1、课时规范练44双曲线基础巩固组1.(2019山东临沂三模,4)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点与抛物线y2=20x的焦点重合,且其渐近线方程为y=34x,则该双曲线的方程为()A.x29-y216=1B.x216-y29=1C.x264-y236=1D.x236-y264=12.(2019山西晋城三模,4)设双曲线C:x28-y2m=1(m0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线C交于M,N两点,其中M在左支上,N在右支上.若F2MN=F2NM,则|MN|=()A.82B.8C.42D.43.(2019全国3,理10)双曲线C:x24-y22=1的右焦点
2、为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则PFO的面积为()A.324B.322C.22D.324.(多选)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为233,右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,则有()A.渐近线方程为y=3xB.渐近线方程为y=33xC.MAN=60D.MAN=1205.已知M(x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1MF20)的一条渐近线方程为y=62x,F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,P为双曲线C上的一点,|PF1|PF2|=31,则
3、|PF1+PF2|的值是()A.4B.26C.210D.61057.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y2=1D.x2-y23=18.(2019重庆二诊,14)已知双曲线x2a2-y212=1(a0)的一条渐近线方程为3x-y=0,左焦点为F,当点M在双曲线右支上,点N在圆x2+(y-3)2=4上运动时,则|MN|+|MF|的最小值为.9.已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0),双曲线N:x2m2-y2n2=1,若双曲
4、线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为,双曲线N的离心率为.10.(2019四川成都模拟,14)已知F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左支交于点A,与右支交于点B,若|AF1|=2a,F1AF2=23,则SAF1F2SABF2=.综合提升组11.已知直线l与双曲线x24-y2=1相切于点P,l与双曲线两条渐近线交于M,N两点,则OMON的值为()A.3B.4C.5D.与P的位置有关12.(2019湖南常德模拟,10)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,以
5、F为圆心,半实轴长为半径的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点P,Q,若OQ=3OP(其中O为原点),则双曲线C的离心率为()A.7B.5C.52D.7213.在平面直角坐标系xOy中,双曲线x23-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.14.(2019安徽安庆联考,16)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,若双曲线的渐近线上存在点P,使得|PF1|=2|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围是.创新应用组15.(2019湖南长沙模拟,11)已知直线l1,l2是双曲线C:x24-y2=1的两
6、条渐近线,P是双曲线C上一点,若点P到渐近线l1的距离的取值范围是12,1,则点P到渐近线l2的距离的取值范围是()A.45,85B.43,83C.43,85D.45,83参考答案课时规范练44双曲线1.B因为抛物线y2=20x的焦点为(5,0),所以双曲线C的右焦点也为(5,0),则有c=5.因为双曲线的渐近线方程为y=34x,所以可设其方程为x216t-y29t=1,因为c=5,则16t+9t=25,解得t=1,则双曲线的方程为x216-y29=1,故选B.2.A由F2MN=F2NM可知,|F2M|=|F2N|.由双曲线定义可知,|MF2|-|MF1|=42,|NF1|-|NF2|=42,
7、两式相加得|NF1|-|MF1|=|MN|=82.故选A.3.A由已知可得a=2,b=2,则c=a2+b2=6,于是F(6,0).|PO|=|PF|,xP=62.又点P在C的一条渐近线上,不妨设在渐近线y=22x上,yP=2262=32.SPFO=12|OF|yP|=12632=324.故选A.4.BC由题意可得e=ca=233,可设c=2t,a=3t,t0,则b=c2-a2=t,A(3t,0),圆A的圆心为(3t,0),半径为t.双曲线的渐近线方程为y=bax,即y=33x.圆心A到渐近线的距离为d=333t1+13=32t.弦长|MN|=2t2-d2=2t2-34t2=t=b.可得三角形M
8、NA为等边三角形,即有MAN=60.故选BC.5.A由条件知F1(-3,0),F2(3,0),M(x0,y0),MF1=(-3-x0,-y0),MF2=(3-x0,-y0),MF1MF2=x02+y02-30.又x022-y02=1,x02=2y02+2.代入得y0213,-33y00)的一条渐近线方程为y=62x,b=6,c=10.|PF1|PF2|=31,|PF1|=6,|PF2|=2,cosF1PF2=36+4-40262=0,|PF1+PF2|2=36+4=40,|PF1+PF2|=210,故选C.7.D双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐
9、近线上,且OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=bax上,c=2,ba=tan60,a2+b2=c2,解得a=1,b=3.双曲线的方程为x2-y23=1.故选D.8.7由渐近线方程可知ba=3,故可得b2=3a2=12,所以a2=4,所以c=4,设双曲线右焦点为F(4,0),由双曲线定义可知|MF|-|MF|=2a=4.则|MN|+|MF|=|MN|+|MF|+4,则只需求|MN|+|MF|的最小值即可得到|MN|+|MF|的最小值,设圆x2+(y-3)2=4的圆心为C(0,3),半径r=2,则(|MN|+|MF|)min=|FC|-r=5-2=3,(|MN|+|MF|)min=
10、3+4=7.9.3-12椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0),双曲线N:x2m2-y2n2=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,又椭圆的焦点坐标为(c,0),可得正六边形的一个顶点为c2,3c2.则c24a2+3c24b2=1,可得14e2+341e2-1=1,即e4-8e2+4=0,e(0,1),解得e=3-1.同时,双曲线的渐近线的斜率为3,即nm=3,可得n2m2=3,即m2+n2m2=4,双曲线的离心率为e=m2+n2m2=2.10.12如图,根据双曲线的定义,可得AF2-AF1=2a,BF1-BF2=2a,|AF1|=2a,F1A
11、F2=23,AF2=4a,AB=BF2=4a,则SAF1F2SABF2=AF1AB=12.11.A取点P(2,0),则M(2,1),N(2,-1),OMON=4-1=3.取点P(-2,0),则M(-2,1),N(-2,-1),OMON=4-1=3.故选A.12.D设双曲线的一条渐近线方程为y=bax,H为PQ的中点,可得FHPQ,由F(c,0)到渐近线的距离为FH=d=bca2+b2=b,得PH=a2-b2.又OQ=3OP,OH=c2-b2=2a2-b2,即7a2=4c2,e=72,故选D.13.23该双曲线的右准线方程为x=310=31010,两条渐近线方程为y=33x,得P31010,30
12、10,Q31010,-3010,又c=10,所以F1(-10,0),F2(10,0),四边形F1PF2Q的面积S=2103010=23.14.1,53设P(x,y),则(x+c)2+y2=4(x-c)2+y2,化简得x-53c2+y2=169c2,所以点P在以M5c3,0为圆心,43c为半径的圆上.又因为点P在双曲线的渐近线bxay=0上,所以渐近线与圆M有公共点,所以53bcb2+a243c,解得5b4c,即ca53,所以双曲线离心率的取值范围是1,53.15.A设点P(x0,y0),由题可设渐近线l1:x-2y=0,渐近线l2:x+2y=0,由点P到直线l1的距离d1=|x0-2y0|5,点P到直线l2的距离d2=|x0+2y0|5,有d1d2=|x0-2y0|5|x0+2y0|5=|x02-4y02|5.又x024-y02=1,即x02-4y02=4,则d1d2=45,则d2=45d1,由d2与d1成反比,且d112,1,所以d245,85,故选A.