1、不等式第一讲 一些著名不等式1.1 复数模不等式定理：设z1、z2、zn为任意复数，则|z1-z2|z1+z2|z1|+|z2| 当z1z20时，左边（右边）等号成立，当且仅当z1=z2，0)。其中当且仅当argz1=argz2=argzn才等号成立。1.2平均值不等式定理Hn=，Gn=，An=， Qn=分别称Hn，Gn，An，Qn为正数的调和平均、几何平均、算术平均和平方平均。则有HnGnAnQn，当且仅当a1=a2=an时等号成立。1.3柯栖不等式定理：设a i，b iR（i=1，2，n），则（）2（）（）当数组a1，a2，an，b1，b2，bn不全为0时，当且仅当bi=ai（1in）。1
2、.4排序不等式考虑如下2（n+1）个实数摆成的矩阵A = B=，C=其中i0，i1，in是0，1，2，n的一个排列。矩阵A称为同序不等式，矩阵B称为A的乱序矩阵，矩阵C称为矩阵A的反序矩阵。若矩阵A的乱序矩阵M可经列列交换出A，则称矩阵M为A的可同序矩阵。显然，A的列积和或列和积均与A的列交换无关。记S（A），T（A）分别表示矩阵A的列积和与列和记，S（M）=S（A），T（M）=T（A）。有了上述定义，我们就可以叙述排序不等式了。排序不等式1：设A为2（n+1）同序实数矩阵，B为A的乱序矩阵，C为A的反序矩阵，则S（A）S（B）S（C）即。左边当且仅当B中任意两列同序取等号。右边当且仅当B中任
3、意两列反序取等号。排序不等式2：设A为2（n+1）同序实数矩阵，B为A的乱序矩阵，C为A的反序矩阵，则T（A）T（B）T（C）即左（右）当且仅当B中任意两列同（反）序。排序不等式3：设A为mn同序非负实数矩阵，A为A的乱序矩阵，则有（1） S（A）S（A），即;（2） T（A）T（A），即;1.5 应用例1、 设x，y，zR+，求证：例2、设a，b，cR+，且abc=1，试证：。例3、设x，y，z0，且x+y+z=1求证：。例4、设x，y，z0，且x+2y+3z=36，求的最小值。例5、在ABC中，h a，h b，h c为边长a，b，c上的高,求证asinA+bsinB+csinCh a+h b+h c例6、在ABC中，求证：sinA+sinB+sinC2+sinAsinBsinC；sinA+sinB+sinC(2+sinA)(2+sinB)(2+sinC)
