1、1.3.2奇偶性1结合具体函数了解函数奇偶性的含义(难点)2会判断函数奇偶性的方法(重点、难点)3能运用函数图象理解和研究函数的奇偶性，了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系(易混点)基础初探教材整理1偶函数阅读教材P33P34“观察”以上部分，完成下列问题偶函数条件对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)结论函数f(x)叫做偶函数图象特征偶函数的图象关于y轴对称，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x22x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图134所示，请补出完整函数f(x)的图象，并根据图象写出函数f(x)
2、的增区间图134【解】由题意做出函数图象如下：据图可知，单调增区间为(1,0)，(1，)教材整理2奇函数阅读教材P34“观察”至P35“例5”以上部分，完成下列问题奇函数条件对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)结论函数f(x)叫做奇函数图象特征奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)对于函数yf(x)，若存在x，使f(x)f(x)，则函数yf(x)一定是奇函数()(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数()(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数()【解析】(1).如f(x)x2，满足f
3、(0)f(0)0，但函数f(x)x2不是奇函数(2).存在f(x)0，xR既是奇函数，又是偶函数(3).函数f(x)x22x，xR的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，也不是偶函数【答案】(1)(2)(3)小组合作型函数奇偶性的判断给出以下结论：f(x)|x1|x1|是奇函数；g(x)既不是奇函数也不是偶函数；F(x)f(x)f(x)(xR)是偶函数；h(x)既是奇函数，又是偶函数其中正确的序号是_【精彩点拨】先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数；若关于原点对称，利用函数的奇偶性判断【自主解答】对于，f(x)|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)，f(x)|
4、x1|x1|是奇函数，正确；对于，由1x20，得1x1，g(x)，满足g(x)g(x)，故yg(x)是奇函数，错误；对于，F(x)f(x)f(x)，F(x)f(x)f(x)F(x)(xR)，F(x)f(x)f(x)是偶函数，正确；对于，由解得x1，故函数h(x)的定义域为1,1，且h(x)0，所以h(x)既是奇函数，又是偶函数，正确【答案】定义法判断函数奇偶性的步骤再练一题1下列函数中，是偶函数的有_(填序号)【导学号：97030060】(1)f(x)x3；(2)f(x)|x|1；(3)f(x)；(4)f(x)x；(5)f(x)x2，x1,2【解析】对于(1)，f(x)x3f(x)，则为奇函数
5、；对于(2)，f(x)|x|1|x|1，则为偶函数；对于(3)，定义域为x|x0，关于原点对称，f(x)f(x)，则为偶函数；对于(4)，定义域为x|x0，关于原点对称，f(x)xf(x)，则为奇函数；对于(5)，定义域为1,2，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数故为偶函数的是(2)(3)【答案】(2)(3)利用函数的奇偶性求函数值或参数值(1)若函数f(x)为奇函数，则a()A. B. C. D1(2)已知f(x)x5ax3bx8且f(2)10，那么f(2)_.【精彩点拨】(1)利用奇函数的定义得到f(1)f(1)，列出方程求出a；(2)由已知中f(x)x5ax3bx8，我们构造
6、出函数g(x)f(x)8，由函数奇偶性的性质，可得g(x)为奇函数，由f(2)10，我们逐次求出g(2)、g(2)，可求f(2)【自主解答】(1)f(x)为奇函数，f(1)f(1)，1a3(1a)，解得a，故选A.(2)f(x)x5ax3bx8，令g(x)f(x)8x5ax3bx，则g(x)为奇函数，f(2)10，g(2)10818，g(2)18，f(2)g(2)818826.【答案】(1)A(2)261由函数的奇偶性求参数应关注两点(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用(2)利用常见函数如一次函数、反比
7、例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数2利用函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数不具有奇偶性，一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值，如本例(2)即是如此再练一题2若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a1,2a，则a_，b_.【解析】由于f(x)是偶函数，由题意可知a，b0.【答案】0利用奇偶性求函数的解析式函数f(x)在R上为奇函数，当x0时，f(x)1，求f(x)的解析式【精彩点拨】设x0，则x0，结合f(x)f(x)，f(0)0，可求f(x)【自主解答】设x0，则x0，f(x)1.f(x)是奇函数，f(x)f(x)，即f(x)1，f(x)1.
8、f(x)是奇函数，f(0)0，f(x)利用奇偶性求函数解析式的一般步骤1在哪个区间上求解析式，x就设在哪个区间2把x对称转化到已知区间上，利用已知区间的解析式进行代入3利用函数的奇偶性把f(x)改写成f(x)或f(x)，从而求出f(x)再练一题3已知yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(x2)，则当x0时，f(x)的表达式为()Af(x)x(x2) Bf(x)x(x2)Cf(x)x(x2) Df(x)x(x2)【解析】函数yf(x)是定义在R上的奇函数，f(x)f(x)当x0时，f(x)x(x2)，当x0时，即x0，f(x)f(x)x(x2)x(x2)故选D.【答案】D探究共研
9、型函数奇偶性与单调性的综合应用探究1如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(b，a)上的单调性如何？如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(b，a)上的单调性如何？【提示】如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(b，a)上单调递增；如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(b，a)上单调递增探究2你能否把探究1所得出的结论用一句话概括出来？【提示】奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反探究3若偶函数f(x)在(，0)上单调递增，那么f(3)和f(2)的大小关系如何？若f
10、(a)f(b)，你能得到什么结论？【提示】f(2)f(3)，若f(a)f(b)，则|a|b|.(1)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2(，0(x1x2)，有(x2x1)f(x2)f(x1)0，则当nN*时，有()Af(n)f(n1)f(n1)Bf(n1)f(n)f(n1)Cf(n1)f(n)f(n1)Df(n1)f(n1)f(n)(2)已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，其图象关于原点对称，且f(1a)f(12a)0，则a的取值范围是_【精彩点拨】(1)根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性之间的关系进行判断即可(2)由于yf(x)在定义域(1,1)上，其图象
11、关于原点对称，可得函数f(x)是奇函数再利用单调性即可得出【自主解答】(1)对任意的x1，x2(，0(x1x2)，有(x2x1)f(x2)f(x1)0，若x2x10，则f(x2)f(x1)0，即x2x1，则f(x2)f(x1)，若x2x10，则f(x2)f(x1)0，即x2x1，则f(x2)f(x1)，则函数在(，0上为单调递增函数又f(x)为定义在R上的偶函数，函数f(x)在0，)上为单调递减函数，则f(n1)f(n)f(n1)，即f(n1)f(n)f(n1)，故选B.(2)yf(x)在定义域(1,1)上，其图象关于原点对称，函数f(x)是奇函数f(1a)f(12a)0，f(1a)f(12a)f(2a1)，又yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，11a2a11，解得0a.a的取值范围是0a0时，f(x)2x2x.(1)求f(x)的表达式；(2)画出f(x)的图象【解】(1)当x0时，f(0)f(0)，则f(0)0；当x0，函数f(x)是奇函数，则f(x)f(x)2(x)2(x)(2x2x)2x2x.综上所述，f(x)(2)函数f(x)的图象如图所示