1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十八)数系的扩充与复数的引入(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2014辽宁高考)设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=()A.2+3iB.2-3iC.3+2iD.3-2i【解析】选A.由(z-2i)(2-i)=5得z=+2i=+2i=2+i+2i=2+3i.【一题多解】选A.设z=a+bi(a,bR),则由(z-2i)(2-i)=5,得z-2i=2+i,又z-2i=a+bi-2i=a+(b-2)i,所以a+(b-2)i=2+
2、i,所以得故z=2+3i.2.(2014浙江高考)已知i是虚数单位,a,bR,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当a=b=1时,(a+bi)2=(1+i)2=2i,反过来(a+bi)2=a2-b2+2abi=2i,则解得或所以“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分不必要条件.3.(2015合肥模拟)若z=(i为虚数单位),则z的共轭复数为()A.+iB.-+iC.+iD.-i【解析】选A.由题意,z=-i,则其共轭复数=+i,故选A.4.(2015芜湖模拟)已知复数z=x+yi(x,
3、yR),且有=1+yi,是z的共轭复数,那么的值为()A.-iB.+iC.+iD.-i【解析】选B.因为=1+yi,所以x+xi=2+2yi,所以x=2,y=1,所以z=2+i,所以=2-i,所以=+i.5.(2015新余模拟)设复数z=1+bi(bR)且|z|=2,则复数z的虚部为()A.B.C.1D.i【解析】选B.z=1+bi,且|z|=2,即1+b2=4,解得b=.6.复数z=(mR,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解题提示】先把z化成a+bi(a,bR)的形式,再进行判断.【解析】选A.z=+i,显然0与-0不可能同时成
4、立,则z=对应的点不可能位于第一象限.【一题多解】本题还可用以下方法求解.z=+i,设x=, y=,则2x+y+2=0.又直线2x+y+2=0不过第一象限,则z=对应的点不可能位于第一象限.【方法技巧】复数问题的解题技巧(1)根据复数的代数形式,通过其实部和虚部可判断一个复数是实数,还是虚数.(2)复数z=a+bi,aR,bR与复平面上的点Z(a,b)是一一对应的,通过复数z的实部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位置.7.计算=()A.-iB.+iC.-iD.+i【解析】选D.原式=-=-=+i.【一题多解】本题还可有如下解法:原式=+i.二、填空题(每小题5分,共15分)8.计算=.【解析
5、】原式=(-i)2014=i2014=(i4)503i2=-1.答案:-19.(2015淮南模拟)已知复数z1=cos23+isin23和复数z2=sin53+isin37,则z1z2=.【解析】z1z2=(cos23+isin23)(sin53+isin37)=(cos 23sin 53-sin 23sin 37)+(sin 23sin 53+cos 23sin 37)i=(cos 23sin 53-sin 23cos 53)+(sin 23cos 37+cos 23sin 37)i=sin 30+isin 60=+i.答案:+i10.若定义=ad-bc(a,b,c,d为复数),则=.【解题
6、提示】充分利用定义代入求解即可.【解析】由已知定义可知=2i(3-2i)i-(3i)2=-2(3-2i)+9=3+4i.答案:3+4i(20分钟40分)1.(5分)若复数z=(a2+2a-3)+(a-1)i为纯虚数(i为虚数单位),则实数a的值为()A.1B.-3C.1或-3D.3【解析】选B.复数z=(a2+2a-3)+(a-1)i为纯虚数(i为虚数单位),则解得a=-3.【误区警示】解答本题易误选C,出错的原因是对纯虚数的概念理解不清,忽视了a-10.【加固训练】设i是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a为.【解析】若=+i为纯虚数,则故a=2.答案:22.(5分)设a是实数,若复数+(i为虚
7、数单位)在复平面内对应的点在直线x+y=0上,则a的值为()A.-1B.0C.1D.2【解析】选B.因为+=+i+-i=+i,又复数+(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x+y=0上,故+=0,解得a=0.3.(5分)(2015咸阳模拟)设复数z1=1-3i,z2=-i,则在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选A.=(1-3i)i=3+i,则在复平面内对应的点在第一象限.4.(12分)若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根.(1)试求b,c的值.(2)1-i是否是所给方程的根,试给出判断.【解题提示】(1)由复数相等列关于b,
8、c的方程组求解.(2)代入方程验证即可.【解析】(1)由于1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个根,则(1+i)2+b(1+i)+c=0,整理得(b+c-1)+(2+b)i=0,则解得即b=-2,c=3.(2)由(1)得方程为x2-2x+3=0,把1-i代入方程左边得(1-i)2-2(1-i)+3=1-2i+2i2-2+2i+3=1-2-2+3=0,即1-i满足方程x2-2x+3=0,所以1-i是所给方程的根.【加固训练】已知复数z=bi(bR),是实数,i是虚数单位.(1)求复数z.(2)若复数(m+z)2所表示的点在第一象限,求实数m的取值范围.【解析】(1)因为z=bi(bR
9、),所以=+i.又因为是实数,所以=0,所以b=-2,即z=-2i.(2)因为z=-2i,mR,所以(m+z)2=(m-2i)2=m2-4mi+4i2=(m2-4)-4mi,又因为复数(m+z)2所表示的点在第一象限,所以解得m-2,即m(-,-2).5.(13分)(能力挑战题)若虚数z同时满足下列两个条件:z+是实数;z+3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.【解题提示】设z=a+bi(a,bR,b0),根据条件列关于实数a,b的方程组,把复数问题转化为实数的计算.【解析】存在.设z=a+bi(a,bR,b0),则z+=a+bi+=a+bi.又z
10、+3=a+3+bi,z+是实数,根据题意有因为b0,所以解得或所以z=-1-2i或z=-2-i.【加固训练】已知关于x的方程:x2-(6+i)x+9+ai=0(aR)有实数根b.(1)求实数a,b的值.(2)若复数满足|-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.【解题提示】(1)把b代入方程,根据复数的实部、虚部等于0解题即可.(2)设z=s+ti(s,tR),根据所给条件可得s,t间的关系,进而得到复数z对应的轨迹,根据轨迹解决|z|的最值问题.【解析】(1)因为b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(aR)的实根,所以(b2-6b+9)+(a-b)i=0,所以解得a=b=3.(2)设z=s+ti(s,tR),其对应点为Z(s,t),由|-3-3i|=2|z|,得(s-3)2+(t+3)2=4(s2+t2),即(s+1)2+(t-1)2=8,所以Z点的轨迹是以O1(-1,1)为圆心,2为半径的圆,如图所示,当Z点在OO1的连线上时,|z|有最大值或最小值.因为|OO1|=,半径r=2,所以当z=1-i时,|z|有最小值且|z|min=.关闭Word文档返回原板块