1、第三节直线、平面垂直的判定与性质课时作业练1.(2018苏州模拟)PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B的任一点,则下列关系正确的是.(填序号)(1)PABC;(2)BC平面PAC;(3)ACPB;(4)PCBC.答案(1)(2)(4)解析由PA平面ACBPABC,故(1)正确;由BCPA,BCAC,PAAC=A,可得BC平面PAC,所以BCPC,故(2)、(4)正确;无法判断ACPB,故(3)不正确.2.(2018南京高三模拟)已知,是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,有以下四个命题:若l,l,则;若l,则l;若l,l,则;若l,则l.其中真命题为(填所有真命题的序号
2、).答案解析若l,l,则,正确;若l,则l或l,错误;若l,l,则,正确;若l,则l与的位置关系不确定,可能平行、相交或l,错误.故真命题为.3.(2018江苏海安高级中学高三检测)设和为两个不重合的平面,给出下列命题,其中正确命题的序号是.(1)若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线,则平行于;(2)若外一条直线l与内的一条直线平行,则l和平行;(3)设和相交于直线l,若内有一条直线垂直于l,则和垂直;(4)直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直.答案(1)(2)解析由面面平行的判定定理可知(1)正确;由线面平行的判定定理可知(2)正确;由面面垂直的判定定理可知(3)不正确;若l
3、与内两条平行直线垂直,不能推出l,故(4)错误.4.已知平面,直线l,若,=l,则以下命题正确的是.(填序号)(1)垂直于平面的平面一定平行于平面;(2)垂直于直线l的直线一定垂直于平面;(3)垂直于平面的直线一定垂直于直线l;(4)垂直于直线l的平面一定与平面,都垂直.答案(3)(4)解析垂直于平面的平面可能与平面平行或相交,故(1)不正确;若垂直于直线l的直线在平面内,则一定垂直于平面,否则不一定,故(2)不正确;垂直于平面的直线一定垂直于直线l,故(3)正确;由面面垂直的判定定理知,垂直于直线l的平面一定与平面,都垂直,故(4)正确.5.如图,BAC=90,PC平面ABC,则ABC,PA
4、C的边所在的直线中,与PC垂直的直线是;与AP垂直的直线是.答案AB,BC,AC;AB解析PC平面ABC,PC垂直于直线AB,BC,AC.ABAC,ABPC,ACPC=C,AB平面PAC,ABAP,故与AP垂直的直线是AB.6.(2018徐州铜山高三模拟)已知平面,直线m,n,给出下列命题:若m,n,mn,则;若,m,n,则mn;若m,n,mn,则;若,m,n,则mn.其中是真命题的是.(填写所有真命题的序号)答案解析若m,n,mn,则,的位置关系不确定,可能平行或相交,错误;若,m,n,则m,n的位置关系不确定,平行、相交、异面都有可能,错误;若m,n,mn,则,正确;若,m,n,则mn,正
5、确.故其中是真命题的是.7.,是两个平面,AB,CD是两条线段,已知=EF,AB于B,CD于D,若增加一个条件,就能得出BDEF,现有下列条件:AC;AC与,所成的角相等;AC与CD在内的射影在同一条直线上;ACEF.其中能成为增加条件的序号是.答案解析由题意得,ABCD,所以A,B,C,D四点共面,对于,因为AC,EF,所以ACEF,又因为AB,EF,所以ABEF,因为ABAC=A,AB,AC平面ABDC,所以EF平面ABDC,又因为BD平面ABDC,所以BDEF,故正确.对于,由可知,若BDEF成立,则有EF平面ABDC,则有EFAC成立,而AC与,所成角相等是无法得到EFAC的,故错误.
6、对于,由AC与CD在内的射影在同一条直线上可知EFAC,由可知正确.对于,参照的分析过程可知错误.8.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,ACB=90,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E,要使AB1平面C1DF,则线段B1F的长为.答案12解析设B1F=x,因为AB1平面C1DF,DF平面C1DF,所以AB1DF,由已知可得A1B1=2,设RtAA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=12h.又22=22+(2)2h,所以h=233,DE=33.在RtDB1E中,B1E=222-332=66.由面积相等得66x2+222=22x,解得x=1
7、2.9.(2018南京师大附中高三模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,点E在棱PC上(异于点P,C),平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证:ABEF;(2)若AFEF,求证:平面PAD平面ABCD.证明(1)因为四边形ABCD是矩形,所以ABCD.又AB平面PDC,CD平面PDC,所以AB平面PDC,又因为AB平面ABE,平面ABE平面PDC=EF,所以ABEF.(2)因为四边形ABCD是矩形,所以ABAD.因为AFEF,(1)中已证ABEF,所以ABAF,由题意可知,点F异于点P,D,所以AFAD=A,又AF,AD平面PAD,所以AB平面PAD,又AB平面ABCD,所以
8、平面PAD平面ABCD.10.(2018扬州高三考前调研)如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB平面PAC,ABBP,M,N分别为PA,AB的中点.(1)求证:PB平面CMN;(2)若AC=PC,求证:AB平面CMN.证明(1)在平面PAB中,M,N分别为PA,AB的中点,所以MNPB.又PB平面CMN,MN平面CMN,所以PB平面CMN.(2)在平面PAB中,ABBP,MNPB,所以ABMN,在平面PAC中,AC=PC,M为PA的中点,所以CMPA,因为平面PAB平面PAC,平面PAB平面PAC=PA,CM平面PAC,所以CM平面PAB,因为AB平面PAB,所以CMAB,又CMMN=M,CM
9、平面CMN,MN平面CMN,所以AB平面CMN.11.(2018江苏盐城中学高三数学阶段性检测)在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知平面BB1C1C平面ABC,AB=AC,D是BC的中点,且B1DBC1.求证:(1)A1C平面B1AD;(2)BC1平面B1AD.证明(1)连接BA1,交AB1于点O,连接OD,由棱柱知侧面AA1B1B为平行四边形,O为BA1的中点,又D是BC的中点,ODA1C.A1C平面B1AD,OD平面B1AD,A1C平面B1AD.(2)D是BC的中点,AB=AC,ADBC.平面BB1C1C平面ABC,平面BB1C1C平面ABC=BC,AD平面ABC,AD平面BB1C1C.B
10、C1平面BB1C1C,ADBC1.又BC1B1D,且ADB1D=D,BC1平面B1AD.12.(2018徐州高三考前模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中.(1)若AD平面PAB,PBPD,求证:平面PBD平面PAD;(2)若ADBC,AD=2BC,E为PA的中点,求证:BE平面PCD.证明(1)因为AD平面PAB,PB平面PAB,所以ADPB,又因为PBPD,且ADPD=D,AD,PD平面PAD,所以PB平面PAD,又因为PB平面PBD,所以平面PBD平面PAD.(2)取PD的中点F,连接EF,因为E,F分别是PA,PD的中点,所以EFAD,且AD=2EF,又因为ADBC,AD=2BC,所以EF
11、BC且EF=BC,所以四边形EFCB是平行四边形,所以BECF,又CF平面PCD,BE平面PCD,所以BE平面PCD.基础滚动练(滚动循环夯实基础)1.已知函数f(2x-1)=4x2,则f(3)=.答案16解析当2x-1=3,即x=2时,有f(3)=422=16.2.设l,m为直线,为平面,且l,m,则“lm=”是“”的条件.答案必要不充分解析若l,m,lm=,则,可能平行或相交,反之,若l,m,且,则必有lm=,所以“lm=”是“”的必要不充分条件.3.已知(0,),sin +cos =713,则tan =.答案-125解析因为(0,),所以sin 0,联立sin +cos =713与sin
12、2+cos 2=1得sin =1213,cos =-513,则tan =sincos=-125.4.已知向量a=(1,3),b=(-2,1),c=(3,2).若向量c与向量ka+b共线,则实数k=.答案-1解析因为ka+b=(k-2,3k+1),所以由(ka+b)c得3(3k+1)=2(k-2),解得k=-1.5.函数y=2sin2x-6的图象中,离坐标原点最近的一条对称轴的方程为.答案x=-6解析由2x-6=2+k,kZ,得x=3+k2,kZ,当k=-1时,该对称轴离坐标原点最近,此时对称轴方程为x=-6.6.已知函数f(x)=x|x2-a|,若存在x1,2,使得f(x)2,则实数a的取值范
13、围是.答案(-1,5)解析存在x1,2,使得f(x)2,即x2-a-2x在x1,2上有解,则ax2-2xmin,a0,x1,2,所以g(x)在1,2上递增,所以当x=1时,x2-2xmin=-1,令h(x)=x2+2x,则h(x)=2x-2x2=2(x3-1)x20,x1,2,所以h(x)在1,2上递增,所以当x=2时,x2+2xmax=5,故a(-1,5).7.(2018江苏扬州中学高三开学考)已知有穷数列an,bn对任意的正整数n都有a1bn+a2bn-1+a3bn-2+an-1b2+anb1=2n+1-n-2成立.(1)若an是等差数列,且首项和公差相等,求证:bn是等比数列;(2)若a
14、n是等差数列,且bn是等比数列,求证:anbn=n2n-1.证明(1)依题意得an=na1,且a1b1=1,因为a1bn+a2bn-1+a3bn-2+an-1b2+anb1=2n+1-n-2,所以a1bn-1+a2bn-2+a3bn-3+an-2b2+an-1b1=2n-(n-1)-2(n2),-得,a1(bn+bn-1+bn-2+b2+b1)=2n-1(n2),所以a1(bn-1+bn-2+b2+b1)=2n-1-1(n3),-得,a1bn=2n-1(n3),即bn=2n-1a1(n3,nN*),中,令n=2,得a1b2+a2b1=4,即a1b2+2a1b1=4,所以b2=2a1,所以bn=2n-1a1,nN*,从而bn+1bn=2,即证bn是等比数列.(2)因为bn是等比数列,不妨设公比为q,由(1)中的-q得,anb1=(2n+1-n-2)-q2n-(n-1)-2(n2),即an=2-qb12n+q-1b1n-2-qb1(n2),因为an是等差数列,所以q=2,此时an=1b1n(n2),且对n=1也适合,所以anbn=1b1n2n-1a1=n2n-1.
