1、第5节抛物线 课时训练 练题感 提知能【选题明细表】知识点、方法题号抛物线的定义1、3、4、5、10抛物线的标准方程2、4、8抛物线的几何性质7、9、14直线与抛物线的关系6、11、12、15、16综合问题13A组一、选择题1.(2013银川模拟)抛物线x2=2y的焦点坐标为(C)(A)(,0)(B)(1,0)(C)(0,)(D)(0,1)解析:抛物线焦点在y轴上,p=1,它的焦点坐标是(0,).故选C.2.抛物线的焦点为椭圆+=1的下焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程为(A)(A)x2=-4y(B)y2=-4x(C)x2=-4y(D)y2=-4x解析:由椭圆方程知,a2=9,b2=4,焦点在
2、y轴上,下焦点坐标为(0,-c),其中c=,抛物线焦点坐标为(0,-),抛物线方程为x2=-4y.故选A.3.已知抛物线y2=2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是(C)(A)相离(B)相交(C)相切(D)不确定解析:如图所示,设抛物线焦点弦为AB,中点为M,准线为l,A1、B1分别为A、B在直线l上的射影,则|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,于是M到l的距离d=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)=|AB|,故圆与抛物线准线相切.故选C.4.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为(
3、C)(A)(B)1(C)(D)解析:|AF|+|BF|=xA+xB+=3,xA+xB=.线段AB的中点到y轴的距离为=.故选C.5.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(A)(A)2(B)3(C)(D)解析:如图所示,动点P到l2:x=-1的距离可转化为点P到点F的距离.则P到直线l1和到直线l2的距离之和|PF|+|PM|FM,即距离和的最小值为点F到直线l1的距离d=2.故选A.6.(2013洛阳高三统一考试)已知F是抛物线y2=4x的焦点,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,且|AF|=3|BF|,则线段
4、AB的中点到该抛物线准线的距离为(B)(A)(B)(C)(D)10解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2),其中x10,x20,过A,B两点的直线方程为x=my+1,将x=my+1与y2=4x联立得y2-4my-4=0,y1y2=-4,则由解得x1=3,x2=,故线段AB的中点到该抛物线的准线x=-1的距离等于+1=.故选B.二、填空题7.以抛物线x2=16y的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为.解析:抛物线的焦点为F(0,4),准线为y=-4,则圆心为(0,4),半径r=8.所以,圆的方程为x2+(y-4)2=64.答案:x2+(y-4)2=648.(2013清远调研)已知抛物
5、线y2=2px(p0)上一点M(1,m)(m0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则正数a的值为.解析:由抛物线定义可得1+=5p=8,将x=1代入抛物线方程可得M(1,4),又A(-a,0),由直线AM与双曲线渐近线平行可得=,解得a=.答案:9.(2012年高考北京卷)在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方,若直线l的倾斜角为60,则OAF的面积为.解析:抛物线y2=4x,焦点F的坐标为(1,0).又直线l倾斜角为60,直线斜率为,直线方程为y=(x-1).联立方程解得或由
6、已知得A的坐标为(3,2),SOAF=|OF|yA|=12=.答案:10.已知点P是抛物线y2=2x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A,则|PA|+|PM|的最小值是.解析:设点M在抛物线的准线上的射影为M.由已知可得抛物线的准线方程为x=-,焦点F坐标为.求|PA|+|PM|的最小值,可先求|PA|+|PM|的最小值.由抛物线的定义可知,|PM|=|PF|,所以|PA|+|PF|=|PA|+|PM|,当点A、P、F在一条直线上时,|PA|+|PF|有最小值|AF|=5,所以|PA|+|PM|5,又因为|PM|=|PM|+,所以|PA|+|PM|5-=.答案:三、解答题11.若抛物线y=2
7、x2上的两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线l:y=x+m对称,且x1x2=-,求实数m的值.解:法一如图所示,连接AB,A、B两点关于直线l对称,ABl,且AB中点M(x0,y0)在直线l上.可设lAB:y=-x+n,由得2x2+x-n=0,x1+x2=-,x1x2=-.由x1x2=-,得n=1.又x0=-,y0=-x0+n=+1=,即点M为,由点M在直线l上,得=-+m,m=.法二A、B两点在抛物线y=2x2上.y1-y2=2(x1+x2)(x1-x2).设AB中点M(x0,y0),则x1+x2=2x0,kAB=4x0.又ABl,kAB=-1,从而x0=-.又点M在l上,y0=x
8、0+m=m-,即M,AB的方程是y-=-,即y=-x+m-,代入y=2x2,得2x2+x-=0,x1x2=-=-,m=.12.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.(1)求抛物线方程;(2)过M作MNFA,垂足为N,求点N的坐标;(3)以M为圆心,MB为半径作M,当K(m,0)是x轴上一动点时,讨论直线AK与M的位置关系.解:(1)抛物线y2=2px的准线为x=-,4+=5,p=2,抛物线方程为
9、y2=4x.(2)点A的坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2).又F(1,0),kFA=.MNFA,kMN=-,FA的方程为y=(x-1),MN的方程为y-2=-x.解方程组得得N(,).(3)由题意得,M的圆心是点M(0,2),半径为2.当m=4时,直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与M相离;当m4时,直线AK的方程为y=(x-m),即4x-(4-m)y-4m=0.圆心M(0,2)到直线AK的距离d=,令d2,解得m1.综上所述,当m1时,直线AK与M相离.B组14.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C
10、的准线相交,则y0的取值范围是(C)(A)(0,2)(B)0,2(C)(2,+)(D)2,+)解析:x2=8y,焦点F的坐标为(0,2),准线方程为y=-2.由抛物线的定义知|MF|=y0+2.以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2+(y-2)2=(y0+2)2.由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交,又圆心F到准线的距离为4,故42.故选C.15.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),又F(1,0),则=(1-x1,-y1),=(x2-1,y2),由题意知=3,因此即又由A、B均在抛物线上知解得直线l的斜率为=,因此直线l的方程为y=(x-1)或y=-(x-1).答案:y=(x-1)或y=-(x-1)16.设抛物线y2=4x的焦点为F,过点M(-1,0)的直线在第一象限交抛物线于A、B,且=0,则直线AB的斜率k等于.解析:焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可设直线AB为y=k(x+1),代入y2=4x中,得k2(x2+2x+1)=4x,k2x2+(2k2-4)x+k2=0,则x1+x2=,x1x2=1.又=(1-x1)(1-x2)+y1y2=1-(x1+x2)+x1x2+22=1-+1+41=0,k=或k=-(舍去).答案:
