1、课 题：小结与复习(二)教学目的：1.进一步巩固求极限的基本方法，数学归纳法.2.利用函数极限存在，解题.3.利用函数的连续性，解一些题目 教学重点：求解数列或函数的极限.教学难点：极限的求解.数学归纳法的应用.授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念.并且与我们下一章要学习的导数有密切的关系.学习极限概念要注意体会对象的变化规律，数列或函数有极限，意味着它们在变化中无限趋近于一个常数，所以我们要以运动的眼光来看待事物，要把握运动状态中的不变量.本节课，先本看一个用数学归纳法来证明的一个例子，虽然极限是本章的
2、主要内容，但数学归纳法这种方法也要掌握，特别是一些与n有关的题目，用数学归纳法证明会很方便，接着再来看一些关于极限的一些题目，进一步巩固一下求极限的一些方法. 教学过程：一、讲解范例：例1 已知数列(1)计算S1，S2，S3，S4.(2)猜想Sn的表达式，并证明.(3)Sn.解：(1)S1=.S2=S3=S4=.(2 )解：通项是以3n2，3n+1两数乘积为分母的，而我们看到，在表示上面四个结果的分数中，分子可用项数n表示，分母可用3n+1表示，于是可猜想.Sn=证明方法一:用数学归纳法证明如下：1 当n=1时，S1=等式成立.2 假设当n=k时等式成立.即 Sk=.当n=k+1时.当n=k+
3、1时，等式也成立.Sn= (nN*)证明方法二：Sn=(3)解: 例2已知下列极限，求a与b.(1)(2)(3)分析：此题属于已知x趋向于x0(或无穷大)时，函数的极限存在且等于某个常数，求函数关系式的类型.上边三个小题都不能简单地将x=x0直接代入函数的解析式中，因为(1)(2)中的x不趋于确定的常数，(3)虽然趋于1，但将x=1代入函数关系式中，分母为零.因此，解决此类问题的关键，是先要确定用哪种方法求极限，再将函数的解析式进行适当的变形，然后根据所给的条件进行分析，进而确定a，b的值.解：(1)1 如果1a0，不存在.2 如果 1a=0，=(a+b)=0 即a+b=0解：(2)要使极限存
4、在1a2=0.即1+2ab=0，a+10.解：(3)当x1时极限存在，则分子、分母必有公因式x1.ab2=1原式=说明：第一题是分子分母同除以x的较低的幂，第二题是分子有理化，和第一题的方法相结合，第三题是因式分解法和分子有理化法相结合.我们以前求极限的一种方法是分子、分母同除x的最高次幂，但像第一题，因为分子的次数低于分母的次数，如果分子除以x2，则分子极限为0，不符合，所以通分后，应除以分子分母中x的较低次幂.并且x的次数比分子x的最高次幂大的项的系数应该等于0，这样极限才存在.例3f(x)=求a，使f(x)存在.解：要使f(x)存在，则f(x)与f(x)要存在且相等.f(x)= (2x2
5、3)=2223=5.f(x)= (3x2+a)=322+a=12+a.5=12+a.a=7例4设函数f(x)=，在x=0处连续，求a，b的值.分析：要使f(x)在x=0处连续，就要使f(x)在x=0处的左、右极限存在，并且相等，等于f(x)在x=0处的值a.解：f(x)=(1)f(x)=(2x+1)=20+1=1说明：这类连续的题目，也关键是求在一点处的左、右极限存在并都等于在这点的函数值，与函数在这点的极限存在的方法是相同的 二、课堂练习：1 解：2.解：3. (m，n为自然数)解：当nm0时，即nm =0当nm=0时，即n=m =1当nm0时，即nm 不存在.当nm时，=0；当n=m时，=1；当nm时，不存在.4. (m，nN*，n正奇数)解：方法一：因为这里的m，n是确定数，不是无限数，所以在分母上，可以用函数极限的四则运算法则.方法二：设=y，则x= (yn1)当x0时，y1.5.数列an满足(2n1)an=2.求 (nan)解： (nan)= (2n1)an=(2n1)an=2.6.求下列极限：解：原式=.三、小结 ：这节课还是主要学习求极限的方法，知道了极限求函数的解析式，或者知道了函数在点或区间上的连续性，求函数的解析式等 四、课后作业：五、板书设计（略）六、课后记：