1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(三十一)等比数列(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015皖西七校模拟)在等比数列an中,Sn是它的前n项和,a2a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为17,则S6=()A.B.16C.15D.【解析】选A.设等比数列an的公比为q,由a2a3=2a1得,a1qa1q2=2a1,即a1q3=2,由a4与2a7的等差中项为17得,a4+2a7=34,即a1q3(1+2q3)=34,由联立解得,q=2,a1=,所以S6=,故选A.【加固
2、训练】(2015福州模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn=x3n-1-,则x的值为()A.B.-C.D.-【解析】选C.当n=1时,a1=S1=x-,当n2时,an=Sn-Sn-1=-=x(3n-1-3n-2)=2x3n-2,因为an是等比数列,所以a1=,由得x-=,解得x=.2.(2015新余模拟)已知等比数列an中,各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则=()A.B.3-2C.3+2D.【解析】选C.a1,a3,2a2成等差数列,所以a3=a1+2a2,即a1q2=a1+2a1q,解得q=1+,=q2=(1+)2=3+2.3.(2015长春模拟)在正项等比数列an中,已知a1
3、a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n=()A.11B.12C.14D.16【解析】选C.设数列an的公比为q,由a1a2a3=4=q3与a4a5a6=12=q12可得q9=3,an-1anan+1=q3n-3=324,因此q3n-6=81=34=q36,所以n=14.4.已知等比数列an(nN*)中有a5a11=4a8,数列bn是等差数列,且a8=b8,则b7+b9等于()A.2B.4C.8D.16【解析】选C.b7+b9=2b8,又a5a11=4a8,所以=4a8,因为a80,所以a8=4,即b8=4,所以b7+b9=2b8=8.【加固训练】已知各项不为0的等
4、差数列an,满足2a3-+2a11=0,数列bn是等比数列,且b7=a7,则b6b8=()A.2B.4C.8D.16【解析】选D.因为数列an是等差数列,所以a3+a11=2a7由2a3-+2a11=0得4a7-=0,又an0,所以a7=4,所以b6b8=42=16.5.已知数列an的前n项和Sn=an-1(a0),则an()A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列,或者是等比数列D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列【解析】选C.因为Sn=an-1(a0),所以an=即an=当a=1时,an=0,数列an是一个常数列,也是等差数列;当a1时,数列an是一个等比数列.二、填空
5、题(每小题5分,共15分)6.设等比数列an的前n项和为Sn,若Sm=10,S2m=30,则S3m=_.【解析】由等比数列的性质知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等比数列,所以10,20,S3m-30成等比数列,故10(S3m-30)=202,解得S3m=70.答案:70【加固训练】已知等比数列an的前n项和为Sn=3n+1+a,nN*,则实数a的值是()A.-3B.3C.-1D.1【解题提示】由Sn求an,而后由a1=S1求a.【解析】选A.当n2时,an=Sn-Sn-1=3n+1-3n=23n,当n=1时,a1=S1=9+a,因为an是等比数列,所以有9+a=23,解得a=-3.7.
6、(2015黄山模拟)已知等比数列an为递增数列,且=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列an的通项公式an=_.【解题提示】由2(an+an+2)=5an+1得q的方程求q,由=a10求a1即可求解.【解析】因为2(an+an+2)=5an+1,所以2an+2anq2=5anq,即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=(舍去).又因为=a10=a5q5,所以a5=q5=25=32,所以32=a1q4,解得a1=2,所以an=22n-1=2n,故an=2n.答案:2n8.(2015赣州模拟)在数列an中,若-=p(n2,nN*,p为常数),则称an为“等方差数列”.下列是对“等方差数
7、列”的判断:若an是等方差数列,则是等差数列;已知数列an是等方差数列,则数列是等方差数列.(-1)n是等方差数列;若an是等方差数列,则akn(kN*,k为常数)也是等方差数列.其中正确命题的序号为_.【解析】对于,由等方差数列的定义可知,是公差为p的等差数列,故正确.对于,取an=,则数列an是等方差数列,但数列不是等方差数列,故错.对于,因为-(-1)n-12=0(n2,nN*)为常数,所以(-1)n是等方差数列,故正确.对于,若-=p(p2,nN*),则-=(-)+(-)+(-)=kp为常数,故正确.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015北京模拟)已知等比数列an的所
8、有项均为正数,首项a1=1,且a4,3a3,a5成等差数列.(1)求数列an的通项公式.(2)数列an+1-an的前n项和为Sn,若Sn=2n-1(nN*),求实数的值.【解析】(1)设数列an的公比为q,由条件得q3,3q2,q4成等差数列,所以6q2=q3+q4,解得q=-3,或q=2,由数列an的所有项均为正数,则q=2,数列an的通项公式为an=2n-1(nN*).(2)记bn=an+1-an,则bn=2n-2n-1=(2-)2n-1,若=2,bn=0,Sn=0不符合条件;若2,则=2,数列bn为等比数列,首项为2-,公比为2.此时Sn=(1-2n)=(2-)(2n-1),又Sn=2n
9、-1(nN*),所以=1.【方法技巧】等差数列与等比数列的联系与区别等差数列等比数列不同点(1)强调每一项与前一项的差(2)a1和d可以为0(3)任意两实数的等差中项唯一(4)当m+n=p+q(m,n,p,qN*)时am+an=ap+aq(1)强调每一项与前一项的比(2)a1与q均不为0(3)两同号实数(不为0)的等比中项有两个值(4)当m+n=p+q(m,n,p,qN*)时aman=apaq相同点(1)都强调每一项与其前一项的关系(2)结果都必须是常数(3)数列都可以由a1,d或a1,q确定联系(1)若an为正项等比数列,则logman为等差数列,其中m0,且m1(2)an为等差数列,则为等
10、比数列(3)非零常数列既是等差数列又是等比数列【加固训练】(2015天津模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn,若S1,2S2,3S3成等差数列,且S4=.(1)求数列an的通项公式.(2)求证Sn.【解析】(1)设等比数列an的公比为q.因为S1,2S2,3S3成等差数列,所以4S2=S1+3S3,即4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),所以a2=3a3,所以q=.又S4=,即=,解得a1=1,所以an=.(2)由(1)得Sn=0时,数列an为递增数列,a10时,数列an为递减数列.当an为递增数列时,q不一定等于2.则“8a2-a5=0”是“an为递增数列”的既不充分又不必要条件
11、.3.(5分)(2015泰安模拟)在如图所示的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,那么x+y+z的值为()2412xyzA.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题知表格中第三纵列中的数成首项为4,公比为的等比数列,故有x=1.根据每横行成等差数列得第四列前两个数字依次为5,故第四列的公比为.所以y=5=,同理z=6=,因此x+y+z=2.【加固训练】下面给出一个“直角三角形数阵”,满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i行第j列的数为aij(ij,i,jN*),则(1)anm=_,(2)a83=_.【解题提示】先求出成
12、等差数列的第一列的通项,然后再求出第三行数列的公比.【解析】由已知第一列数列的通项为,从第三行起各行等比数列的公比为.(1)anm=.(2)a83=.答案:4.(12分)已知数列an满足a1=1,a2=2,an+2=,nN*.(1)令bn=an+1-an,证明:bn是等比数列.(2)求an的通项公式.【解析】(1)b1=a2-a1=1,当n2时,bn=an+1-an=-an=-(an-an-1)=-bn-1,所以bn是首项为1,公比为-的等比数列.(2)由(1)知bn=an+1-an=,当n2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=1+1+=1+=1+=-,当n=1
13、时,-=1=a1,所以an的通项公式为an=-(nN*)【加固训练】已知数列an中,a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1(n2,q0).(1)设bn=an+1-an(nN*),证明:bn是等比数列.(2)求数列an的通项公式.(3)若a3是a6与a9的等差中项,求q的值,并证明:对任意的nN*,an是an+3与an+6的等差中项.【解析】(1)由题设an+1=(1+q)an-qan-1(n2),得an+1-an=q(an-an-1),即bn=qbn-1,n2.由b1=a2-a1=1,q0,所以bn是首项为1,公比为q的等比数列.(2)由(1),a2-a1=1,a3-a2=
14、q,an-an-1=qn-2(n2),将以上各式相加,得an-a1=1+q+qn-2(n2),即an=a1+1+q+qn-2(n2).所以当n2时,an=上式对n=1显然成立.(3)由(2),当q=1时,显然a3不是a6与a9的等差中项,故q1,由a3-a6=a9-a3,可得q5-q2=q2-q8,由q0得q3-1=1-q6,整理得(q3)2+q3-2=0,解得q3=-2.于是q=-.另一方面,an-an+3=(q3-1),an+6-an=(1-q6),由可得an-an+3=an+6-an,所以对任意的nN*,an是an+3与an+6的等差中项.5.(13分)(能力挑战题)设Sn为数列an的前
15、n项和,且对任意nN*时,点(an,Sn)都在函数f(x)=-x+的图像上.(1)求数列an的通项公式.(2)设bn=log3(1-2Sn)+10,求数列bn的前n项和Tn的最大值.【解析】(1)因为点(an,Sn)都在函数f(x)=-x+的图像上,所以Sn=-an+,当n=1时,S1+a1=,因为S1=a1,所以a1=;当n2时,Sn-1=-an-1+,所以an=Sn-Sn-1=-an+an-1-=-an+an-1,所以an=an-1,所以an是首项为,公比为的等比数列.所以an=.(2)因为an是首项为,公比为的等比数列,所以Sn=,所以bn=log3(1-2Sn)+10=-n+10,因为b1=,bn+1-bn=-,所以数列bn是以为首项,以-为公差的等差数列,且单调递减.由可得即5n6,所以n=6时,Tn取得最大值,所以数列bn的前n项和的最大值为T6=+16=.关闭Word文档返回原板块