.所以所求直线方程为：5x12y450，或5x12y330.距离公式的综合应用探究问题1. 两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(3，1)，并且各自绕着点A，B同时旋转(旋转过程两直线保持平行)，如果两
6、条平行直线间的距离为d，你能求出d的变化范围吗？提示如图所示，显然有0d|AB|，而|AB|3， 故所求的d的变化范围为(0, 3. 2.上述问题中当d取得最大值时你能求出两条直线的方程吗？提示当d取最大值时，两条平行线都垂直于AB，所以k3，故所求的直线方程分别为y23(x6)和y13(x3)，即3xy200和3xy100.【例3】已知正方形的中心为直线2xy20，xy10的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x3y50，求正方形其他三边所在直线的方程思路探究：先求出正方形中心坐标，利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边l平行或垂直求解解设与直线l：x3y50平行的边所在的直线方程
7、为l1：x3yc0(c5).由得正方形的中心坐标为P(1，0)，由点P到两直线l，l1的距离相等，得，得c7或c5(舍去).l1：x3y70.又正方形另两边所在直线与l垂直，设另两边所在直线的方程分别为3xya0，3xyb0.正方形中心到四条边的距离相等，得a9或a3，另两条边所在的直线方程分别为3xy90，3xy30.另三边所在的直线方程分别为3xy90，x3y70，3xy30.1求过本例中正方形中心且与原点距离最大的直线方程解由例题知，正方形中心坐标为P(1，0)，则与OP垂直的直线到原点的距离最大kOP0，此时所求直线方程为x1.2本例中条件不变，你能求出正方形对角线所在直线方程吗？解由
8、可得交点坐标为，又正方形中心为P(1，0)，由两点式方程得对角线方程为：，即2xy20.由可得正方形另一顶点坐标为，又正方形中心为P(1，0)，由两点式得另一对角线方程为：，即x2y10.综上可知正方形的两条对角线方程为x2y10或2x2y20.距离公式综合应用的三种常用类型(1)最值问题利用对称转化为两点之间的距离问题利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值(2)求参数问题利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值(3)求方程的问题立足确定直线的几何要素点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平
9、行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解1对点到直线的距离公式的两点说明(1)适用范围：点到直线的距离公式适用于平面内任意一点到任意一条直线的距离(2)结构特点：公式中的分子是用点P(x0，y0)的坐标代换直线方程中的x，y，然后取绝对值，分母是直线方程中的x，y的系数的平方和的算术平方根特别提醒在使用点到直线的距离公式时，要特别注意直线方程的形式2对两条平行直线间的距离的两点说明(1)这个距离与所选点的位置无关，但一般要选取特殊的点(如与坐标轴的交点).(2)两条平行直线间的距离公式除了将两平行直线间的距离转化为点到直线的距离求解外，还可以利用两条
10、平行直线间的距离公式d.1点(5，3)到直线x20的距离等于()A7B5C3D2A直线x20，即x2为平行于y轴的直线，所以点(5，3)到x2的距离d|5(2)|7.2直线x2y10与直线x2yc0的距离为2，则c的值为()A9 B11或9 C11 D9或11B两平行线间的距离为d2，解得c9或11.3点P(x，y)在直线xy40上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是()A B C2 DC|OP|的最小值是点O到直线xy40的距离，由点到直线的距离公式得d2，故应选C.4直线l到直线x2y40的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是_x2y20由题意设所求l的方程为x2yC0，则，解得C2，故直线l的方程为x2y20.5已知直线l经过点(2，3)，且原点到直线l的距离等于2，求直线l的方程解当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x2，符合原点到直线l的距离等于2.当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，由d2，得k，即直线l的方程为5x12y260.
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