1、2.3二次函数与幂函数探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.二次函数了解二次函数的图象与性质结合二次函数的图象,求二次函数的最值、单调区间掌握三个“二次”之间的关系2017北京文,11二次函数的值域数形结合法2014北京文,8二次函数的最值函数的应用问题、待定系数法2.幂函数了解幂函数的概念结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x12的图象,了解它们的变化情况2018上海,7幂函数分析解读1.重点考查二次函数、一元二次方程及二次不等式的综合应用以及幂函数的图象及性质,重点考查等价转化和数形结合的思想.以二次函数为载体,解决二次函数的单调区间、
2、二次函数在给定的闭区间上的最值以及有关参数的取值范围问题,关键是抓住函数图象的对称轴.2.主要考查幂函数在第一象限内的图象及性质.破考点 练考向【考点集训】考点一二次函数1.(2020届首师大附中期中,7)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于()A.6B.7C.8D.9答案D2.(2020届北京四中期中,15)函数f(x)=x2-ax(a0且a1),当x(-1,1)时,均有f(x)12,则实数a的取值范围是.答案12,1(1,2考点二幂函数3.(2018北京海淀期末,2)已
3、知a,bR,若ab,则()A.a2bB.abb2C.a12b12D.a3y0,则下列不等关系中正确的是()A.cos xcos yB.log3xlog3yC.x12y12 D.13x13y答案D炼技法 提能力【方法集训】方法1二次函数在区间上最值问题的解法1.(2017浙江,5,4分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间0,1上的最大值是M,最小值是m,则M-m()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关答案B2.函数y=-x2+2x-1在0,3上的最大值为()A.-4B.-1C.3D.0答案D3.(2020届北大附中阶段检测,12)设f
4、(x)=x,xa,x2,xa,若存在实数t满足f(t)t,则实数a的取值范围为.答案(-,1)方法2解决一元二次方程根的分布问题的方法4.(2020届北京海淀期中,7)已知函数f(x)=x3+x2-2|x|-k. 若存在实数x0,使得f(-x0)=-f(x0)成立,则实数k的取值范围是()A.-1,+)B.(-,-1C.0,+)D.(-,0答案A5.(2020届北京人大附中统练五,13)已知二次函数f(x)=x2+mx+6(mR).若f(x)在区间(1,3)内恰有一个零点,则实数m的取值范围是.答案(-7,-5)6.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根,其中一根在
5、区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的取值范围;(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的取值范围.解析令f(x)=x2+2mx+2m+1.(1)由条件知,抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点的横坐标分别在区间(-1,0)和(1,2)内,如图所示,则f(0)=2m+10,f(1)=4m+20m-12,mR,m-56.故m的取值范围是-56,-12.(2)抛物线与x轴的两个交点的横坐标均落在区间(0,1)内,如图所示,则f(0)0,f(1)0,0,0-m-12,m-12,m1+2或m1-2,-1m0.故m的取值范围是-12,1-2.方法3幂函数的图象及性质的应用7.
6、(2016课标,7,5分)已知a=243,b=323,c=2513,则()A.bacB.abcC.bcaD.ca0,且a1)的图象过定点(m,n),则幂函数y=xmn的单调区间为()A.(-,0) B.(0,+)C.(-,0)和(0,+) D.R答案C9.(2020届北京顺义一中10月月考,10)若(a+1)12(3-2a)12,则实数a的取值范围是.答案-1,23【五年高考】A组自主命题北京卷题组1.(2014北京文,8,5分)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常
7、数),下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为() A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟答案B2.(2017北京文,11,5分)已知x0,y0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.答案12,1B组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2015四川,9,5分)如果函数f(x)=12(m-2)x2+(n-8)x+1(m0,n0)在区间12,2上单调递减,那么mn的最大值为()A.16B.18C.25D.812答案B2.(2016浙江,6,5分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b0),g(x)=logax的图象可能是()答案D3.(2
8、014大纲全国,16,5分)若函数f(x)=cos 2x+asin x在区间6,2是减函数,则a的取值范围是.答案(-,24.(2015湖北,17,5分)a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间0,1上的最大值记为g(a).当a=时,g(a)的值最小.答案22-2【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2018北京丰台一模,3)已知ab1bB.-a2bD.a3b3答案A2.(2020届北京顺义一中10月月考,6)命题p:xR,ax2+ax+10.若p是真命题,则实数a的取值范围是()A.(0,4 B.0,4C.(-,04,+)D.(-,0)(4,+)答案D3.(2020届北京潞
9、河中学10月月考,8)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x) ,当x(0,1时, f(x)=x2-x,若对任意的x(-,m,都有f(x)-89,则实数m的取值范围是()A.-,94 B.-,73 C.-,52D.-,83答案B二、填空题(每小题5分,共20分)4.(2019北京海淀新高考调研卷,13)若函数f(x)满足下面三个条件:f(x)在其定义域上图象不间断;f(x)在(0,1)上单调递增;x(0,1),都有f(x)x,且f(0)=0, f(1)=1.则称函数f(x)为“UP函数”.请写一个“UP函数”f(x)=.答案x(答案不唯一)5.(2019北京杨镇一中月考,9)若幂函
10、数f(x)的图象经过点(2,2),则f(x)=,函数g(x)=lnxxf(x)的单调递减区间为.答案x2;0,1e6.(2019北京昌平二模文,9)已知幂函数f(x)=x(是实数)的图象经过点(2,2),则f(4)的值为.答案27.(2020届北京铁二中开学测试,16)已知函数f(x)=ax2-2(a+b)x+b(a0)满足f(0)f(1)0,设x1,x2是方程f(x)=0的两根,则|x1-x2|的取值范围是.答案3,2)三、解答题(共15分)8.(2020届北京顺义一中8月月考,17)已知函数f(x)=x2+bx+c,存在不等于1的实数x0,使得f(2-x0)=f(x0).(1)求b的值;(
11、2)判断函数f(x)在(1,+)上的单调性,并用单调性定义证明;(3)直接写出f(3c)与f(2c)的大小关系.解析本题考查二次函数的单调性,考查学生分析问题与处理问题的能力,体现数学运算的核心素养.(1)因为存在实数x0使得f(2-x0)=f(x0),所以 (2-x0)2+b(2-x0)+c=x02+bx0+c,即(2b+4)(x0-1)=0.因为 x01,所以 2b+4=0,即b=-2.经检验,b=-2满足题意,所以 b=-2.(2)函数f(x)在(1,+)上单调递增.证明如下:任取x1,x2(1,+),且x1x2,则x1-x20.所以 (x1-x2)(x1+x2-2)0.所以f(x1)-f(x2)=x12-2x1-(x22-2x2)=x12-x22-(2x1-2x2)=(x1-x2)(x1+x2-2)0,即f(x1)f(2c).思路分析(1)运用f(2-x0)=f(x0)及f(x)=x2+bx+c列出方程求解即可;(2)先判断出单调性,然后根据单调性定义证明单调性,即设值、作差、变形、下结论进行证明即可;(3)根据单调性即可回答.